北京市2022-2023年上学期九年级期末数学试题知识点分类汇编-11相似性三角形的判定与性质

这是一份北京市2022-2023年上学期九年级期末数学试题知识点分类汇编-11相似性三角形的判定与性质，共17页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。
北京市2022-2023年上学期期末数学试题知识点分类汇编-11相似性三角形的判定与性质

一、单选题
1．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）如图，中，D、E分别在上，，则的值为（    ）

A． B． C． D．
2．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）如图，中，点E为中点，若的面积为1，则的面积为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．8
3．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）如图，中，D、E分别为、边上的点，，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．
4．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）如图，锐角，是边上异于、的一点，过点作直线截，所截得的三角形与原相似，满足这样条件的直线共有（     ）条．

A．1 B．2 C．3 D．4

二、解答题
5．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）如图，是的直径，是的弦，与交于点E，，延长至F，连接，使得．

(1)求证：是的切线；
(2)已知，，求的半径长．
6．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，将线段平移得到线段（其中P，分别是O，M的对应点），延长至，使得，连接，交于点Q，称Q为点P关于线段的关联点．

(1)如图，点．
①在图中画出点Q；
②求证：；
(2)已知的半径为1，M是上一动点，，点P关于线段的关联点为Q，求的取值范围．
7．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）中，，D是边上一点，延长至E，连接，．

(1)求证：；
(2)若，求长．
8．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）如图，已知锐角，以为直径画，交边于点M，平分与交于点D，过点D作于点E．

(1)求证：是的切线；
(2)连接交于点F，若，，求长．
9．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值．

10．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）已知：如图，在中，D为边的中点，连接，，，求的长．


三、填空题
11．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）如图，矩形中，，E是上一点，与交于点F．则的长为 ．

12．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）如图，中，，于D，，，则的长为 ．

13．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB= m．

14．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图所示的样子，假设图中的所有点、线都在同一平面内，图中有相似不包括全等三角形有 对


参考答案：
1．D
【分析】证明，则．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
2．C
【分析】根据题意易证，再根据点E为中点得出相似比，最后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出的面积．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵点E为中点，
∴，即，
∵的面积为1，
∴，即，
解得：；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，相似三角形面积比等于相似比的平方．
3．D
【分析】先证明，再证明，可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键．
4．D
【分析】本题可以分两种方法，第一种：利用平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似的判定定理，过点P分别做AC与BC的平行线.第二种：利用两边对应成相等比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理，过P分别做PE交AC或交BC于点E，使使AE：AB=AP：AC或使BP：CB=BE：AB，夹角是公共角∠A或∠B.
【详解】
（1）如图1，作PE平行于BC，则△APE△ABC,（2）如图2，作PE平行于AC，则△BPE△BAC,（3）如图3，作PE，使AE：AB=AP：AC,此时∠A.是公共角，△APE△ACB,（4）如图4，作PE，使BP：CB=BE：AB．此时∠B是公共角，△PEB△ACB
所以共有四种画法，即四条直线满足条件，故选D．
【点睛】本题综合考查了平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似的判定定理与两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理，熟练掌握是解题关键.
5．(1)见解析
(2)2

【分析】（1）连接，由垂径定理的推论可得垂直平分，，进一步得，，可得，得，结论得证；
（2）作于点H，连接，则，由角平分线的性质定理得到，设的半径长为r,则，再证，得到，即可求得答案．
【详解】（1）解：连接，

∵是的直径，是的弦，，
∴垂直平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的度数，度数的度数，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）作于点H，连接，

∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设的半径长为r，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验：是方程的解.
∴的半径长为2．
【点睛】此题主要考查了垂径定理及推论、圆周角定理及推论、相似三角形的判定和性质、切线的判定定理等知识，熟练掌握相关定理并灵活应用是解题的关键．
6．(1)①见解析，②见解析
(2)

【分析】（1）①按要求画出图形即可，②连接，由平移的性质得四边形是平行四边形，则由得，证，即可得到结论；
（2）由题意点的坐标是，分别求出当点M运动到点时，，当点M运动到点时，，由当点M运动到点时，有最小值，当点M运动到点时，有最大值，即可得的取值范围．
【详解】（1）解：①如图所示，

②连接，
∵线段平移得到线段，
∴，
∴四边形是为平行四边形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图所示，

点的坐标是，
当点M运动到点时，点，，，
当点M运动到点时，点，，，
∵当点M运动到点时，有最小值，当点M运动到点时，有最大值，
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、平移的性质、平行四边形的判定和性质等知识，读懂题意，正确画图是解题的关键．
7．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据等边对等角得出再由等量代换得出结合相似三角形的判定方法证明即可；
（2）根据相似三角形的对应边成比例求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴
∵
∴
∵
∴；
（2）由（1）得，
∴即
∴．
【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
8．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，根据可得，根据角平分线的定义，则，最后根据，，即可证明；
（2）连接，可得，即可求出的长度，根据勾股定理求出的长度，进而求出的长度，通过证明，即可根据相似三角形对应边成比例求解．
【详解】（1）证明：连接，

∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）如图：连接，
∵为直径，，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理可得，
∴，
在中，根据勾股定理可得，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：．

【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相关内容并灵活运用．
9．
【分析】解法1：过点D作AC的平行线交BN于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
解法2：过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
解法3：过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
解法4：过点D作BN的平行线交AC于点H，根据三角形中位线定理得出，
即可得出答案；
【详解】解法1：如图2，过点D作AC的平行线交BN于点H．

因为．
所以，
所以．
因为D为BC的中点，所以．
因为，所以，
所以．
因为M为AD的中点，所以．
所以，
所以．
解法2：如图3，过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H．

因为，所以，
所以．
因为D为BC的中点，所以．
因为M为AD的中点，所以，
所以．
因为，
所以，
所以．
解法3：如图4，过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H．

因为，所以，
所以．
因为M为AD的中点，所以，所以．
因为，所以，
所以．
因为D为BC的中点，且，
所以．
解法4：如图5，过点D作BN的平行线交AC于点H．

在中，
因为M为AD的中点，，
所以N为AH的中点，即．
在中，因为D为BC的中点，，所以H为CN的中点，即，
所以．
所以．
10．
【分析】先证明，再根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【详解】解：∵D为边的中点，，
∴，
∵，，
∴
∴，即，
解得：（负值舍去），
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形对应边成比例．
11．4
【分析】先利用勾股定理求出，再证明，得到，则．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，证明，得到是解题的关键．
12．2
【分析】先判定，再根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：（负值舍去），
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形对应边成比例．
13．5.5
【详解】在△DEF和△DBC中，，
∴△DEF∽△DBC，
∴，
40cm=0.4m，20cm=0.2m，
即，
解得BC=4，
∵AC=1.5m，
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m
故答案为：5.5m
【点睛】考点：相似三角形
14．3
【分析】由于△BAC和△AGF都是等腰直角三角形，因此∠B=∠FAG=45°，由∠AED是公共角，即可得出△ADE∽△BAE，同理：△CDA∽△ADE，继而可得出△BAE∽△CDA，由此即可得结论.
【详解】∵△ABC与△AFG都为等腰直角三角形，
∴∠DAE=∠B=45°，∠AED=∠BEA，
∴△ADE∽△BAE，
同理：△CDA∽△ADE，
∴△BAE∽△CDA，
故答案为3.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.