四川省南充市2020届高三诊断性测试数学（理）试题 Word版含解析

这是一份四川省南充市2020届高三诊断性测试数学（理）试题 Word版含解析，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

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四川省2017级高中毕业班诊断性测试理科数学
一、选择题
1.设是虚数单位，若为纯虚数，则实数的值为( )
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据纯虚数的定义计算即可.
【详解】解：为纯虚数

故选：C
【点睛】考查纯虚数的定义及复数的运算，基础题.
2.设全集，集合，，则将韦恩图（Venn）图中的阴影部分表示成区间是( )

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求，再求，最后求.
【详解】解：


故选：A
【点睛】考查补集及交集的运算，基础题.
3.在的展开式中，项的系数为( )
A. 20 B. 15 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求通项，再令的指数为2，最后求系数
【详解】解：
令，项的系数为
故选：D
【点睛】考查求二项式中指定项的系数，基础题.
4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
该几何题上面是圆锥，下面是半球，半球的半径为3，圆锥的高为2，分别求其体积，再求和.
【详解】解：该几何题上面是圆锥，下面是半球，半球的半径为3，圆锥的高为2

故选：B
【点睛】考查由三视图还原为几何体、再求几何体体积的求法，基础题.
5.设，，则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
，利用和可比较.
【详解】解：
在单调递增

又

所以
故选：D
【点睛】考查利用三角函数的性质比较大小，基础题.
6.已知是奇函数，且当时，，则曲线在处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求切点，再求自变量小于零时解析式，再求导数和斜率，最后求方程
【详解】解：
，，

切线方程为：，即，
故选：A
【点睛】考查求曲线上一点的切线方程的求法，基础题.
7.设、分别是抛物线的顶点和焦点，点在抛物线上，若，则( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
设，由，求出点的坐标，最后求
详解】解：，设
，
因为



，
故选：B
【点睛】结合抛物线求向量的模，基础题.
8.已知，则是“的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
时，；取特殊值，验证即可.
【详解】解：，
因为，所以时，，即，
取，即.
因此，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，同时也考查了不等式的基本性质，考查推理能力，属于基础题.
9.北魏大数学家张邱建对等差数列问题的研究精深，在其著述《算经》中有如下问题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入得金四斤，持出：下四人后入得三斤，持出：中间三人未到者.亦依等次更给.问未到三人复应得金几何?”则该问题的答案约为( )（结果精确到0.1斤）
A. 3.0 B. 3.2 C. 3.4 D. 3.6
【答案】B
【解析】
【分析】
设这十等人所得金的重量从大到小依次组成公差为的等差数列，根据等差数列的性质求公差，最后代入可得.
【详解】解：设这十等人所得金的重量从大到小依次组成公差为的等差数列，
则，
，即，，

故选：B
【点睛】考查等差数列的性质及其运算，基础题.
10.设向量，满足，且，则( )
A. B. 1 C. 3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
把，和结合整理即可
【详解】解：，



由得
，即
故选：D
【点睛】考查向量模、垂直、数量积的有关计算，基础题.
11.已知函数关于直线对称，函数，则下列四个命题中，真命题有( )
①的图象关于点成中心对称；②若对，都有，则的最小值为；③将的图象向左平移个单位，可以得到的图象；④，使.
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据关于直线对称，确定，再根据选项依次判断，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】解：关于直线对称，则，
可得，，.
所以，.
对于①，，正确；
对于②，若对，都有，则的最小值为的半个周期，故错误；
对于③，将的图象向左平移个单位得到 ，故错误.
对于④，
，
因为，，
，使，故正确.
故选：C.
【点睛】本题考查正弦型函数和余弦型函数的有关性质，同时考查学生的运算求解能力和逻辑推理能力，基础题.
12.已知三条射线，，两两所成的角都是60°.点在上，点在内运动，，则点的轨迹长度为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用三余弦公式求出，再求，确定点在平面内的轨迹是以为圆心，6为半径的圆在内的圆弧，再求弧长即可
【详解】解：如图，


过作平面于，则点在的平分线上，
在平面内，作于，连结，
根据三垂线定理，则

，
，
点的轨迹是以为圆心，6为半径的圆在内的圆弧，
圆弧的长度为：
故选：C
【点睛】考查三垂线定理、三余弦公式以及圆的定义的应用，基础题.
二、填空题
13.双曲线的焦点到渐近线的距离为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由双曲线的性质得出右焦点坐标以及渐近线的方程，由点到直线的距离公式求解即可.
【详解】
故双曲线的右焦点为
双曲线的渐近线的方程为：
则右焦点到渐近线的距离为：
故答案为：
【点睛】本题主要考查了双曲线的基本性质以及点到直线的距离公式，属于基础题.
14.已知数列的前项和，若成等比数列，则实数______.
【答案】1
【解析】
【分析】
根据，再写一式，两式相减，即可证明为等比数列
【详解】解：

