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数学中考压轴复习专题几何综合——添加辅助线课件PPT
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这是一份数学中考压轴复习专题几何综合——添加辅助线课件PPT，共41页。PPT课件主要包含了PART01，PART02，PART03等内容，欢迎下载使用。
1.熟练运用所学的几何学知识解决各种数学问题和生活实际问题。2.培养学生优化思想，深入自己的学习生活中。3.通过学习活动，培养学生学数学用数学的意识和创新精神，提高学生自主获取知识和概括知识的能力。
【重点】熟练掌握几何学知识及其应用。
【难点】能用所学的数学知识解决各种数学问题和实际问题。
几何综合题主要有运算型的综合与逻辑推理型的综合.从压轴题的角度来看，这类题目要么图形关系很复杂，要么条件与结论之间的关系比较隐蔽。完整的破解，需要准确分析已知条件，善于挖掘隐含条件，看懂图形的结构或明白图形的生成过程，能借助辅助线补全或构建基本图形.
初中几何学知识脉络梳理
如图1,△ABC和△OEF都是等边三角形，点D,E,F 分别在AB,BC,AC边上,BH⊥DE于点H,交AC于点G.求证：AG+CF=2BD
问题1：题干中的两个等边三角形的组合形成了什么样的 基本图形？ 如图2，等边△DEF的三个顶点分别在等边△ABC的三条边上，构成了全等的基本图形—"一线三等角"，容易证明△ADF ≌△BED≌△CFE，所以图形中隐含着两组等线段：AD=BE=CF，AF =BD=CE，这是整个问题生成的平台，而能否识别出这些基本的数量关系，既是基本功的体现，同时也给解题打下了坚实的基础.
问题2：待证结论AG＋CF=2BD与上述两个等边三角形之间有没有特殊的关系？ 如图3，等边三角形的性质告诉我们，若顶点F是AC边的中点，则点G与点F 重合，此时待证结论AG＋CF=2BD显然成立，而这正是打开思路的突破口. 如图4，若点G位于线段AF上，由问题1可知AG=AF-FG=BD-FG，此时若CF=BD＋FG，则AG＋CF=2BD，问题得证.
问题3：BH⊥DE于点H，交AC于点G，如何理解并运用这个条件？ 已知"BH⊥DE于点H，交AC于点G"与问题2的假设"若CF=BD＋FG"之间有什么关系？或者说如何能让CF=BD＋FG呢？经验告诉我们这时只能请辅助线帮忙实现了：如图5，在CF上截取CP=BD，则问题2的假设进一步转化为证明FP=FG，即证明点F为GP的中点.这时候不得不考虑点G的生成过程了，为此再作FQ⊥DE于点Q（如图6），则点Q是DE的中点（对证明点F为GP中点的呼应），且FQ∥BG（如何利用已知的BG这条垂线是难点，辅助线算作迈出的一大步）.那如何由中点Q得出中点F呢？ 如图7，根据平行线分线段成比例的特殊情况，若点Q恰好是线段BP的中点，那么F一定是GP的中点，看来问题最后集中为：B，Q，P三点是否共线且Q是BP的中点？ 如图8，有了上面的想法，问题基本上水到渠成了，最后只需再连接PD，PE，易证四边形DBEP是平行四边形，Q是对角线DE的中点，必然也是对角线BP的中点，从而结论成立.
问题4：与点G的位置有关吗？ 如图9，若点G位于线段CF上，根据同样的思路与方法也能证明结论成立，所以与点G在AC边上的位置无关，也就是说这样的两个等边三角形的图形组合总能形成如上结论，因此证明过程就以图1为准.
证明：如图10，在CF上截取CP=BD，连接PD，PE，PB，作FQ⊥DE于点Q.∵△ABC与△DEF是等边三角形，∴∠ABC=∠DEF=∠C=60°，AB=BC，DE=EF. ∵∠DEF＋∠CEF=∠ABC十∠BDE，∴∠BDE=∠CEF. ∴△BDE≌△CEF（证明全等要严格按照书本上的格式书写），∴BD=CE，则AD=BE.同理，可证AD=BE=CF，AF=BD=CE.
