线段和差最值问题-中考数学一轮复习课件

这是一份线段和差最值问题-中考数学一轮复习课件，共30页。PPT课件主要包含了线段的最值问题，中考总复习二轮复习，什么是将军饮马问题，技巧总结，将军饮马三字经，解题策略，相关知识，课堂小结，作业来啦等内容，欢迎下载使用。

1.线段的对称最值题型（将军饮马）
平面几何中涉及最值问题的相关定理有：两点之间 ,______最短点和直线之间___________最短翻折运动————轴对称{
小结： 做对称，选定点；俩定点，选方便，对称轴，看动点
例1 古希腊一位将军骑马，要从营地A到城堡B处，途中马需要饮水一次。问将军怎么走路程最短？
解： (1)做点B关于直线MN的对称点B' (2)连接B’A，交直线MN于点C ∴点C就是所求的点
小结：做对称，选定点；俩定点，选方便，对称轴，看动点
证明： 在MN上任取另一点C'连接BC、BC'、AC'、B'C'∵MN是B、B'的对称轴，点C、C'在对称轴上 ∴BC=B'C BC'=B'C'∴BC+AC=B'C+AC=AB'∴BC'+AC'=B'C'+AC'在△AB'C'中AB'＜B'C'+AC'∴BC+AC＜B'C'+AC' 即BC+AC最小
例1变式 已知P、Q是△ABC边AB、AC上的点。你能在BC上确定一点R，使△PQR的周长最短吗？
解： (1)做点P关于直线BC的对称点P' (2)连接P'Q，交直线BC于点R ∴点R就是所求的点
技巧小结：先分析定边，再分析动边
例2 一个将军从驻地A出发，先牵马去草地OM吃草，再牵马去河边喝水，最后回到驻地A。问将军怎么走路程最短？
解： (1)做点A关于直线OM、ON的对称 点A'、A'' (2)连接A'、A''，交直线OM于点B，交直线ON于点C ∴先到B点吃草，再到C点喝水，再回驻地A路程最短
技巧小结：一定点，两动点，都对称，再相连
例2变式 已知P是△ABC的边BC上的点。你能在AB、AC上分别确定一点Q和R，使△PQR周长最短吗？
解： (1)做点P关于直线AB、AC的对称 点P'、P'' (2)连接P'、P''，交直线AB于点Q，交直线AC于点R ∴Q、R为所求点
例3 如图，M为矩形ABCD对角线BD上一动点，N为边BC上的动点，求点M和N使MN+MC的值最小。
解： 作点C关于BD的对称点C' 过点C'作C'N⊥BC于点N，交BD于点M。 则此时的MN+MC最小。
技巧小结：三个点，一条线，垂线段，是最短
例4 如图A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先到草地某一处去牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷。请你帮助确定这一天的最短距离。
解： (1)做点A关于MN的对称点A'；做点B关于NL的对称点B'(2)连接A'、B'，草地于点C，交小河于点D ∴AC、CD、DB的和为最短距离
技巧小结：俩定点，俩动点，看路径，再对称
1.怎么对称，作谁的对称？定点对称轴是动点所在直线2.对称完以后和谁连接？和另外一个定点相连有两个对称点的时候，两个对称点相连过对称点作不在对称轴上的动点所在直线的垂线段3. 所求点怎么确定？所连直线与对称轴的交点。
做对称，选定点；对称轴，看动点。
两定点，一动点，对称点，选方便。
一定点，两动点，都对称，两相连。
两定点，两动点，看路径，再对称。
三个点，一条线，垂线段，是最短。
2.线段的和差最值题型
线段和差最值的存在性问题解题策略1.三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．2.两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．(如图3)，PA与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P′．
两直线：y=k1x+b1与y=k2x+b2平行
两直线：y=k1x+b1与y=k2x+b2垂直
例1 如图，抛物线 与y轴交于点A，顶点为B．点P是x轴上的一个动点，求线段PA与PB中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求出相应的点P的坐标。
求|PA－PB|的最小值与最大值
①当|PA－PB|最小时为0，即PA=PB
几何法设P(x, 0)
PA2=OP2+OA2=PB2=BH2+PH2
x2＋22＝(x－3)2＋62
②当|PA－PB|最大时P、A、B三点共线
小结： 两线段之差的最大值——构造三角形 三角形两边只差小于第三边
例2 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1．点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，当点A在x轴上运动时，点C也随之在y轴上运动．在整个运动过程中，求点B到原点的最大距离．
取AC中点D，连接OD，BD
OB最大=CD+BD=1+√2
小结：一线段最大值构造三角形三角形两边之和大于第三边
相关知识——直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
例3 如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙B和⊙A上的动点，求PE＋PF的最小值．
PE+BE+PF+AF=PE+PF+3
作点B关于CD的对称点B’，交CD与点P
PE+PF=AB'-3=3
例4 如图,在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．点E是BC边上的点，连结AE，过点E作AE的垂线交AB边于点F，求AF的最小值．
取AF中点D，连接DE则DE=AD=DF
作DH⊥CB于点D当DE与DH重合时DE为最小值
小结：求一个线段的最小值 构造直角三角形，斜边不小于直角边
例5 如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一个动点，如果△PAC的周长最小，求点P的坐标．
解：连接CB交抛物线的对称轴于点P 则此时△PAC的周长最小 由题可求出坐标B(3,0)，C(0,-3) 则BC所在直线为y=x-3, 题中抛物线的对称轴为x=1 则P点坐标为(1，-2)
线段和差最值问题解题思路◆最小值——（构造）将军饮马 构造直角三角形，斜边不小于直角边◆最大值——构造三角形两线段之差最大值——三角形两边之差小于第三边一线段最大值——三角形两边之和大于第三边
1.如图,∠AOB=30°,0C=5,OD=12,点E,F分别是射线OA,OB上的动点,求CF+EF+DE的最小值.
2.如图，已知A(0, 2)、B(6, 4)、E(a, 0)、F(a＋2, 0)，求a为何值时，四边形ABEF周长最小？请说明理由．