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专题4.5.5 一次函数中的动点问题专题（专项练习）
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这是一份专题4.5.5 一次函数中的动点问题专题（专项练习），共39页。
专题4.5.5 一次函数中的动点问题专题（专项练习）
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与x轴、y轴分别交于点A、B两点，与正比例函数交于点D（2，2）．
(1) 求一次函数和正比例函数的表达式；
(2) 若点P（m，m）为直线上的一个动点（点P不与点D重合），点Q在一次函数的图象上，轴，当PQ=OA时，求m的值．
2．综合与探究：
如图1，平面直角坐标系中，一次函数y＝x+3图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C点P是直线AB上的一个动点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求直线BC的表达式，并直接写出点C的坐标；
（3）请从A，B两题中任选一题作答．我选择 题．
A．试探究直线AB上是否存在点P，使以A，C，P为顶点的三角形的面积为18？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
B．如图2，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．试探究直线AB上是否存在点P，使PQ＝BC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点．
(1) 求m的值及的解析式；
(2) 若点M是直线上的一个动点，连接OM，当的面积是面积的2倍时，请求出符合条件的点M的坐标；
(3) 一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出k的值．
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点A和B，已知点C的坐标为（－3，0）．若点P是x轴上的一个动点．
(1) 求直线BC的函数解析式；
(2) 过点P作y轴的平行线交AB于点M，交BC于点N，当点P恰好是MN的中点时，求出P点坐标．
(3) 若以点B、P、C为顶点的△BPC为等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的P点坐标．
5．如图，一次函数y＝x+3的函数图象与x轴，y轴分别交于点A，B．
(1)若点P（﹣2，m）为第三象限内一个动点，请问△OPB的面积会变化吗？若不变，请求出面积；若变化，请说明理由．
(2)在（1）的条件下，试用含m的代数式表示四边形APOB的面积；若△APB的面积是6，求m的值．
6．已知一次函数的图象经过A（2，4），B（﹣2，0）两点，且与y轴交于点C．求：
(1) 一次函数的解析式；
(2) △AOC的面积；
(3) 点D（m，0）是x轴上一个动点，过D作x轴的垂线，交直线AB于E，若DE＝6，求m的值．
7．如图，一次函数与正比例函数的图象交于点B，与x轴交于点A．
(1) 求的面积；
(2) 观察图象，直接写出时，x的取值范围；
(3) 点C是直线OB上一动点，过点C作轴交直线AB于点D．当时，求点C的坐标．
8．如图，平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点，．点是线段上的一个动点（不与，重合），连接．设点的横坐标为．
(1) 求一次函数的解析式：
(2) 求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3) 当的面积时：
① 判断此时线段与的数量关系并说明理由；
② 第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，与一次函数的图像交于点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)结合图像，当时，请直接写出x的取值范围；
(3)C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数的图像交于点D，与一次函数的图像交于点E．当时，求DE的长．
10．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象分别与x轴，y轴的正半轴交于点E、F，一次函数y＝kx﹣4的图象与直线EF交于点A（m，2），且交于x轴于点P，
（1）求m的值及点E、F的坐标；
（2）求△APE的面积；
（3）若B点是x轴上的动点，问在直线EF上，是否存在点Q（Q与A不重合），使△BEQ与△APE全等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，一次函数的图象经过点和点，以线段为边在第二象限内作等腰直角，使.
(1) 求一次函数的表达式；
(2) 求出点的坐标；
(3) 若点是轴上一动点，直接写出的最小值.
12．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接BC，将△ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为__．
13．在平面直角坐标系中，直线经过点与点，一次函数的图象为直线．
（1）求此直线的解析式；
（2）过动点且垂直于轴的直线与的交点分别为，当点位于点上方时，请直接写出的取值范围
14．如图，一次函数的图像与轴，轴分别交于，两点．
(1) 求一次函数的解析式；
(2) 若为轴上一动点，当的面积为6时，求点的坐标．
15．如图，一次函数与x轴，y轴分别交于点A，B，点是直线AB上一点，直线MC交x轴于点；
(1) 求直线MC的函数解析式；
(2) 若点P是线段AC上一动点，连接BP，MP，若的面积是面积的2倍，求P点坐标．
16．如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，将△AOB沿直线CD对折，使点A和点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．
(1) 求A，B两点的坐标；
(2) 求OC的长；
(3) 设P是x轴上一动点，若使△PAB是等腰三角形，写出点P的坐标（不需计算过程）
17．如图，平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A，B．点F是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），连接OF，设点F的横坐标为x．
(1) 求A，B两点的坐标；
(2) 求△OAF的面积S与x之间的函数关系式：
(3) 当△OAF的面积时．直接写出线段OF与AB的数量关系；
18．平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点．
(1) 求这两个函数的表达式；
(2) 在轴上有一动点，过点作直线垂直于轴，交直线于点，交直线于点．
① 当时，求的面积；
② 当的长为4时，求点的坐标．
