中考数学各题型解题指导专题复习冲刺课件

这是一份中考数学各题型解题指导专题复习冲刺课件，共60页。PPT课件主要包含了考前冲刺专题一，填空题，中考专题突破，代数专项训练，科学记数法，绝对值，a1－3b2，n＋mn－m，二次根式，实数大小比较等内容，欢迎下载使用。

(2021 年黑龙江绥化)已知 1 纳米＝0.000 000 001 米，则 2 012纳米用科学记数法表示为____________米．
(2021 年河北)若|x－3|＋|y＋2|＝0，则 x＋y＝______.3．因式分解(1)(2021年山东临沂) 分 解 因 式 ： a － 6ab ＋ 9ab2 ＝____________.(2)(2021 年广西北海)因式分解：－m2＋n2＝____________.
如图 K2－1，数轴上 A，B 两点分别对应实数 a，b，则 a，b 的大小关系为____________．图 K2－1
9．一元一次不等式(组)
(2021 年海南)农民张大伯因病住院，手术费用为 a 元，其他费用为 b 元，由于参加农村合作医疗，手术费用报销 85%，其他费用报销 60%，则张大伯此住院可报销______________元(用代数式表示)．
12．一次函数与反比例函数
14．二次函数的性质及图象如图 K2－2，直角坐标系中一条抛物线经过网格点 A，B，C ， 其 中 ， 点 B 的 坐 标 为 (4,4) ， 则该抛物线的关系式是
_________________．
几何专题训练1．余角与补角若角α的余角与角α的补角的和是平角，则角α＝____度．
3．多边形的内角和定理(2021 年浙江义乌)正 n 边形一个外角的度数为 60°，则 n 的
4．三角形外角和定理(2021 年福建莆田)将一副三角尺按如图 K2－5 的方式放置，则∠1＝________度．图 K2－5
如图 K2－6，在△ABC 中，点 A 的坐标为(0,1)，点 C 的坐标为(4,3)，如果要使△ABD 与△ABC 全等，那么点 D 的坐标是____________________．
解析：△ABD 与△ABC 有一条公共边 AB，
当点 D 在 AB 的下边时，点 D 有两种情况：①坐标是(4，
－1)；②坐标为(－1，－1)；
当点 D 在 AB 的上边时，坐标为(－1,3)；
点 D 的坐标是(4，－1)或(－1,3)或(－1，－1)．
答案：(4，－1)或(－1,3)或(－1，－1)
(2021 年湖北咸宁)如图 K2－9，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为 18 cm，深为 30 cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为 A，斜坡的起始点为 C，现设计斜坡 BC 的坡度 i＝1∶5，则 AC 的长度是______cm.图 K2－9
(2021 年天津)如图 K2－10，已知正方形 ABCD 的边长为 1，以顶点 A，B 为圆心，1 为半径的两弧交于点 E，以顶点 C，D为圆心，1 为半径的两弧交于点 F，则 EF 的长为______．
10．直线与圆的位置关系
11．圆与圆的位置关系已知⊙O1 与⊙O2 的半径分别为 3 和 5，且⊙O1 与⊙O2 相切，
则 O1O2＝________.
(2021 年浙江舟山)如图 K2－13，已知⊙O 的半径为 2，弦AB⊥半径 OC，沿 AB 将弓形 ACB 翻折，使点 C 与圆心 O 重合，则月牙形(图中实线围成的部分)的面积是________．
解析：如图 D70 连接 OA，OB，图 D70∵OC⊥AB 于 E，
14．相似三角形的性质
(2021 年四川自贡)如图 K2－14 正方形 ABCD 的边长为
1 cm，M，N 分别是 BC，CD 上两个动点，且始终保持 AM⊥MN，当 BM＝________cm 时，四边形 ABCN 的面积最大，最大面积为________cm2.
工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是 10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8 mm，如图K2－15，则这个小圆孔的宽口 AB 的长度为________mm.