∵CP=BD=CE，∴△PCE是等边三角形，∴∠PEC=60°=∠ABC，PE=PC，∴PE//BD，PE=BD，∴四边形BEPD是平行四边形.又∵△DEF是等边三角形，且FQ⊥DE，∴Q是DE的中点.从而在平行四边形BEPD中，Q是BP的中点. ∵BG⊥DE于点H，∴FQ//BG. 在△PBG中，Q是BP的中点，FQ//BG，∴F是PG的中点，即PF=FG.∴AG+CF=(AF-FG)＋(CP+PF)=AF+CP=2BD
（1）这道题目围绕特殊三角形与特殊四边形的相关知识，借助1条垂线巧妙地设计了一个思路比较隐蔽的问题，题目的证明过程并不是很复杂，但是如何获得、理顺证明思路就成了难点，希望同学们多琢磨.
（2）通过这道题让我们又一次见识到，辅助线的添加来源于对几何基本图形与性质的灵活掌握，来源于解题经验的积累
1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点O，连接AO.则下列结论中：①△ABD∽△ACE；②∠COD=135°；③AO⊥BD；④△AOC面积的最大值为8，其中正确的有（ ）
A. 1个 B.2个 C. 3个 D. 4个
①由旋转性质证明△ABD∽△ACE即可判断；
②由①的结论可得，∠ABD=∠ACE，进而得到∠BOC=∠CAB=45°，即可判断∠COD；
③证明△ABD为等腰三角形即可判断；
④由题意直线BD、CE相交于点O，当AD⊥AC时，△AOC的面积最大，通过勾股定理计算求出最大值，进而进行判断
由①△ABD∽△ACE，可得∠ABD=∠ACE，又∠BFO=∠CFA∴∠BOC=∠CFA=45° 故②正确③∵∠BOC=∠CAB=45°, ∴A、B.C.O四点共圆，则∠BOA=∠BCA=90°即AO⊥BD 故③正确④设O到AC的距离为h ∵AC=4，以AC为底边，当h最大时候，△AOC面积的才最大，由③可知△ABD是等腰三角，OD=OB
（1）连接OD，由题意可得∠B=∠C，由半径OB和OD可得∠B=∠ODB，从而∠C=∠ODB，在Rt△DEC中可知∠C+∠CDE=90°，则∠OBD+∠CDE=90°，从而得出∠ODE=90°，即可得证DE是CO的切线；
解：如图，延长BE交AC的延长线于点N，连接OB、OC，BD. ∵D是弧BC的中点，∴∠EAB=∠EAN,OD⊥BC ∵BE⊥AD∴∠AEB=∠AEN=90°∴∠ABE+∠BAE=90°, ∠N+∠EAN=90°,∵∠ABE=∠N.
∴AB=AN. ∴BE=EN∵OD⊥BC ∴BH=CH ∴CN=2EH=3. ∴AB=AN=AC+CN=8∵OH=HD,BH⊥OD. ∴OB=BD ∵OB=OD ∠DOC=∠BOD=60°∴∠BOC=2∠BOD=120°
（1）根据圆周角定理和垂直求出∠DEO=∠ACB，根据平行得出∠DEO=∠ABC，根据相似三角形的判定得出即可；
（2）根据相似三角形的性质得出∠ODE=∠A，根据圆周角定理得出∠A=∠BDC，推出∠ODE=∠BDC即可；
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵DE⊥AB∴∠DEO=90°．∵∠DEO=∠ACB,∵OD//BC.∴∠DOE=∠ABC.∴△DOE∽△ABC.