19．如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，直线经过点B与点．
(1)求A、B点的坐标；
(2)求直线的表达式；
(3)在x轴上有一动点，过点M做x轴的垂线与直线交于点E，与直线交于点F，若EF＝OB，求t的值．
20．如图，已知两个一次函数y1＝x与y2＝﹣2x﹣2的图象相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）观察图象，直接写出当y1＞y2时自变量x的取值范围；
（3）点A（t，0）为x轴上的一个动点，过点A作x轴的垂线与直线l1和l2分别交于点M，N，当MN＝4时，求t的值．
21．如图，一次函数的图象与、轴分别交于、两点，点与点关于轴对称．动点、分别在线段，上（点与点，不重合），且满足．
（1）点的坐标为______，点的坐标为______，线段的长度______；
（2）当点在什么位置时，？说明理由；
（3）当为等腰三角形时，求点的坐标．
22．综合与探究：
如图1，平面直角坐标系中，一次函数图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线AB上的一个动点．
(1)求直线BC的表达式与点C的坐标；
(2)如图2，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．试探究直线AB上是否存在点P，使PQ＝BC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
(3)试探究x轴上是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
1．(1)一次函数解析式为：，正比例函数解析式为：(2)m的值为或者
【分析】（1）将D点坐标分别代入一次函数和正比例函数的表达式即可求解；
（2）根据题意可知P、Q的横坐标均为m，此时可求出Q点的纵坐标，则PQ可用m表示出来，再结合PQ=OA即可求解．
解：（1）∵一次函数与正比例函数交于点D（2，2），
∴，
∴，
∴一次函数解析式为：，正比例函数解析式为：；
（2）当x=0时，，
当y=0时，，即，
∴A点坐标为(3,0)，B点坐标为(0,6)，
∴OA=3，
∵PQ=OA，
∴PQ=，
∵轴，
∴点Q、点P的横坐标相等，
∵P点坐标为(m,m)，
∴Q点的横坐标为m，
∵Q点在直线上，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
解得：或者，
即m的值为或者．
【点拨】本题考查了求解一次函数和正比例函数的解析式以及两条直线的交点等问题，列出是解答本题的关键．
2．（1）（﹣6，0），（0，3）；（2）y＝﹣x+3，（3，0）；（3）选A，存在，点P的坐标为（2，4）或（﹣14，﹣4）；选B，存在，点P的坐标为（2，+3）或（﹣2，﹣+3）．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征求A点和B点坐标；
（2）将B点坐标（0，3）代入一次函数y＝−x＋b即可求解；
（3）A．过点P作PH⊥x轴于H，设点P（x，x+3），则PH＝，根据S△ACP＝AC•PH＝18可得PH的值，即可求解．
B．过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．设点P（x，x+3），则Q（x，−x＋3），根据PQ＝BC列方程求解即可．
解：（1）当y＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣6，则A点坐标为（﹣6，0）；
当x＝0时，y＝x+3＝3，则B点坐标为（0，3）；
（2）将B点坐标（0，3）代入一次函数y＝﹣x+b得：b＝3，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3，
当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，则C点坐标为（3，0）；
（3）A．过点P作PH⊥x轴于H，
设点P（x，x+3），
∴PH＝，
∵A点坐标为（﹣6，0），C点坐标（3，0），
∴AC＝9，
∵S△ACP＝AC•PH＝×9•PH＝18，
∴PH＝4，
∴x+3＝±4，
当x+3＝4时，x＝2；当x+3＝﹣4时，x＝﹣14，
∴存在，点P的坐标为（2，4）或（﹣14，﹣4）；
B．如图，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．
设点P（x，x+3），则Q（x，﹣x+3），
∴PQ＝，
∵B点坐标（0，3），C点坐标（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∴BC＝，
∵PQ＝BC，
∴，解得：x＝或﹣，
∴存在，点P的坐标为（2，+3）或（﹣2，﹣+3）．
【点拨】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积，勾股定理，待定系数法，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
3．(1)，的解析式为(2)或(3)或或1
【分析】（1）设的解析式为，将点的坐标代入的解析式，即可求解；
（2）设，进而根据题意列出方程，解方程求解即可；
（3）根据题意，则或，进而即可求得的值
解：（1）与交于点．
设的解析式为，将点的坐标代入的解析式，可得，
，，
解得，，
的解析式为
（2）设，
，令，则，令，则
，
又
的面积是面积的2倍，
即
解得或
或
（3）一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，
或
当过点C（2,4）时,将点C坐标代入y=kx＋2并解得:k=l,
或或1
【点拨】本题考查了一次函数综合，求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴围成的三角形面积，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的平移，掌握一次函数的性质是解题的关键．
4．(1)(2)（－，0）(3)（3，0）或（，0）或（，0）或
【分析】（1）先求解B的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（2）设点P（m，0），则点M（m，），点N（m，）
再利用PM＝PN列方程，再解方程即可；
（3）设 而 则再分三种情况讨论即可.
（1）解：∵一次函数的图象分别交x轴，y轴于点A和B，
∴点A（－，0），点B（0，－1），
设直线BC的解析式
代入B（0，－1），C（－3，0）．
解得，
∴直线BC的函数解析式．
（2）①设点P（m，0），则点M（m，），点N（m，）
依题意可得PM＝PN
∴
解得：
∴点P（－，0）
（3）设 而
当时，
解得：
当
解得：
当时，不合题意舍去，
当时，
或
综上：点P（3，0）或（，0）或（，0）或．
【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，线段的中点坐标的含义，勾股定理的应用，等腰三角形的含义，利用平方根的含义解方程，熟练的运用以上知识是解本题的关键.