解析：如图 D71，连接 OA，过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，则 AB＝2AD，∵钢珠的直径是 10 mm，∴钢珠的半径是 5 mm，∵钢珠顶端离零件表面的距离为 8 mm，
∴OD＝3 mm，∴AB＝2AD＝2×4＝8(mm)．
整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易. 整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．
数与式的运算中的整体思想
方程(组)或不等式(组)中的整体思想
规律方法：此题是灵活运用数学方法、解题技巧求值的问题，首先要观察条件和需要求解的代数式，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，运用整体代入法即可得解．
规律方法：通过整体加减即避免了求复杂的未知数的值，又简化了方程组(不等式组)，解答直接简便．
例 4：已知 y＋m 和 x－n 成正比例，其中 m，n 是常数．(1)求证：y 是 x 的一次函数；
(2)当 y＝－15 时，x＝－1；当 x＝7 时，y＝1.求这个函数的
规律方法：此题在解方程组时，单独解出 k，m，n 是不可能的，也涉及不必要的．故将 kn＋m 看成一个整体求解，从而求得函数解析式，这是求函数解析式的一个常用方法．
几何与图形中的整体思想例 5：如图 Z1－1，⊙A，⊙B，⊙C 两两不相交，半径都是 0.5 cm，则图中阴影部分的
解析：由于不能求出各个扇形的面积，因此，要将三个阴影部分看作一个整体考虑，注意到三角形内角和为 180°，所以三个扇形的圆心角和为 180°，又因为各个扇形的半径相等，所以阴影部分的面积就是半径为 0.5 cm 的半圆的面积．答案：B
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考察．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．
引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：(1)由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；(2)由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；(3)由于图形的不确定性引起的讨论；(4)由于题目含有字母而引起的讨论．分类的原则：①分类中的每一部分是相互独立的；②一次
分类按一个标准；③分类讨论应逐级进行．
例 1：(2021 年湖北十堰)已知关于 x 的方程 mx2－(3m－1)x＋2m－2＝0，求证：无论 m 取任何实数时，方程恒有实数根．
证明：(1)分两种情况讨论：
①当 m＝0 时，方程为 x－2＝0，得 x＝2，方程有实数根；②当 m≠0 时，则一元二次方程的根的判别式：
Δ＝[－(3m－1)]2－4m(2m－2)＝m2＋2m＋1＝(m＋1)2≥0.不论 m 为何实数，Δ≥0 成立，∴方程恒有实数根．
综合①、②可知 m 取任何实数，方程 mx2－(3m－1)x＋2m
－2＝0 恒有实数根．
例 2：(2020 年广东佛山)一般来说，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想；将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”的方法．请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题：
(2)若∠BAC 为锐角，由(1)知，这样的点 D 有一个；若∠BAC 为直角，这样的点 D 有两个；若∠BAC 为钝角，这样的点 D 有 1 个．
规律方法：等腰三角形的顶角、顶点不确定，相似三角形
的对应关系不确定是中考的热点题型．
数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．运用这一数学思想解题，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见图形中的代数特征．
例 1：(2021 年贵州遵义)为了促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图 Z3－1 中的折线反映了每户每月用电电费 y(单位：元)与用电量 x(单位：度)间的函数关系式．
(1)根据图象，阶梯电价方案分为三个档次，填写下表：
(2)小明家某月用电 120 度，需交电费________元；
(3)求第二档每月电费 y(单位：元)与用电量 x(单位：度)之间
(4)在每月用电量超过 230 度时，每月多用 1 度电要比第二档多付电费 m 元，小刚家某月用电 290 度，交电费 153 元，求m 的值．
(4)根据图象可得出：用电 230 度，需要付费 108 元，用电140度，需要付费63元，故108－63＝45(元)，230－140＝90(度)，45÷90＝0.5(元)，则第二档电费为 0.5 元/度．∵小刚家某月用电 290 度，交电费 153 元，∴290－230＝60(度)，153－108＝45(元)．∴45÷60＝0.75(元)．∴m＝0.75－0.5＝0.25.
例 2：(2021 年辽宁营口)如图 Z3－2，四边形 ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，剪掉阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使 A，B，C，D 四个点重合于点 P，正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒．
(1)若折叠后长方体底面正方形的面积为 1 250 cm2，求长方
(2)设剪掉的等腰直角三角形的直角边长为 x(单位：cm)，长方体的侧面积为 S(单位：cm2)，求 S 与 x 的函数关系式，并求 x为何值时，S 的值最大．
规律题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数字、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律，总结数字、式子、图形的变化规律，或分类归纳，或整体归纳，掌控一定的探索技巧．它体现了“从特殊到一般”的数学思想方法，考查学生分析、理解问题的能力，观察、联想、归纳的能力以及探究和创新的能力．题型可涉及填空、选择或解答．
例 1：(2021 年广东珠海)观察下列等式：
12×231＝132×21，13×341＝143×31，23×352＝253×32，34×473＝374×43，62×286＝682×26，
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成的两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称
①52×______＝______×25；②______×396＝693×______.