（2）证明：∵△DOE∽△ABC∴∠ODE=∠A,∵∠A与∠BDC都是弧BC 所对的圆周角∴∠A=∠BDC∴∠ODE=∠BDC∴∠ODF=∠BDE
（1）先求出AC，再分三种情况讨论计算即可得出结论；
基本图形的辅助线的画法
如：证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90°; 证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍; 证角的倍半关系也可类似添关心线。
按基本图形 添的规律
(1)平行线 是个基本图形
当几何中出现平行线时添辅助线的关键是：添与二条平行线都相交的等第三条直线
(2)等腰三角形是 个简洁的基本图形
当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完好等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
(3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形
出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;
出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
(4)直角三角形斜边上 中线基本图形
出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
(5)三角形中位线是基本图形
几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，
当有中位线三角形不完好时则需补完好三角形;
当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;
当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等;假如出现两条相等线段或两个档相等角关于某始终线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角 形；或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成始终线时可添加中心对称形全等三角形加以证明。
添加方法： 是将四个端点两两连结或过二端点添平行线
相似三角形有平行线型(带平行线的相似三角形)，相交线型，旋转型;
当出现相比线段重叠在始终线上时(中点可看成比为1)可添加平行线得平行线型相似三角形。
若平行线过端点添则可以分点或另 一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。
(8)特殊角直角三角形
当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加
出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角;
出现90度的圆周角则添它所对弦---直径;
基本图形的 辅助线的画法
方法1：有关三角形中线的题目， 常将中线加倍。含有中点的题目， 常常利用三角形的中位线
方法2：含有平分线的题目， 常以角平分线为对称轴， 利用角平分线的性质和题中 的条件，构造出全等三角形， 利用全等三角形的学问解决问题。
方法3：结论是两线段相等的题目 常画关心线构成全等三角形， 或利用关于平分线段的一些定理。
方法4：结论是一条线段与另一条线段之和 等于第三条线段这类题目， 常接受截长法或补短法， 所谓截长法就是把第三条线段分成两部分， 证其中的一部分等于第一条线段， 而另一部分等于第二条线段。
(2)梯形外平移一腰
(1)在梯形内部平移一腰。
(3)梯形内平移两腰
(5)过梯形上底的两端点向下底作高
(5)两圆相交作公共弦
(4)两圆相切作公切线
1.熟练运用所学的几何学知识解决各种数学问题和生活实际问题。2.培养学生优化思想，深入自己的学习生活中。3.通过学习活动，培养学生学数学用数学的意识和创新精神，提高学生自主获取知识和概括知识的能力。
【重点】熟练掌握几何学知识及其应用。
【难点】能用所学的数学知识解决各种数学问题和实际问题。
几何综合题主要有运算型的综合与逻辑推理型的综合.从压轴题的角度来看，这类题目要么图形关系很复杂，要么条件与结论之间的关系比较隐蔽。完整的破解，需要准确分析已知条件，善于挖掘隐含条件，看懂图形的结构或明白图形的生成过程，能借助辅助线补全或构建基本图形.
初中几何学知识脉络梳理
如图1,△ABC和△OEF都是等边三角形，点D,E,F 分别在AB,BC,AC边上,BH⊥DE于点H,交AC于点G.求证：AG+CF=2BD
问题1：题干中的两个等边三角形的组合形成了什么样的 基本图形？ 如图2，等边△DEF的三个顶点分别在等边△ABC的三条边上，构成了全等的基本图形—"一线三等角"，容易证明△ADF ≌△BED≌△CFE，所以图形中隐含着两组等线段：AD=BE=CF，AF =BD=CE，这是整个问题生成的平台，而能否识别出这些基本的数量关系，既是基本功的体现，同时也给解题打下了坚实的基础.
问题2：待证结论AG＋CF=2BD与上述两个等边三角形之间有没有特殊的关系？ 如图3，等边三角形的性质告诉我们，若顶点F是AC边的中点，则点G与点F 重合，此时待证结论AG＋CF=2BD显然成立，而这正是打开思路的突破口. 如图4，若点G位于线段AF上，由问题1可知AG=AF-FG=BD-FG，此时若CF=BD＋FG，则AG＋CF=2BD，问题得证.