5．(1)不变，面积是3(2)，m=-3
【分析】（1）不变，理由是；
（2）由，即可求解．
（1）解：不变，理由是：
一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B，
则点A、B的坐标分别为（-3，0）、（0，3），
∴．
（2）解：∵
=
∴
=
解得m=-3．
【点拨】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是正确把几何图形用不同的三角形组合表示，进而求解．
6．(1)y＝x+2(2)2(3)4或﹣8
【分析】（1）设一次函数的解析式为：y＝kx+b，将A（2，4），B（﹣2，0）代入该一次函数解析式组成二元一次方程组，解之即可；
（2）先求出点C的坐标，利用三角形面积公式可得结论；
（3）由DE⊥x轴，D（m，0），可知E（m，m+2），则DE＝|m+2|＝6，求解即可．
(1)解：设该一次函数的解析式为：y＝kx+b，
将A（2，4），B（﹣2，0）代入该一次函数解析式，得，
解得，
∴该一次函数的解析式为：y＝x+2．
(2)解：如图，连接OA，过点A作AF⊥y轴于点F，
∵一次函数y＝x+2与y轴交于点C，
∴C（0，2），
∴AF＝2，OC＝2，
∴S△AOC＝•AF•OC＝×2×2＝2．
(3)解：∵DE⊥x轴，D（m，0），
∴E（m，m+2），
∴DE＝|m+2|＝6，
解得m＝﹣8或4．
∴m的值为4或﹣8．
【点拨】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，平面直角坐标系中的三角形的面积，两点间的距离等知识，熟练掌握相关内容是解题关键．
7．(1)3(2)x<1(3)（，）或（，）
【分析】（1）利用解析式求出点A及交点B的坐标，即可求出面积；
（2）即为y1的图象在y2的上方，根据图象可直接得到x的取值范围；
（3）设点C的坐标为（m，2m），根据轴交直线AB于点D．得到D（3-2m，2m），列得，求出m即可．
（1）解：令y1=-x+3中y=0，得x=3，∴A（3，0），
∴OA=3，
当-x+3=2x时，得x=1，
∴y=2，
∴B（1，2），
∴S△AOB=；
（2）由图象得：当x<1时，；
（3）设点C的坐标为（m，2m），
∵轴交直线AB于点D．
∴D（3-2m，2m），
∵,
∴CD=2，
∴，
解得m=或m=，
∴点C的坐标为（，）或（，）．
【点拨】此题考查了求两条直线的交点坐标，直线与x轴交点，解绝对值方程，正确理解一次函数的知识并应用是解题的关键．
8．(1)(2)(3)①，理由见分析；②存在，点的坐标为或．
【分析】（1）将点，的坐标代入一次函数解析式求出，的值即可；
（2）写出点的坐标，然后根据三角形面积公式列函数关系式；
（3）①根据三角形面积列方程求点的坐标，然后利用勾股定理求得与的长，从而求解；
②根据全等三角形的判定和性质求解．
（1）解：将点，点代入一次函数得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为．
（2）解：∵点是线段上的一个动点（不与，重合），
设点的横坐标为，过点作轴，
∴点坐标为，
∴的面积：
，
∴的面积与之间的函数关系式为．
（3）解：①．理由如下：
当的面积时，
，
解得：，
∴F点坐标为，
∵轴，
∴在中，，
∵在中，，
∴．
②存在，点的坐标为或．
详解如下：过点作轴，过点作，过点作轴，分两种情况：
情况一：∵是等腰直角三角形
∴，
∴
∴
在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∴，即；
情况二：∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
综上所述，点的坐标为或．
【点拨】本题考查一次函数解析式的确定和一次函数的应用，勾股定理，全等三角形的判断和性质，三角形的面积等知识．掌握相关性质定理并利用分类讨论思想解题是关键．
9．(1)(2)(3)8
【分析】（1）先求得点B的坐标，再运用待定系数法即可得到一次函数y1＝kx+b（k≠0）的解析式；
（2）根据函数图像，结合B点的坐标即可求得x的取值范围；
（3）设点C的横坐标为m，则D（m，﹣2m+10），E（m，m+2），由CE＝3CD求出m，即可得DE的长．
(1)解：当x＝3时，y＝x+2＝4，
∴B点坐标为（3，4）．
直线y1＝kx+b经过A（5，0）和B（3，4），
则，
解得：，
∴一次函数y1＝kx+b（k≠0）的解析式为y1＝﹣2x+10；
(2)解：由图像以及B（3，4）可知，x＜3时，y1＞y2；
(3)解：设点C的横坐标为m，则D（m，﹣2m+10），E（m，m+2），
∴CE＝m+2，CD＝2m﹣10，
∵CE＝3CD，
∴m+2＝3（2m﹣10），解得m＝6．
∴D（6，﹣2），E（6，6），
∴DE＝8．
【点拨】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，函数图像上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，两点的距离等知识，灵活运用这些知识解决问题是本题的关键．
10．（1）m＝，E（3，0）；F（0，4）；（2）S△APE＝2；（3）Q1（，），Q2（，﹣），Q3（，﹣2）．
【分析】（1）根据函数值，可得相应自变量的值，根据自变量的值，可得相应的函数值；
（2）根据待定系数法，可得AP的解析式，根据函数值为零，可得P点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）分类讨论：①当点A与点B为对应顶点时，根据全等三角形的面积相等，可得Q点的纵坐标，根据函数值，可得相应自变量的值；②当点A与点Q为对应顶点时，可得Q点的纵坐标，根据函数值，可得相应自变量的值．
解：（1）一次函数y＝﹣x+4的图象经过点A（m，2），
得﹣m+4＝2，
解得m＝，
∵一次函数y＝﹣x+4的图象分别与x轴、y轴的正半轴交于点E，F．
∴当y＝0时，﹣x+4＝0，解得x＝3即E（3，0）；
当x＝0时，y＝4，即F（0，4）；
（2）把点A（，2）一次函数y＝kx﹣4，得2＝k﹣4，解得k＝4，
y＝4x﹣4，当y＝0时，x＝1，即P（1，0）．
PE＝3﹣1＝2，
S△APE＝×2×2＝2；
（3）存在Q点，B点是x轴上的动点，点Q是直线y＝﹣x+4上的点，设Q（m，n）．
由两点间的距离，得AE＝＝ ，AP＝＝，PE＝2．
①当点A与点B为对应顶点时，
∵△APE≌△BQE，
∴S△BQE＝S△APE＝2，
∴BE×|n|＝2．
∵BE＝AE＝，
∴|n|＝，n＝±．
当n＝时，﹣x+4＝，解得m＝，即Q1（，）；
当n＝﹣时，﹣x+4＝﹣，解得m＝ ，即Q2（，﹣）；
②当点A与点Q为对应顶点时，∵△APE≌△QBE，
则n＝﹣2，把n＝﹣2代入y＝﹣x+4得m＝ ，
∴Q3（，﹣2），
综上所述：Q1（，），Q2（，﹣），Q3（，﹣2）．
故答案为（1）m＝，E（3，0）；F（0，4）；（2）S△APE＝2；（3）Q1（，），Q2（，﹣），Q3（，﹣2）．
【点拨】本题考查一次函数综合题，（1）利用了自变量与函数值的对应关系，（2）利用了三角形的面积公式，（3）利用了分类讨论的方法，根据全等三角形的性质得出Q点的纵坐标是解题关键．
11．(1) (2) (3)
【分析】(1)利用待定系数法求解可得；
(2)作轴，由全等三角形的判定定理可得出，由全等三角形的性质可知，故可得出C点坐标；
(3)作轴,并延长至点F使得,连接交x轴与点P,此时有最小值即BF，从而得出答案．
解：(1)由题意得：
将和点代入，
即：
，即，
;
(2)如图所示：
作轴，
,
在和中，
,
,
C点坐标为.