(2)设这类等式左边两位数的十位数字为 a，个位数字为 b，且 2≤a＋b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a，b)，并证明．
证明：∵左边＝(10a ＋b)[100b ＋10(a ＋b) ＋a] ＝11(10a ＋b)(10b＋a)，右边＝[100a＋10(a＋b)＋b](10b＋a)＝11(10a＋b)(10b＋a)，∴左边＝右边，原等式成立．规律方法：做这种数字猜想题最好在草稿纸上按顺序排好每个数字，然后写多几个，找到规律就好办了．
(2)(10a＋b)[100b＋10(a＋b)＋a]＝[100a＋10(a＋b)＋b](10b＋a)．
例 2：(2021 年广东广州)如图 Z4－1，在标有刻度的直线 l上，从点 A 开始，以 AB＝1 为直径画半圆，记为第 1 个半圆；以 BC＝2 为直径画半圆，记为第 2 个半圆；以 CD＝4 为直径画半圆，记为第 3 个半圆；以 DE＝8 为直径画半圆，记为第 4 个半圆……按此规律，继续画半圆，则第 4 个半圆的面积是第 3个半圆面积的________倍，第 n 个半圆的面积为__________(结果保留π)．
规律方法：对于图形找规律的题目，首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，应特别引起我们的重视．这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力，属于新颖数学题．
解决这类问题的关键是要认真仔细地阅读所给的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题．
阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题
阅读试题信息，归纳总结提炼数学思想方法
例 2：阅读下面的例题：解方程 x2－|x|－2＝0.
解：(1)当 x≥0 时，原方程可化为 x2－x－2＝0，解得 x1＝2，x2＝－1(不合题意，舍去)．(2)当 x<0 时，原方程可化为 x2＋x－2＝0，解得 x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝－2.所以原方程的根是 x1＝2，x2＝－2.
请参照上述例题解方程 x2－|x－1|－1＝0，则此方程的根是
阅读试题信息，借助已有方法或通过归纳探索解
提出新问题若矩形的面积为 1，则该矩形的周长有无最大值或最小值？若有，最大(小)值是多少？
解：(1)表格如下，图象如图 Z6－2.
开放探索性试题在中考中越来越受到重视，由于条件或结论的不确定性，使得解题的方法与答案呈多样性，学生犹如八仙过海，各显神通．
探索性问题的特点是：问题一般没有明确的条件或结论，没有固定的形式和方法，需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所求的结论、条件或方法，这类题主要考查学生分析问题和解决问题的能力和创新意识．开放探究题常见的类型有：①条件开放型，即问题的条件不完备或满足结论的条件不唯一；②结论开放型，即在给定的条件下，结论不唯一；③策略开放型，即思维策略与解题方法不唯一．
(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个关系式作为结论，写出你认为正确的所有命题(用序号写出命题书写形式：“如果……那么……”)；
解：(1)如果①②，那么③；如果①③，那么②.证明如下：
(2)若选择如果①②，那么③.∵AE∥DF，∴∠A＝∠D.
(2)选择(1)中你写出的一个命题，说明它正确的理由．
∴AB＋BC＝BC＋CD，即 AC＝DB.在△ACE 和△DBF 中，
∴△ACE≌△DBF(AAS)．∴CE＝BF.
若选择如果①③，那么②.证明如下：
∵AE∥DF，∴∠A＝∠D.
在△ACE 和△DBF 中，
∴△ACE≌DBF(AAS)．∴AC＝DB.
∴AC－BC＝DB－BC，即 AB＝CD.
例 2：有一个二次函数的图象，三位学生分别说出它们的一
甲：对称轴是 x＝4；
乙：与 x 轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与 y 轴交点的纵坐标也是整数，且以三个交点为顶点
的三角形的面积为 3.
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数的解析式：
____________________.
解：根据题意，可考虑圆心分别在顶点、直角边和斜边上，设计出符合题意的方案示意图．可以设计如图 Z7－2 的四种方案．
1．二次函数、三角形及四边形的综合(1)填空：抛物线的顶点坐标是(_______，_______)，对称轴是__________；(2)已知 y 轴上一点 A(0,2)，点 P 在抛物线上，过点 P 作 PB⊥x 轴，垂足为点 B 若.PAB 是等边三角形，求点 P 的坐标；(3)在(2)的条件下，点 M 在直线 AP 上．在平面内是否存在点 N，使四边形 OAMN 为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点 N 的坐标；若不
(2)解：如图 D90，当 PC 是⊙O 的直径时，△PCD≌△ABC.
理由如下：∵AB，PC 是⊙O 的直径，∴∠PBC＝∠ACB＝90°，AB＝PC.∵∠A＝∠P，
∴△PCD≌△ABC.
设直线 l 扫过矩形 ABCD 的面积为 S，当 b 由小到大变化时，
请求出 S 与 b 的函数关系式．
当直线 l 经过点 A(2,0)时，b＝4；当直线 l 经过点 D(2,2)时，b＝6；当直线 l 经过点 B(6,0)时，b＝12；当直线 l 经过点 C(6,2)时，b＝14.①当 0≤b≤4 时，直线 l 扫过矩形 ABCD 的面积 S 为 0.
1．(2021 年宁夏)如图 K6－1，在⊙O 中，直径 AB⊥CD 于点 E，连接 CO 并延长交 AD 于点 F，且 CF⊥AD.求∠D 的度数．
解法一：如图 D74，连接 BD.∵AB 是⊙O 的直径，∴BD⊥AD.又∵CF⊥AD，∴BD∥CF.