问题3：BH⊥DE于点H，交AC于点G，如何理解并运用这个条件？ 已知"BH⊥DE于点H，交AC于点G"与问题2的假设"若CF=BD＋FG"之间有什么关系？或者说如何能让CF=BD＋FG呢？经验告诉我们这时只能请辅助线帮忙实现了：如图5，在CF上截取CP=BD，则问题2的假设进一步转化为证明FP=FG，即证明点F为GP的中点.这时候不得不考虑点G的生成过程了，为此再作FQ⊥DE于点Q（如图6），则点Q是DE的中点（对证明点F为GP中点的呼应），且FQ∥BG（如何利用已知的BG这条垂线是难点，辅助线算作迈出的一大步）.那如何由中点Q得出中点F呢？ 如图7，根据平行线分线段成比例的特殊情况，若点Q恰好是线段BP的中点，那么F一定是GP的中点，看来问题最后集中为：B，Q，P三点是否共线且Q是BP的中点？ 如图8，有了上面的想法，问题基本上水到渠成了，最后只需再连接PD，PE，易证四边形DBEP是平行四边形，Q是对角线DE的中点，必然也是对角线BP的中点，从而结论成立.
问题4：与点G的位置有关吗？ 如图9，若点G位于线段CF上，根据同样的思路与方法也能证明结论成立，所以与点G在AC边上的位置无关，也就是说这样的两个等边三角形的图形组合总能形成如上结论，因此证明过程就以图1为准.
证明：如图10，在CF上截取CP=BD，连接PD，PE，PB，作FQ⊥DE于点Q.∵△ABC与△DEF是等边三角形，∴∠ABC=∠DEF=∠C=60°，AB=BC，DE=EF. ∵∠DEF＋∠CEF=∠ABC十∠BDE，∴∠BDE=∠CEF. ∴△BDE≌△CEF（证明全等要严格按照书本上的格式书写），∴BD=CE，则AD=BE.同理，可证AD=BE=CF，AF=BD=CE.
∵CP=BD=CE，∴△PCE是等边三角形，∴∠PEC=60°=∠ABC，PE=PC，∴PE//BD，PE=BD，∴四边形BEPD是平行四边形.又∵△DEF是等边三角形，且FQ⊥DE，∴Q是DE的中点.从而在平行四边形BEPD中，Q是BP的中点. ∵BG⊥DE于点H，∴FQ//BG. 在△PBG中，Q是BP的中点，FQ//BG，∴F是PG的中点，即PF=FG.∴AG+CF=(AF-FG)＋(CP+PF)=AF+CP=2BD
（1）这道题目围绕特殊三角形与特殊四边形的相关知识，借助1条垂线巧妙地设计了一个思路比较隐蔽的问题，题目的证明过程并不是很复杂，但是如何获得、理顺证明思路就成了难点，希望同学们多琢磨.
（2）通过这道题让我们又一次见识到，辅助线的添加来源于对几何基本图形与性质的灵活掌握，来源于解题经验的积累
1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点O，连接AO.则下列结论中：①△ABD∽△ACE；②∠COD=135°；③AO⊥BD；④△AOC面积的最大值为8，其中正确的有（ ）
A. 1个 B.2个 C. 3个 D. 4个
①由旋转性质证明△ABD∽△ACE即可判断；
②由①的结论可得，∠ABD=∠ACE，进而得到∠BOC=∠CAB=45°，即可判断∠COD；
③证明△ABD为等腰三角形即可判断；
④由题意直线BD、CE相交于点O，当AD⊥AC时，△AOC的面积最大，通过勾股定理计算求出最大值，进而进行判断
由①△ABD∽△ACE，可得∠ABD=∠ACE，又∠BFO=∠CFA∴∠BOC=∠CFA=45° 故②正确③∵∠BOC=∠CAB=45°, ∴A、B.C.O四点共圆，则∠BOA=∠BCA=90°即AO⊥BD 故③正确④设O到AC的距离为h ∵AC=4，以AC为底边，当h最大时候，△AOC面积的才最大，由③可知△ABD是等腰三角，OD=OB
（1）连接OD，由题意可得∠B=∠C，由半径OB和OD可得∠B=∠ODB，从而∠C=∠ODB，在Rt△DEC中可知∠C+∠CDE=90°，则∠OBD+∠CDE=90°，从而得出∠ODE=90°，即可得证DE是CO的切线；
解：如图，延长BE交AC的延长线于点N，连接OB、OC，BD. ∵D是弧BC的中点，∴∠EAB=∠EAN,OD⊥BC ∵BE⊥AD∴∠AEB=∠AEN=90°∴∠ABE+∠BAE=90°, ∠N+∠EAN=90°,∵∠ABE=∠N.