，

上式两边同时加上1得，，
，所以
故答案为：1
【点睛】已知与的关系，再写一个式子，一般是用上，再构造新数列，基础题.
15.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
若恒成立，必须函数的最小值大于零，结合取特殊值，分段讨论函数的最小值即可.
【详解】解：恒成立，所以
（1）时，必须是有最小值，所以，此时
（2）

递减，
递增

所以
综合(1)、(2) 有，
故答案为：
【点睛】不等式恒成立求参数的取值范围，一般是转化为求函数的最值，基础题.
16.为弘扬新时代的中国女排精神.甲、乙两个女排校队举行一场友谊比赛，采用五局三胜制（即某队先赢三局则获胜，比赛随即结束）.若两队的竞技水平和比赛状态相当，且每局比赛相互独立，则比赛结束时已经进行的比赛局数的数学期望是______.
【答案】
【解析】
【分析】
设比赛结束时已经进行的比赛局数为，时，表示甲连赢三局或乙连赢三局，比赛结束.
时，有两种情况：前三局中甲赢2局输1局，第四局甲赢；前三局中乙赢2局输1局，第四局乙赢. 时，有两种情况：前四局中甲赢2局输2局，第五局甲赢；前四局中乙赢2局输2局，第五局乙赢.
【详解】解：因为两队的竞技水平和比赛状态相当，所以每场比赛甲赢或乙赢的概率都是0.5
设比赛结束时已经进行的比赛局数为，则的可能取值为3，4，5



的分布列为：

3
4
5








故答案为：
【点睛】考查求离散型随机变量的数学期望，求随机变量的取值时可能包含多种情况，注意做到不能重复也不能遗漏，基础题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题
17.在中，内角，，的对边分别是，，，已知，，成等差数列.
（1）求的大小：
（2）设，求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1），，成等差数列，把正切化成弦，结合正弦定理化简整理. （2）利用余弦定理和基本不等式，求的范围.
【详解】解：（1）由，，成等差数列，
得.
因为
.
又，
所以，即.
由正弦定理，得，
又，所以.
因为，所以.
（2）由余弦定理，得.
又，所以.
又因为，所以，当且仅当时，等号成立，
故，
于是面积的最大值为.
【点睛】考查正、余弦定理以及基本不等式在三角形中的应用，中档题.
18.如图所示，菱形与正方形所在平面相交于.

（1）求作平面与平面的交线，并说明理由；
（2）若与垂直且相等，求二面角的余弦值.
【答案】（1）过点作的平行线，理由见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）过点作的平行线，然后证明与平行，证明四边形为平行四边形即可；
（2）取的中点，以其为坐标原点，建立空间直角坐标系，用向量坐标法求解即可.
【详解】解：（1）过点作的平行线即可，下面予以证明.
由已知易得，和都与平行且相等，即与平行且相等.
所以四边形是平行四边形，于是.
又平面，且平面，平面.
又平面，且平面，.
（2）由，且，得平面.
由可得，正三角形.
取的中点，则.
建立如图所示的空间直角坐标系.

设，则，，，.
，，.
设平面的一个法向量
，即，
令，则，
得平面的一个法向量
设平面的一个法向量
，即，
令，则，
得平面的一个法向量.
所以.
故二面角余弦值为.
【点睛】考查：过两个平面的一个公共点作与一个平面内的直线平行的直线，然后证明所作的直线与另一个平面内的直线平行，这是找两个平面交线的常用方法；用坐标向量法求二面角的平面角是求二面角的常用方法.
19.已知椭圆：经过点，且离心率为，
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于不同两点、.求证：直线和的斜率之和为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用的关系直接求解即可；
（2）设出的方程为，联立椭圆方程，再表示出和的斜率，最后说明之和为定值.
【详解】解：（1）由椭圆经过点得，.
设半焦距为，由离心率为得，
又因为，所以，解得
故椭圆的方程为.
（2）因为直线过点且与轨迹有两个不同交点
所以直线的斜率一定存在且大于零.
于是可设直线的方程为.
代入并整理得.
设，，则，.
设直线和的斜率分别为和，则