(3)作轴,并延长至点F使得,过F点作FH⊥y轴，垂足为H
连接交x轴与点P,此时有最小值即BF，
,
有最小值即.
【点拨】本题考查一次函数的综合问题，画出图像利用数形结合解题是解题关键.
12．（﹣6，0）或（，0）．
【分析】根据一次函数求出点A、B的坐标，根据勾股定理即可求出AB，然后根据点A落在y轴的位置分类讨论：当点A落在y轴的正半轴上时，设点C的坐标为（m，0），根据折叠的性质求出A′O和A′C，根据勾股定理列方程即可求出m；当点A落在y轴的负半轴上时，原理同上．
解：∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
根据勾股定理可得AB＝=5，
如图1，当点A落在y轴的正半轴上时，
设点C的坐标为（m，0），
∵将△ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，
∴A′O＝3+5＝8，A′C＝AC＝4﹣m，
∵A′C2＝OC2+A′O2，
∴（4﹣m）2＝m2+82，
∴m＝﹣6；
如图2，当点A落在y轴的负半轴上时，
设点C的坐标为（m，0），
∵将△ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，
∴A′O＝5﹣3＝2，A′C＝AC＝4﹣m，
∵A′C2＝OC2+A′O2，
∴（4﹣m）2＝m2+22，
∴m＝；
综上所述，当点A落在y轴上时，点C的坐标为（﹣6，0）或（，0），
故答案为：（﹣6，0）或（，0）．
【点拨】此题考查的是一次函数与图形综合题，掌握求一次函数与坐标轴的交点坐标、折叠的性质、勾股定理解直角三角形和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
13．(1)；(2)
【分析】(1)利用待定系数法即可求得直线的解析式；
(2)求得两直线，的交点坐标，画出图像，由图象可知直线在直线上方即可，由此即可写出的范围．
解：(1)设直线的解析式为，
∵直线经过点A(1，5)，B(4，2)，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为；
(2)联立，
解得：，
∵过动点且垂直于轴的直线与、的交点分别为C、D，如图：
观察图像可知当时，直线在直线上方，点位于点上方，
故答案为：．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式的，结合图象，比较函数图象的高低（即比较函数值的大小），确定对应的自变量的取值范围．解题的关键是掌握数形结合的思想．
14．(1)(2)或
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）设，根据的面积为6建立方程，解方程即可求解．
（1）解：∵一次函数的图像与轴，轴分别交于，两点，∴，解得，一次函数的解析式为；
（2）解：设，，，，当的面积为6时，，解得或，或．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
15．(1)
(2)
【分析】（1）先求出点M的坐标，再用待定系数法解得，即可求解；
（2）先求出OA=OB=2，设点P（a，0），则AP=a+2，PC=a-，根据的面积是面积的2倍，可得到关于a的方程，即可求解．
（1）解：把点代入得：
，
∴点M（1，3），
设直线MC的解析式为，
把点M（1，3），代入得：
，解得：，
∴直线MC的解析式为；
（2）解：对于，
当x=0时，y=2；当y=0时，x=-2，
∴点A（-2，0），B（0，2），
∴OA=OB=2，
设点P（a，0），则AP=a+2，PC=-a，
∵的面积是面积的2倍，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为．
【点拨】本题主要考查了求一次函数的解析式，三角形的面积问题，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
16．(1)A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）；(2)；(3)P点坐标为（，0），（﹣4，0），（﹣1，0），（9，0）
【分析】（1）令y＝0求出x的值，再令x＝0求出y的值即可求出A、B两点的坐标；
（2）OC＝x，根据翻折变换的性质用x表示出BC的长，再根据勾股定理求解即可；
（3）设P点坐标为（x，0），则，，，然后分三种情况讨论：当PA＝PB时，当PA＝AB时，当PB＝AB时，解答即可．
（1）解：令y＝0，则x＝4；令x＝0，则y＝3，
∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）．
（2）解：∵点B的坐标为（0，3）．
∴OB=3，
设OC＝x，则AC＝CB＝4﹣x，
∵∠BOA＝90°，
∴OB2+OC2＝CB2，
32+x2＝（4﹣x）2，
解得x＝，
∴OC＝．
（3）解：∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）．
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
设P点坐标为（x，0），则，，
当PA＝PB时，，
解得x＝；
当PA＝AB时，，解得x＝9或x＝﹣1；
当PB＝AB时，，解得x＝﹣4或x=4（舍去）．
∴P点坐标为（，0），（﹣4，0），（﹣1，0），（9，0）．
【点拨】此题是一次函数的综合题，考查的是坐标轴上点的坐标特点、勾股定理及两点间的距离公式，在解（2）时要注意分类讨论，不要漏解．
17．(1)A，B ；(2)；(3)OF=AB．
【分析】（1）分别令和代入解析式求解；从而得到点和点坐标；
（2）写出点的坐标，然后根据三角形面积公式列函数关系式；
（3）根据三角形面积列方程求点的坐标，然后利用勾股定理求得与的长，从而求解；
解：（1）当时，，
当时，，
解得：，
点坐标为，点坐标为，
