北京市2022-2023年上学期九年级期末数学试题知识点分类汇编-05待定系数法求二次函数解析式

这是一份北京市2022-2023年上学期九年级期末数学试题知识点分类汇编-05待定系数法求二次函数解析式，共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

北京市2022-2023年上学期期末数学试题知识点分类汇编-05待定系数法求二次函数解析式

一、单选题
1．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，有五个点，．将二次函数的图象记为G，下列结论中正确的有（　　）
①点A一定在G上；
②点可以同时在G上；
③点可以同时在G上；
④点不可能同时在G上．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题
2．（2023秋·北京海淀·九年级期末）对于二次函数，与的部分对应值如表所示．在某一范围内，随的增大而减小，写出一个符合条件的的取值范围 ．

…

0
1
2
3
…

…

1
3
3
1
…
3．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，若抛物线经过原点，则抛物线的解析式为 ．

4．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论：
①，②，③，④若顶点坐标为，当时，y有最大值为2、最小值为，此时m的取值范围是．其中正确结论是 ．（填序号）．

5．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，已知抛物线 与 轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为；若P是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，则点的坐标是 ．

6．（2023秋·北京海淀·九年级期末）二次函数的图像如图所示，若，则的取值范围是 ．

7．（2023秋·北京海淀·九年级期末）二次函数中，x与y的部分对应值如下表：
x
…

0
2
3
…
y
…
8
0
0
3
…
则下列说法：①图象经过原点；②图象开口向下；③图象的对称轴为直线；④当时，y随x的增大而增大；⑤图象经过点．其中正确的是 ．
8．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知抛物线经过点．若点在该抛物线上，且，则n的取值范围为 ．

三、解答题
9．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）实心球是北京市初中体育学业水平现场考试选考项目之一．某同学作了2次实心球训练．第一次训练中实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．

(1)求y关于x的函数表达式；
(2)该同学第二次训练实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系：，记第一次实心球从起点到落地点的水平距离为，第二次实心球从起点到落地点的水平距离为，则_________．（填“>”“=”或“<”）．
10．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）如图，抛物线的图象与x轴交点为A和B，与y轴交点为，与直线交点为A和C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线上是否存在一点M，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在请说明理由．
(3)若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标的取值范围．
11．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）已知二次函数的图象经过两点，求这个二次函数的解析式．
12．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知二次函数的图象经过点，．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求这个图象的顶点坐标．
13．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，抛物线（a，b，c是常数，且）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，对称轴为直线．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点F在抛物线的对称轴上，若线段绕点F逆时针旋转后，点B的对应点恰好也落在此抛物线上，请求出点F的坐标．
14．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，若设距水枪水平距离为x米时水柱距离湖面高度为y米，y与x近似的满足函数关系．现测量出x与y的几组数据如下：
x（米）
0
1
2
3
4
…
y（米）





…
请解决以下问题：
(1)求出满足条件的函数关系式；
(2)身高米的小明与水柱在同一平面中，设他到水枪的水平距离为m米（），画出图象，结合图象回答，若小明被水枪淋到m的取值范围．
15．（2023秋·北京海淀·九年级期末）求经过三点的抛物线解析式．
16．（2023秋·北京海淀·九年级期末）根据下列条件，选取你认为合适的方法求出二次函数的解析式．
(1)抛物线经过点三点．
(2)已知二次函数的图象过两点，并且以为对称轴．
(3)已知二次函数的图象经过一次函数x图象与x轴、y轴的交点，且过．
17．（2023·北京海淀·九年级期末）在一场篮球比赛中，队员甲在距篮下4m处跳起投篮，出手的高度为2.25m，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m．已知球篮中心到地面的距离为3.05m．

(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中．
(2)此时，若对方队员乙在甲前面1.5m处跳起盖帽拦截，已知乙队员的最大摸高为3.1m，那么他能否拦截成功？
18．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知抛物线的顶点坐标为，并且经过点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若、是抛物线上的两点，且，直接写出与的大小关系．
19．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知二次函数经过，两点，它的对称轴为直线，求这个二次函数解析式．
20．（2023·北京海淀·九年级期末）如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙和与路面垂直，隧道内侧宽米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面上取点E，测量点E到墙面的距离，点E到隧道顶面的距离．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：
x（米）
0
2
4
6
8
y（米）
4.0
5.5
6.0
5.5
4.0
(1)根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为___________米，并求出满足的函数关系式；
(2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系．描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的函数的图像．
(3)若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧道顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？
21．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知抛物线过点和，求该抛物线的解析式．
22．（2023·北京海淀·九年级期末）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点C，抛物线经过点A，C，与x轴交于另一点B．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若D是抛物线上一点（不与点C重合），且，请求出点D的坐标．
23．（2023·北京海淀·九年级期末）如图，某喷灌设备的喷头B高出地面，如果喷出的抛物线形水流的水平距离x（m）与高度y（m）之间的函数关系为，求水流落地点D与喷头底部A的距离．