∴AB=AN. ∴BE=EN∵OD⊥BC ∴BH=CH ∴CN=2EH=3. ∴AB=AN=AC+CN=8∵OH=HD,BH⊥OD. ∴OB=BD ∵OB=OD ∠DOC=∠BOD=60°∴∠BOC=2∠BOD=120°
（1）根据圆周角定理和垂直求出∠DEO=∠ACB，根据平行得出∠DEO=∠ABC，根据相似三角形的判定得出即可；
（2）根据相似三角形的性质得出∠ODE=∠A，根据圆周角定理得出∠A=∠BDC，推出∠ODE=∠BDC即可；
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵DE⊥AB∴∠DEO=90°．∵∠DEO=∠ACB,∵OD//BC.∴∠DOE=∠ABC.∴△DOE∽△ABC.
（2）证明：∵△DOE∽△ABC∴∠ODE=∠A,∵∠A与∠BDC都是弧BC 所对的圆周角∴∠A=∠BDC∴∠ODE=∠BDC∴∠ODF=∠BDE
（1）先求出AC，再分三种情况讨论计算即可得出结论；
基本图形的辅助线的画法
如：证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90°; 证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍; 证角的倍半关系也可类似添关心线。
按基本图形 添的规律
(1)平行线 是个基本图形
当几何中出现平行线时添辅助线的关键是：添与二条平行线都相交的等第三条直线
(2)等腰三角形是 个简洁的基本图形
当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完好等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
(3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形
出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;
出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
(4)直角三角形斜边上 中线基本图形
出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
(5)三角形中位线是基本图形
几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，
当有中位线三角形不完好时则需补完好三角形;
当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;
当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等;假如出现两条相等线段或两个档相等角关于某始终线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角 形；或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成始终线时可添加中心对称形全等三角形加以证明。
添加方法： 是将四个端点两两连结或过二端点添平行线
相似三角形有平行线型(带平行线的相似三角形)，相交线型，旋转型;
当出现相比线段重叠在始终线上时(中点可看成比为1)可添加平行线得平行线型相似三角形。
若平行线过端点添则可以分点或另 一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。
(8)特殊角直角三角形
当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加
出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角;
出现90度的圆周角则添它所对弦---直径;
基本图形的 辅助线的画法
方法1：有关三角形中线的题目， 常将中线加倍。含有中点的题目， 常常利用三角形的中位线
方法2：含有平分线的题目， 常以角平分线为对称轴， 利用角平分线的性质和题中 的条件，构造出全等三角形， 利用全等三角形的学问解决问题。
方法3：结论是两线段相等的题目 常画关心线构成全等三角形， 或利用关于平分线段的一些定理。
方法4：结论是一条线段与另一条线段之和 等于第三条线段这类题目， 常接受截长法或补短法， 所谓截长法就是把第三条线段分成两部分， 证其中的一部分等于第一条线段， 而另一部分等于第二条线段。
(2)梯形外平移一腰
(1)在梯形内部平移一腰。
(3)梯形内平移两腰
(5)过梯形上底的两端点向下底作高
(5)两圆相交作公共弦
(4)两圆相切作公切线
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