（2）点是线段上的一个动点（不与，重合），设点的横坐标为，
过点作轴，
点坐标为，
的面积，
即；
（3）OF=AB．理由如下：
当的面积时，
，
解得：，
点坐标为，
在中，，
在中，，
；
【点拨】本题考查一次函数的应用以及勾股定理，综合性较强，掌握相关性质定理并利用分类讨论思想解题是关键．
18．(1)；(2)①；②或
【分析】（1）把点分别代入，，即可求解；
（2）①根据题意可得点、点横坐标都为，从而得到点的坐标为，的坐标为，进而得到，即可求解；②分两种情况讨论：若点在点上方，若点在点下方，即可求解．
(1)解：∵正比例函数的图象过点，
，解得，
∴正比例函数的表达式为；
又∵一次函数的图象过点，
，
，
∴一次函数的表达式为；
(2)解：①根据题意得：点、点横坐标都为，且点G、F分别在直线，上，
∴点的坐标为，的坐标为，
，
；
②∵点，
∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，
若点在点上方，
，
解得；
；
若点在点下方，
，
解得，
．
∴当的长为4时，点的坐标为或
【点拨】本题主要考查了一次函数的图象和性质，以及求三角形的面积，熟练掌握一次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
19．(1)A（-3，0），B（0，2）；(2)y=-x+2；(3)
【分析】（1）分别令x=0，令y=0，即可求解；
（2）将点C，点B坐标代入解析式可求解；
（3）由EF⊥x轴，可得点E，点F坐标，可求EF的长，即可求t的值；
（1）解：令x=0，则y=2，
令y=0，则，解得：x=-3，
∴点A（-3，0），B（0，2）；
（2）解：把点B（0，2），代入，得：
，解得：，
∴直线的表达式为y=-x+2；
（3）解：∵点，
∴点，
∴，
∵点B（0，2），
∴OB=2，
∵EF＝OB，
∴，解得：．
【点拨】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，熟练掌握一次函数的图形和性质是本题的关键．
20．（1） ；（2）；（3）t＝或t＝﹣2．
【分析】（1）联立y=x与y=-2x-2，解方程组即可；
（2）由图象直接写出x＞-；
（3）根据A点坐标分别求出M、N的坐标．然后由MN=4列出t的方程求解即可．
解：（1）联立，
解得：，
则点P坐标为（，）；
（2）由图象可得，当y1＞y2时，x＞；
（3）设点M（t，t），N（t，-2t-2），
则MN=|t-（-2t-2）|=4，
解得：t=或t=-2．
【点拨】本题考查了一次函数和一元一次不等式以及二元一次方程组的应用，关键是联立方程组求交点坐标．
21．（1）（−4，0），（0，2），2．（2）当P的坐标是（2−4，0）时，△APQ≌△CBP，（3）（2−4，0）或（−，0）．
【分析】（1）把x＝0和y＝0分别代入一次函数的解析式，求出A、B的坐标，根据勾股定理求出BC即可．
（2）求出∠PAQ＝∠BCP，∠AQP＝∠BPC，根据点的坐标求出AP＝BC，根据全等三角形的判定推出即可．
（3）分为三种情况：①PQ＝BP，②BQ＝QP，③BQ＝BP，根据（2）即可推出①，根据三角形外角性质即可判断②，根据勾股定理得出方程，即可求出③．
解：（1）∵，
∴当x＝0时，y＝2，
当y＝0时，x＝−4，
即点A的坐标是（−4，0），点B的坐标是（0，2），
∵C点与A点关于y轴对称，
∴C的坐标是（4，0），
∴OA＝4，OC＝4，OB＝2，
由勾股定理得：BC＝＝2．
故答案为：（−4，0），（0，2），2．
（2）当P的坐标是（2−4，0）时，△APQ≌△CBP，
理由是：∵OA＝4，P（2−4，0），
∴AP＝4＋2−4＝2＝BC，
∵∠BPQ＝∠BAO，
∠BAO＋∠AQP＋∠APQ＝180°，
∠APQ＋∠BPQ＋∠BPC＝180°，
∴∠AQP＝∠BPC，
∵A和C关于y轴对称，
∴∠BAO＝∠BCP，
在△APQ和△CBP中，
，
∴△APQ≌△CBP（AAS），
∴当P的坐标是（2−4，0）时，△APQ≌△CBP；
（3）分为三种情况：
①当PB＝PQ时，由（2）知，△APQ≌△CBP，
∴PB＝PQ，
即此时P的坐标是（2−4，0）；
②当BQ＝BP时，则∠BPQ＝∠BQP，
∵∠BAO＝∠BPQ，
∴∠BAO＝∠BQP，
而根据三角形的外角性质得：∠BQP＞∠BAO，
∴此种情况不存在；
③当QB＝QP时，则∠BPQ＝∠QBP＝∠BAO，
即BP＝AP，
设此时P的坐标是（x，0），
∵在Rt△OBP中，由勾股定理得：BP2＝OP2＋OB2，
∴（x＋4）2＝x2＋22，
解得：x＝−，
即此时P的坐标是（−，0）．
∴当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是（2−4，0）或（−，0）．
【点拨】本题考查了一次函数综合题，涉及一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，题目综合性比较强，难度偏大．
22．(1)y＝﹣x+3，C点坐标为（3，0）(2)存在，点P的坐标为（2，3）或（﹣2，3）(3)存在，点M的坐标为（-6+3，0）；（-6-3）；（6，0）；（，0）
【分析】（1）分别求出A（﹣6，0），B（0，3），再确定函数解析式即可；
（2）设P（t，t+3），则Q（t，﹣t+3），则PQ＝|t|，再求BC＝3，由题意可得|t|＝3，即可求P点坐标；
（3）分三种情况：①当以A为等腰三角形的顶点时，AB＝AM＝3；②当以B为等腰三角形的顶点时，AB＝BM，则M点与A点关于y轴对称；③当以M为等腰三角形的顶点时，MA＝MB，设M（m，0），由（m+6）2＝m2+9，即可求解．
(1)解：令y＝0，则x+3＝0，
∴x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），
令x＝0，则y＝3，
∴B（0，3），
∵一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，