24．（2023·北京海淀·九年级期末）如图1，斜坡与水平面夹角．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水柱在空中走过的曲线可以看成抛物线的一部分．如图2，当水柱与A水平距离为4米时，达到最高点D，D与水平线的距离为4米．

(1)在图2中建立平面直角坐标系，求水柱所在的抛物线的解析式（不需要写出自变量取值的范围）；
(2)若斜坡上有一棵高2.5米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A喷出的水柱能否越过这棵树．
25．（2023·北京海淀·九年级期末）一名身高为1.8m的篮球运动员甲在距篮筐（点B）水平距离4m处跳起投篮，篮球准确落入篮筐，已知篮球的运动路线是抛物线，篮球在运动员甲头顶上方0.25m处（点A）出手，篮球在距离篮筐水平距离为1.5m处达到最大高度3.5m，以水平地面为x轴，篮球达到最大高度时的铅直方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．

(1)求篮球运动路线（抛物线）的函数解析式；
(2)求篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度是多少米？
(3)已知运动员乙跳离地面时，最高能摸到3.3运动员乙在运动员甲与篮筐之间的什么范围内能在空中截住球？
26．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A(0，﹣5)，B(5，0)．
（1）求b，c的值；
（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．求点M的坐标；


参考答案：
1．C
【分析】由二次函数可知，对称轴为直线，，即可判断①；
把代入，得函数解析式，再将代入解析式，即可判断②；
把代入，可得出，即可判断③；
把代入，可得出，再将代入解析式，即可判断④．
【详解】解：由二次函数可知，对称轴为直线，顶点为，
①∵点，
∴点A在对称轴上，
∵，
∴点A一定不在上；故①错误；
②∵把代入，
，
解得：，
∴，
当时，，
∴在的图像上，
∴点可以同时在上；故②正确；
③把代入，
，
解得：，
∴，
∴点可以同时在G上,故③正确；
④把代入，
，
解得：，
∴，
当时，，
∴不在的图像上，
∴点不可能同时在G上，故④正确；
故正确结论的序号是：②③④，有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及求解二次函数的解析式，求出图象上点的坐标的解析式是解题的关键．
2．（答案不唯一，满足即可）
【分析】根据表格，用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：把，；，；，分别代入，得
，解得：，
∴，
∵，
∴当时，随的增大而减小，
∴当时，随的增大而减小，
故答案为：（答案不唯一，满足即可）．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．
【分析】把原点的坐标代入，求得，即可求得抛物线的解析式．
【详解】解：把代入得，，
∴，
∵抛物线开口向下，
∴，
∴抛物线的解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法是解题的关键．
4．①②③④
【分析】①根据二次函数的对称轴，，即可判断出；②结合图象发现，当时，函数值大于1，代入即可判断；③结合图象发现，当时，函数值小于0，代入即可判断；④运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断．
【详解】解：∵二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，
∴，，
∴，
∴，故①正确；
从图中可以看出，当时，函数值大于1，因此将代入得，，即，故②正确；
∵，
∴，从图中可以看出，当时，函数值小于0，
∴，
∴，故③正确；
∵二次函数的顶点坐标为，
∴设二次函数的解析式为，将代入得，，
解得，
∴二次函数的解析式为，
∴当时，；
∴根据二次函数的对称性，得到，故④正确；
综上所述，①②③④均正确，
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式等，熟练掌握二次函数的图象和性质是本题的关键．
5．
【分析】根据抛物线的对称性可知：，所以当点在线段上时，的值最小，以此为依据求解即可；
【详解】解：将代入得：
解得：
该抛物线的解析式为：
其对称轴为：
点的横坐标为：
∵当 时， ；