∴∠BDC＝∠C.∵AB⊥CD，
∵CF⊥AD，AB⊥CD，∠A＝∠A，∴△AFO∽△AED.∴∠D＝∠AOF＝x.
∴∠AOC＝2∠ADC＝2x.∴x＋2x＝180.∴x＝60.
3．(2021 年四川资阳)如图 K6－3，A，B，C，D，E，F 是
(1)连接 AB，AD，AF，求证：AB＋AF＝AD；
(2)若 P 是圆周上异于已知六等分点的动点，连接 PB，PD，PF，写出这三条线段长度的数量关系(不必说明理由)．
解：(1)如图 D75，连接 OB，OF.∵A，B，C，D，E，F 是⊙O 的六等分点，∴AD 是⊙O 的直径．且∠AOB＝∠AOF＝60°，∴△AOB，△AOF 是等边三角形．∴AB＝AF＝AO＝OD.
4．(2021 年辽宁沈阳)如图 K6－4，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，OD⊥AC，垂足为点 E，连接 BD.
(1)求证：BD 平分∠ABC；
(2)当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD.
证明：(1)∵OD⊥AC，OD 为半径，
∴∠CBD＝∠ABD.∴BD 平分∠ABC.(2)∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝30°.
∴∠AOD＝∠OBD＋∠ODB＝30°＋30°＝60°.又∵OD⊥AC 于点 E，∴∠OEA＝90°.
解：(1)∵如图 D77，∠AOB＝60°,半径为 3 cm 的⊙P 沿边OA 从右向左平行移动，与边 OA 相切的切点记为点 C.∴∠DPC＝120°.
解：(1)如图 D80，连接 OE，OF，
∵矩形 ABCD 的边 AD，AB 分别与⊙O 相切于点 E，F，∴∠A＝90°，∠OEA＝∠OFA＝90°.∴四边形 AFOE 是正方形．
方案设计型试题是通过设置一个实际问题的情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，运用数学知识设计恰当的解决方案，以求得最好的实用效果或最大的经济效益的试题形式．方案设计问题有以下几种情况：①利用方程(组)知识进行方案设计；②利用不等式(组)知识进行方案设计；③利用函数知识进行方案设计；④通过计算比较进行方案设计．
解决此类问题时，要注意先思考，后动手，防止盲目尝试．问题的结果不一定唯一，但必须符合实际情况．具体解法可灵活选择建立方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、统计模型等，依据所建的数学模型求解，从而设计方案，科学决策．
例 1：(2021 年黑龙江牡丹江)某校为了更好地开展球类运动，体育组决定用 1 600 元购进足球 8 个和篮球 14 个，并且篮球的单价比足球的单价多 20 元，请解答下列问题：
(1)求出足球和篮球的单价；
(2)若学校欲用不超过 3 240 元，且不少于 3 200 元再次购进
两种球 50 个，求出有哪几种购买方案？
(3)在(2)的条件下，若已知足球的进价为 50 元，篮球的进价为 65 元，则在第二次购买方案中，哪种方案商家获利最多？
解：(1)设足球的单价为 x 元，则篮球的单价为(x＋20)元，根据题意，得 8x＋14(x＋20)＝1 600，解得 x＝60，x＋20＝80.
即足球的单价为 60 元，篮球的单价为 80 元．(2)设购进足球 y 个，则购进篮球(50－y)个．根据题意，得，
∵y 为整数，∴y＝38,39,40.当y＝38 时，50－y＝12；当y＝39 时，50－y＝11；当y＝40 时，50－y＝10.故有三种方案：方案一：购进足球 38 个，则购进篮球 12 个；方案二：购进足球 39 个，则购进篮球 11 个；方案三：购进足球 40 个，则购进篮球 10 个．
故第二次购买方案中，方案一商家获利最多．
规律方法：解决此类问题，重在读懂题目，理解题意和弄清数量关系．通过阅读将实际问题分析、抽象、转化为相关的代数式，进而列出方程或不等式，最终解答数学问题．
例 2：(2021 年山东聊城)某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为 18 元，试销过程中发现，每月销售量 y(单位：万件)与销售单价 x(单位：元)之间的关系可以近似地看作一次函数 y＝－2x＋100(利润＝售价－制造成本)．
(1)写出每月的利润 z(单位：万元)与销售单价 x(单位：元)
(2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得 350 万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？
(3)根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32 元，如果厂商要获得每月不低于 350 万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？
所以当销售单价定为25 元或43 元时，厂商每月能获得350
将 z＝－2x2＋136x－1 800 配方，得 z＝－2(x－34)2＋512，因此，当销售单价为 34 元时，每月能获得最大利润，最大
利润是 512 万元；