∴b＝3，
∴y＝﹣x+3，
令y＝0，则x＝3，
∴C（0，3）；
(2)解：如图，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．
设点P（x，x+3），则Q（x，﹣x+3）
∵B点坐标（0，3），C点坐标（3，0），
∴BC＝3，
∵PQ＝BC，
∴|x+3﹣（﹣x+3）|＝3，
解得：x＝2或﹣2，
∴存在，点P的坐标为（2，3）或（﹣2，3）
(3)解：存在，理由如下：
∵A（﹣6，0），B（0，3），
∴AB＝3，
当以A为等腰三角形的顶点时，
AB＝AM＝3，
∴M（﹣6+3，0）或（﹣6﹣3，0）；
②当以B为等腰三角形的顶点时，
AB＝BM，
∴M点与A点关于y轴对称，
∴M（6，0）；
③当以M为等腰三角形的顶点时，
MA＝MB，
设M（m，0），
∴（m+6）2＝m2+9，
∴m＝﹣，
∴M（﹣，0）；
综上所述：M点的坐标为（﹣6+3，0）或（﹣6﹣3，0）或（6，0）或（﹣，0）．
【点拨】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
专题4.5.5 一次函数中的动点问题专题（专项练习）
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与x轴、y轴分别交于点A、B两点，与正比例函数交于点D（2，2）．
(1) 求一次函数和正比例函数的表达式；
(2) 若点P（m，m）为直线上的一个动点（点P不与点D重合），点Q在一次函数的图象上，轴，当PQ=OA时，求m的值．
2．综合与探究：
如图1，平面直角坐标系中，一次函数y＝x+3图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C点P是直线AB上的一个动点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求直线BC的表达式，并直接写出点C的坐标；
（3）请从A，B两题中任选一题作答．我选择 题．
A．试探究直线AB上是否存在点P，使以A，C，P为顶点的三角形的面积为18？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
B．如图2，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．试探究直线AB上是否存在点P，使PQ＝BC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点．
(1) 求m的值及的解析式；
(2) 若点M是直线上的一个动点，连接OM，当的面积是面积的2倍时，请求出符合条件的点M的坐标；
(3) 一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出k的值．
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点A和B，已知点C的坐标为（－3，0）．若点P是x轴上的一个动点．
(1) 求直线BC的函数解析式；
(2) 过点P作y轴的平行线交AB于点M，交BC于点N，当点P恰好是MN的中点时，求出P点坐标．
(3) 若以点B、P、C为顶点的△BPC为等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的P点坐标．
5．如图，一次函数y＝x+3的函数图象与x轴，y轴分别交于点A，B．
(1)若点P（﹣2，m）为第三象限内一个动点，请问△OPB的面积会变化吗？若不变，请求出面积；若变化，请说明理由．
(2)在（1）的条件下，试用含m的代数式表示四边形APOB的面积；若△APB的面积是6，求m的值．
6．已知一次函数的图象经过A（2，4），B（﹣2，0）两点，且与y轴交于点C．求：
(1) 一次函数的解析式；
(2) △AOC的面积；
(3) 点D（m，0）是x轴上一个动点，过D作x轴的垂线，交直线AB于E，若DE＝6，求m的值．
7．如图，一次函数与正比例函数的图象交于点B，与x轴交于点A．
(1) 求的面积；
(2) 观察图象，直接写出时，x的取值范围；
(3) 点C是直线OB上一动点，过点C作轴交直线AB于点D．当时，求点C的坐标．
8．如图，平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点，．点是线段上的一个动点（不与，重合），连接．设点的横坐标为．
(1) 求一次函数的解析式：
(2) 求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3) 当的面积时：
① 判断此时线段与的数量关系并说明理由；
② 第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，与一次函数的图像交于点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)结合图像，当时，请直接写出x的取值范围；
(3)C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数的图像交于点D，与一次函数的图像交于点E．当时，求DE的长．
10．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象分别与x轴，y轴的正半轴交于点E、F，一次函数y＝kx﹣4的图象与直线EF交于点A（m，2），且交于x轴于点P，
（1）求m的值及点E、F的坐标；
（2）求△APE的面积；
（3）若B点是x轴上的动点，问在直线EF上，是否存在点Q（Q与A不重合），使△BEQ与△APE全等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，一次函数的图象经过点和点，以线段为边在第二象限内作等腰直角，使.
(1) 求一次函数的表达式；
(2) 求出点的坐标；
(3) 若点是轴上一动点，直接写出的最小值.