∴
由抛物线的对称性可知：

∴当点在线段上时有最小值；
将 代入得：
故此时点的坐标是
故答案为：
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、轴对称的性质、一次函数；其中熟练运用轴对称的性质转化线段是解题的关键．
6．或
【分析】根据抛物线经过，，确定函数的解析式，令，求得交点的坐标，利用抛物线的对称性，数形结合思想确定范围即可．
【详解】因为抛物线经过，，
所以，
解得，
所以抛物线的解析式为，对称轴为直线
当时，得，
解得，
因为抛物线开口向上，
所以在对称轴右侧，y随x的增大而增大，对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
因为在对称轴右侧，对称轴的左侧，
所以或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了待定系数法确定解析式，抛物性的增减性，抛物线的对称轴，熟练掌握待定系数法，抛物线的增减性是解题的关键．
7．①③⑤
【分析】结合图表可以得出当x=0或2时，y=0，x=3时，y=3，根据此三点可求出二次函数解析式，从而根据抛物线的图象性质可逐个判定即可．
【详解】解：∵由图表可以得出当x=0或2时，y=0，x=3时，y=3，
∴，
解得：，
∴y=-2x，
∵c=0，
∴图象经过原点，故①正确；
∵a=1＞0，
∴抛物线开口向上，故②错误；
∵y=-2x=，
∴抛物线的对称轴为直线，
故③正确；
∵抛物线的对称轴是直线x=1，抛物线开口向上，
∴x＞1时，y随x的增大而增大，x＜1时，y随x的增大而减小，故④错误；
把x=-1代入得，y=3，
∴图象经过点（-1，3），故⑤正确；
综上，正确的有①③⑤．
故答案为：①③⑤．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及由解析式求函数与坐标轴的交点以及一元二次方程根的判别式的应用．
8．
【分析】将点代入求出抛物线的解析式，再求出对称轴为直线，开口向上，自变量离对称轴越远，因变量越大即可求解．
【详解】解：将代入中得到：，
解得，
∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
根据“自变量离对称轴越远，其对应的因变量越大”可知，
当时，对应的最大为：，
当时，对应的最小为：，
故n的取值范围为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，点在抛物线上，将点的坐标代入即可求解．
9．(1)
(2)

【分析】（1）由图可知，顶点坐标为，设二次函数表达式为，由此即可求解；
（2）令（1）中抛物线的解析式，且，解方程，得出，令第二次训练的函数解析式，且，解方程，得出，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意设关于的函数表达式为，
把代入解析式得，，
解得，，
∴关于的函数表达式为．
（2）根据题意，令，且，
∴，
解得，，（舍去），

解得，，（舍去），
∴，
∴．，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际运用及待定系数法确定解析式，掌握二次函数的性质及求解是解题的关键．
10．(1)
(2)存在，
(3)

【分析】（1）先求得，然后将，代入，即可求函数的解析式；
（2）设，根据是等腰三角形，分类讨论，根据勾股定理即可求解；
（3）设点E的横坐标，分别求出，，，，当F点在抛物线上时，或，当G点在抛物线上时，或，结合图象可得时，四边形与抛物线有公共点．
【详解】（1）解：由得，时，，
∴．
∵抛物线经过、D两点，
∴，解得
∴抛物线的解析式为．
（2）解：由，令，，
解得：，
∴；
∵，
∴，
∵是直线上的点，设，
当为斜边时，,
∴，
解得：，
∴
当为直角时，,
∴
解得：（根据图形，不合题意舍去）
∴
综上所述，存在
（3）解：∵点E的横坐标，
∴，
由题可知，，，，
当F点在抛物线上时，，
解得或，
当G点在抛物线上时，，
解得或，
∴时，四边形与抛物线有公共点．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，数形结合解题是关键．
11．
【分析】利用待定系数法即可求解．
【详解】将两点代入解析式得：

解得
∴二次函数解析式为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题关键是将点的坐标代入解析式后解二元一次方程组．
12．(1)
(2)

【分析】（1）直接把点和点坐标代入得到关于、的方程组，然后解方程组求出、即可；
（2）利用配方法把配成，则根据二次函数的性质得到该抛物线的顶点坐标．
【详解】（1）解：根据题意得，解得，
所以该二次函数的解析式为；
（2）解：，
抛物线的顶点坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
13．(1)
(2)点F的坐标为或