为定值，此题得证.
【点睛】考查椭圆方程的求法以及根据直线和椭圆的位置关系求两条直线的斜率之和为定值.直线和椭圆相交时，采用设交点坐标而不求出的方法，一定注意判别式大于零，同时用上韦达定理，可使解题简单；难题.
20.随着经济的快速增长、规模的迅速扩张以及人民生活水平的逐渐提高，日益剧增的垃圾给城市的绿色发展带来了巨大的压力.相关部门在有5万居民的光明社区采用分层抽样方法得到年内家庭人均与人均垃圾清运量的统计数据如下表：
人均（万元/人）
3
6
9
12
15
人均垃圾清运量（吨/人）
0.13
0.23
0.31
0.41
0.52




（1）已知变量与之间存在线性相关关系，求出其回归直线方程；
（2）随着垃圾分类的推进，燃烧垃圾发电的热值大幅上升，平均每吨垃圾可折算成上网电量200千瓦时，如图是光明社区年内家庭人均的频率分布直方图，请补全的缺失部分，并利用（1）的结果，估计整个光明社区年内垃圾可折算成的总上网电量.
参考公式]回归方程，
【答案】（1）；（2）见解析，千瓦.
【解析】
【分析】
（1）利用公式直接求；（2）频率分布直方图各小矩形的面积之和为1，求出，再绘图，取各组中点求出人均，代入回归直线方程求出垃圾清运量，再换算成电量.
【详解】解：（1）由表格数据得，，
.
，

.
所以
于是.
故变量与之间回归直线方程为.
（2）由频率分布直方图各小矩形的面积之和为1.得.
解得，故最右边小矩形的高度为，如图，
由频率分布直方图可得，光明社区的人均为
（万元/人）.
由（1）的结论知，光明社区的人均垃圾清运量约为（吨/人）.
于是光明社区年内垃圾清运总量为（万吨）.
由题意，整个光明耻区布内垃圾可折算成的总上网电量估计为
（千瓦时），即为所求.
【点睛】考查求回归直线方程，频率分布直方图的应用，中档题.
21.已知函数.其中.
（1）求的单调区间；
（2）设，是的两个极值点，求证：.
【答案】（1）在和内单调递减，在内单调递增；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求导，对参数进行讨论（2），是的两个极值点，则，是的两个零点，找到，，化简整理，通过构造新函数，研究函数单调性达到证明的目的.
【详解】解：（1）求导，得（其中）.
①当时，恒成立，所以在区间内单调递减，无单调递增区间；
②当时，由，解得；
由，解得或.
故在区间和内单调递减，在区间内单调递增.
（2）因为有两个极值点，，由（1）知，且，.



所以.
设函数，则.
故在区间内单调递增，于是，即.
不妨设，令，则，
即.
于是.
从而.
【点睛】考查含参数的函数的单调性和构造函数证明不等式，难题.
（二）选考题：共10分.请考生在第22.23题中任选－－题作答.如果多做，则按所做的
第一题计分.
选修4－4：极坐标与参数方程
22.在中面直角坐标系中，已知：（其中为参数），：（其中为参数）.以为极点、轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）.
（1）求和的极坐标方程；
（2）设以为端点、倾斜角为的射线与和分别交于，两点，求的最小值.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）两个方程都消去参数化成直角坐标方程，再把，代入直角坐标中化成极坐标方程；（2）根据极径的几何意义，把转化成三角函数求最值.
【详解】解：（1）在中，消去参数，得，即.
由，，得，
所以的极坐标方程为.（未化成这种形式可不扣分）
在中，消去参数，得，即.
由，，得，即.
（2）射线的极坐标方程为，则，.
所以
.
故的最小值为.
当且仅当即时取得.
【点睛】考查把参数方程化成极坐标方程和利用极径的几何意义求最值，中档题.
选修4-5：不等式选讲
23.设函数的最大值为.
（1）求的值；
（2）若，求的最大值.
【答案】（1）3；（2）.
【解析】
【分析】
（1）分段讨论去掉函数的绝对值号即可（2）把转化成，然后利用柯西不等式即可
详解】解：（1）函数，
所以在区间内单调递增，在区间内单调递减.
故的最大值；
（2）由柯西不等式，得
.
由己知，得.
故所求最大值为（当且仅当，取得）.
【点睛】考查求含两个绝对值号的不等式的最值求法和用柯西不等式求最值，中档题.