12．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接BC，将△ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为__．
13．在平面直角坐标系中，直线经过点与点，一次函数的图象为直线．
（1）求此直线的解析式；
（2）过动点且垂直于轴的直线与的交点分别为，当点位于点上方时，请直接写出的取值范围
14．如图，一次函数的图像与轴，轴分别交于，两点．
(1) 求一次函数的解析式；
(2) 若为轴上一动点，当的面积为6时，求点的坐标．
15．如图，一次函数与x轴，y轴分别交于点A，B，点是直线AB上一点，直线MC交x轴于点；
(1) 求直线MC的函数解析式；
(2) 若点P是线段AC上一动点，连接BP，MP，若的面积是面积的2倍，求P点坐标．
16．如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，将△AOB沿直线CD对折，使点A和点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．
(1) 求A，B两点的坐标；
(2) 求OC的长；
(3) 设P是x轴上一动点，若使△PAB是等腰三角形，写出点P的坐标（不需计算过程）
17．如图，平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A，B．点F是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），连接OF，设点F的横坐标为x．
(1) 求A，B两点的坐标；
(2) 求△OAF的面积S与x之间的函数关系式：
(3) 当△OAF的面积时．直接写出线段OF与AB的数量关系；
18．平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点．
(1) 求这两个函数的表达式；
(2) 在轴上有一动点，过点作直线垂直于轴，交直线于点，交直线于点．
① 当时，求的面积；
② 当的长为4时，求点的坐标．
19．如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，直线经过点B与点．
(1)求A、B点的坐标；
(2)求直线的表达式；
(3)在x轴上有一动点，过点M做x轴的垂线与直线交于点E，与直线交于点F，若EF＝OB，求t的值．
20．如图，已知两个一次函数y1＝x与y2＝﹣2x﹣2的图象相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）观察图象，直接写出当y1＞y2时自变量x的取值范围；
（3）点A（t，0）为x轴上的一个动点，过点A作x轴的垂线与直线l1和l2分别交于点M，N，当MN＝4时，求t的值．
21．如图，一次函数的图象与、轴分别交于、两点，点与点关于轴对称．动点、分别在线段，上（点与点，不重合），且满足．
（1）点的坐标为______，点的坐标为______，线段的长度______；
（2）当点在什么位置时，？说明理由；
（3）当为等腰三角形时，求点的坐标．
22．综合与探究：
如图1，平面直角坐标系中，一次函数图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线AB上的一个动点．
(1)求直线BC的表达式与点C的坐标；
(2)如图2，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．试探究直线AB上是否存在点P，使PQ＝BC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
(3)试探究x轴上是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
1．(1)一次函数解析式为：，正比例函数解析式为：(2)m的值为或者
【分析】（1）将D点坐标分别代入一次函数和正比例函数的表达式即可求解；
（2）根据题意可知P、Q的横坐标均为m，此时可求出Q点的纵坐标，则PQ可用m表示出来，再结合PQ=OA即可求解．
解：（1）∵一次函数与正比例函数交于点D（2，2），
∴，
∴，
∴一次函数解析式为：，正比例函数解析式为：；
（2）当x=0时，，
当y=0时，，即，
∴A点坐标为(3,0)，B点坐标为(0,6)，
∴OA=3，
∵PQ=OA，
∴PQ=，
∵轴，
∴点Q、点P的横坐标相等，
∵P点坐标为(m,m)，
∴Q点的横坐标为m，
∵Q点在直线上，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
解得：或者，
即m的值为或者．
【点拨】本题考查了求解一次函数和正比例函数的解析式以及两条直线的交点等问题，列出是解答本题的关键．
2．（1）（﹣6，0），（0，3）；（2）y＝﹣x+3，（3，0）；（3）选A，存在，点P的坐标为（2，4）或（﹣14，﹣4）；选B，存在，点P的坐标为（2，+3）或（﹣2，﹣+3）．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征求A点和B点坐标；
（2）将B点坐标（0，3）代入一次函数y＝−x＋b即可求解；
（3）A．过点P作PH⊥x轴于H，设点P（x，x+3），则PH＝，根据S△ACP＝AC•PH＝18可得PH的值，即可求解．
B．过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．设点P（x，x+3），则Q（x，−x＋3），根据PQ＝BC列方程求解即可．
解：（1）当y＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣6，则A点坐标为（﹣6，0）；
当x＝0时，y＝x+3＝3，则B点坐标为（0，3）；
（2）将B点坐标（0，3）代入一次函数y＝﹣x+b得：b＝3，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3，
当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，则C点坐标为（3，0）；
（3）A．过点P作PH⊥x轴于H，
设点P（x，x+3），
∴PH＝，
∵A点坐标为（﹣6，0），C点坐标（3，0），
∴AC＝9，
∵S△ACP＝AC•PH＝×9•PH＝18，
∴PH＝4，
∴x+3＝±4，
当x+3＝4时，x＝2；当x+3＝﹣4时，x＝﹣14，
∴存在，点P的坐标为（2，4）或（﹣14，﹣4）；
B．如图，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．
设点P（x，x+3），则Q（x，﹣x+3），
∴PQ＝，
∵B点坐标（0，3），C点坐标（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∴BC＝，
∵PQ＝BC，
∴，解得：x＝或﹣，
∴存在，点P的坐标为（2，+3）或（﹣2，﹣+3）．
【点拨】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积，勾股定理，待定系数法，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
3．(1)，的解析式为(2)或(3)或或1
【分析】（1）设的解析式为，将点的坐标代入的解析式，即可求解；
（2）设，进而根据题意列出方程，解方程求解即可；
（3）根据题意，则或，进而即可求得的值
解：（1）与交于点．
设的解析式为，将点的坐标代入的解析式，可得，
，，
解得，，
的解析式为
（2）设，
，令，则，令，则
，
又
的面积是面积的2倍，
即
解得或
或
（3）一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，
或
当过点C（2,4）时,将点C坐标代入y=kx＋2并解得:k=l,
或或1
【点拨】本题考查了一次函数综合，求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴围成的三角形面积，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的平移，掌握一次函数的性质是解题的关键．
4．(1)(2)（－，0）(3)（3，0）或（，0）或（，0）或
【分析】（1）先求解B的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（2）设点P（m，0），则点M（m，），点N（m，）
再利用PM＝PN列方程，再解方程即可；
（3）设 而 则再分三种情况讨论即可.