【分析】（1）根据抛物线与y轴交点坐标求出c，根据对称轴为求出b，即可得到抛物线的函数表达式；
（2）设，对称轴交x轴于点S，过作对称轴于点R，当在x轴上方时，可证，推出，代入函数解析式可得，同理，当在x轴下方时，可得．
【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点，
当时，，
．
抛物线的对称轴为直线，
，
，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：由（1）知抛物线的函数表达式为，
令得，
解得，，
，．
由题意知，抛物线的对称轴为直线，点F在抛物线的对称轴上，
设，对称轴交x轴于点S，过作对称轴于点R，
当在x轴上方时，如图：

线段绕点F逆时针旋转后，点B的对应点为，
，，
，
又，
，
在和，
，
，
，，
，
把代入，
得：，
解得或（舍去），
；
当在x轴下方时，如图：

同理可证，
，，
，
把代入，
得：，
解得（舍去）或，
，
综上可知，点F的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质等，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形．
14．(1)抛物线为：
(2)画图见解析，

【分析】（1）由表格信息先求解抛物线的对称轴，再求解得到坐标，再把代入求解即可；
（2）先画抛物线的实际图象，结合图象再求解抛物线与x轴的交点坐标，从而可得答案．
【详解】（1）解：由表格信息可得抛物线过，，
∴抛物线的对称轴为直线：，
∴顶点坐标为：，
∴抛物线为：
把代入可得，，
解得：，
∴抛物线为：．
（2）如图，根据表格信息结合抛物线的对称性先描点，再连线画图如下：

当时，结合抛物线的对称性可得：或，
当时，则，
解得：，，
∴小明被水枪淋到m的取值范围为：．
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，画二次函数的图象，理解题意，灵活的运用抛物线的对称性解题是关键．
15．
【分析】根据点A与B的坐标特点设出抛物线解析式为，再把C点坐标代入求出a的值，即可确定出解析式．
【详解】解：根据题意设抛物线解析式为，
把代入得：，即，
则抛物线解析式为：，
故所求解析式为：．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
16．(1)x
(2)
(3)

【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为：，代入求得a即可；
（2）利用对称轴方程和把两已知点的坐标代入中可得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可得到抛物线解析式；
（3）先求出直线与坐标轴的交点坐标，然后利用一般式求抛物线解析式．
【详解】（1）解：设，
把代入得：，
解得：，
则抛物线的解析式为x；
（2）解：根据题意可知：，
解得，
则二次函数的解析式为；
（3）当时，，则直线与y轴的交点坐标为，
当时，，解得，则直线与x轴的交点坐标为，
设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
所以抛物线解析式为．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，要根据题目给定条件，选择恰当方法设出关系式，再用待定系数法求解．
17．(1)，能准确投中
(2)乙不能拦截成功，利用见解析

【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，由待定系数法可确定抛物线的解析式，令，求出y的值，与3.05m比较即可作出判断；
（2）将代入，进而得出答案．
【详解】（1）解：球出手点、最高点、篮圈坐标分别为，
设这条抛物线对应的函数解析式为，
将点代入，可得，解得，
∴，
当时，，
∴此球能准确投中；
（2）当时，，
∴乙不能拦截成功．
【点睛】本题主要考查了二次函数实际应用，根据题意求得函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
18．(1)
(2)

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）根据题意，得，解得，
∴所求的抛物线的解析式为；
（2）∵，，
∴对称轴为直线，开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法解析式，二次函数的性质等知识点，熟练掌握二次函数性质是解题关键．
19．
【分析】根据待定系数法求解函数解析式即可．
【详解】解：由题意得：
，
解得：，
∴该二次函数的解析式为．
【点睛】本题主要考查求二次函数解析式，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键．
20．(1)6，．
(2)见解析

(3)隧道需标注的限高应为4.5米

【分析】（1）根据二次函数的对称性可知在时y取得最大值，然后运用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据题意，以点A为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标，画出函数图像即可；
（3）令，求得相应的y值，结合到隧道顶面的距离不小于0.35米,可得汽车最高点距地面的距离即可解答．
【详解】（1）解：根据二次函数的对称性可知，当时，y有最大值6，
设
∵D的坐标为
∴，解得
∴．
故答案为：6，．
（2）解：根据题意，以点A为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标,画出图像如图所示：

（3）解：令，可得
隧道需标注的限高应为（米）．
答：隧道需标注的限高应为4.5米．
【点睛】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用、数形结合、待定系数法等知识点，理清题中的数量关系、求得函数解析式是解题的关键．
21．
【分析】把和代入，解方程组求出b、c的值即可得答案.
【详解】解：∵抛物线过点和，∴
解方程组，得
∴抛物线的解析式是．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，把抛物线上的点的坐标代入解析式确定字母的值是解题关键.
22．(1)
(2)或或

【分析】(1)首先可求得点A、C的坐标，再分别把点A、C的坐标代入解析式，即可求解；
(2)当点D在x轴上方时，点D的纵坐标为4，当点D在x轴下方时，点D的纵坐标为，据此进行计算，即可分别求得．
【详解】（1）解：∵直线的解析式为，
∴当时，，当时，，
∴，.
∵抛物线经过点A，，
∴
解得
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，点的纵坐标为，
∴当点D在x轴上方时，点D的纵坐标为4，
将代入，得，
解得，，
∴点的坐标为或.
当点在轴下方时，点的纵坐标为，
此时点与点关于抛物线的对称轴对称，
∵抛物线的对称轴为，点的坐标为，
∴点的坐标为，
综上可得：点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，坐标与图形，准确求得二次函数的解析式是解决本题的关键．
23．10m
【分析】用待定系数法求得二次函数的解析式，进而得出当时x的值，即可求解．
【详解】解：由题意可得：抛物线过点，
则，
解得：．
∴，
当时，
解得：（舍去），，
∴
答：水流落地点D与喷头底部A的距离为10m．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意得出二次函数的解析式是解题的关键．
24．(1)；
(2)不能．

【分析】（1）如图建立平面直角坐标系，首先找出抛物线的顶点坐标，设抛物线解析式为顶点式，再将点A坐标代入即可得解；
（2）根据题意，求出树的顶端点的纵坐标，然后求当时，抛物线线上点的纵坐标，然后比较两个纵坐标的大小即可得解．
【详解】（1）解：以点A坐标原点，以所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图3，
依题，，最高点即抛物线的顶点，
设此抛物线的解析式为：，
将代入上式，得，
，
抛物线的解析式为：；

（2）解：斜坡上有一棵高2.5米的树，它与喷头A的水平距离为2米，如图4，
，
在中，，
设，则
，
，
，
又当时，
故从A喷出的水柱不能越过这棵树．

【点睛】此题是二次函数的实际应用题，主要考查了待定系数法求抛物线的解析式、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握待定系数法、勾股定理、二次函数的图像与性质是解此题的关键．
25．(1)
(2)0.2米
(3)乙在运动员距离甲1.5米之内以及篮板0.5米之内能在空中截住球．


【分析】（1）设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值即可；
（2）当x=-2.5时，y=-0.2×（-2.5）2+3.5=2.25，即可得到结论．
（3）当y=3.3代入函数解析式，求出x的值，即可得出答案．
【详解】（1）∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴设抛物线的解析式为．
由题意可知，抛物线上的点的坐标为（1.5，3.05）．
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）设篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度为．
4-1.5=2.5，0.25+1.8=2.05．
由题意可得点A的坐标为，
∴，
∴．
∴篮球出手时，运动员跳离地面的高度是0.2米；
（3）由题意可得出：y=3.3，
则3.3=-0.2x2+3.5
解得：x1=1，x2=-1，
∴1.5-1=0.5，-2.5-（-1）=1.5，
∴乙在运动员距离甲1.5米之内以及篮板0.5米之内能在空中截住球．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用；建立合适的平面直角坐标系是解决本题的突破点；求得球出手时距离地面的高度是解决本题的关键．
26．（1），；（2）交点M的坐标为（2，-3）．
【分析】（1）将点A、点B坐标代入函数解析式，求解方程组即可；
（2）设直线AB的解析式为：，将点A、点B坐标代入函数解析式求解确定解析式，然后根据（1）中确定二次函数解析式，求出其对称轴，求两条之间交点即可确定点M的坐标．
【详解】解：（1）将点A、点B坐标代入函数解析式可得：
，
解得：，
∴，；
（2）设直线AB的解析式为：，
将点A、点B坐标代入函数解析式可得：
，
解得：，
∴一次函数解析式为：，
由（1）得二次函数解析式为：，
对称轴为：，
直线与的交点为M，
∴当时，，
∴交点M的坐标为（2，-3）．
【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定二次函数与一次函数解析式，两条直线的交点问题，二次函数的基本性质，理解题意，熟练运用待定系数法确定解析式是解题关键．