（1）解：∵一次函数的图象分别交x轴，y轴于点A和B，
∴点A（－，0），点B（0，－1），
设直线BC的解析式
代入B（0，－1），C（－3，0）．
解得，
∴直线BC的函数解析式．
（2）①设点P（m，0），则点M（m，），点N（m，）
依题意可得PM＝PN
∴
解得：
∴点P（－，0）
（3）设 而
当时，
解得：
当
解得：
当时，不合题意舍去，
当时，
或
综上：点P（3，0）或（，0）或（，0）或．
【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，线段的中点坐标的含义，勾股定理的应用，等腰三角形的含义，利用平方根的含义解方程，熟练的运用以上知识是解本题的关键.
5．(1)不变，面积是3(2)，m=-3
【分析】（1）不变，理由是；
（2）由，即可求解．
（1）解：不变，理由是：
一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B，
则点A、B的坐标分别为（-3，0）、（0，3），
∴．
（2）解：∵
=
∴
=
解得m=-3．
【点拨】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是正确把几何图形用不同的三角形组合表示，进而求解．
6．(1)y＝x+2(2)2(3)4或﹣8
【分析】（1）设一次函数的解析式为：y＝kx+b，将A（2，4），B（﹣2，0）代入该一次函数解析式组成二元一次方程组，解之即可；
（2）先求出点C的坐标，利用三角形面积公式可得结论；
（3）由DE⊥x轴，D（m，0），可知E（m，m+2），则DE＝|m+2|＝6，求解即可．
(1)解：设该一次函数的解析式为：y＝kx+b，
将A（2，4），B（﹣2，0）代入该一次函数解析式，得，
解得，
∴该一次函数的解析式为：y＝x+2．
(2)解：如图，连接OA，过点A作AF⊥y轴于点F，
∵一次函数y＝x+2与y轴交于点C，
∴C（0，2），
∴AF＝2，OC＝2，
∴S△AOC＝•AF•OC＝×2×2＝2．
(3)解：∵DE⊥x轴，D（m，0），
∴E（m，m+2），
∴DE＝|m+2|＝6，
解得m＝﹣8或4．
∴m的值为4或﹣8．
【点拨】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，平面直角坐标系中的三角形的面积，两点间的距离等知识，熟练掌握相关内容是解题关键．
7．(1)3(2)x<1(3)（，）或（，）
【分析】（1）利用解析式求出点A及交点B的坐标，即可求出面积；
（2）即为y1的图象在y2的上方，根据图象可直接得到x的取值范围；
（3）设点C的坐标为（m，2m），根据轴交直线AB于点D．得到D（3-2m，2m），列得，求出m即可．
（1）解：令y1=-x+3中y=0，得x=3，∴A（3，0），
∴OA=3，
当-x+3=2x时，得x=1，
∴y=2，
∴B（1，2），
∴S△AOB=；
（2）由图象得：当x<1时，；
（3）设点C的坐标为（m，2m），
∵轴交直线AB于点D．
∴D（3-2m，2m），
∵,
∴CD=2，
∴，
解得m=或m=，
∴点C的坐标为（，）或（，）．
【点拨】此题考查了求两条直线的交点坐标，直线与x轴交点，解绝对值方程，正确理解一次函数的知识并应用是解题的关键．
8．(1)(2)(3)①，理由见分析；②存在，点的坐标为或．
【分析】（1）将点，的坐标代入一次函数解析式求出，的值即可；
（2）写出点的坐标，然后根据三角形面积公式列函数关系式；
（3）①根据三角形面积列方程求点的坐标，然后利用勾股定理求得与的长，从而求解；
②根据全等三角形的判定和性质求解．
（1）解：将点，点代入一次函数得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为．
（2）解：∵点是线段上的一个动点（不与，重合），
设点的横坐标为，过点作轴，
∴点坐标为，
∴的面积：
，
∴的面积与之间的函数关系式为．
（3）解：①．理由如下：
当的面积时，
，
解得：，
∴F点坐标为，
∵轴，
∴在中，，
∵在中，，
∴．
②存在，点的坐标为或．
详解如下：过点作轴，过点作，过点作轴，分两种情况：
情况一：∵是等腰直角三角形
∴，
∴
∴
在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∴，即；
情况二：∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
综上所述，点的坐标为或．
【点拨】本题考查一次函数解析式的确定和一次函数的应用，勾股定理，全等三角形的判断和性质，三角形的面积等知识．掌握相关性质定理并利用分类讨论思想解题是关键．
9．(1)(2)(3)8
【分析】（1）先求得点B的坐标，再运用待定系数法即可得到一次函数y1＝kx+b（k≠0）的解析式；
（2）根据函数图像，结合B点的坐标即可求得x的取值范围；
（3）设点C的横坐标为m，则D（m，﹣2m+10），E（m，m+2），由CE＝3CD求出m，即可得DE的长．
(1)解：当x＝3时，y＝x+2＝4，
∴B点坐标为（3，4）．
直线y1＝kx+b经过A（5，0）和B（3，4），
则，
解得：，
∴一次函数y1＝kx+b（k≠0）的解析式为y1＝﹣2x+10；
(2)解：由图像以及B（3，4）可知，x＜3时，y1＞y2；
(3)解：设点C的横坐标为m，则D（m，﹣2m+10），E（m，m+2），
∴CE＝m+2，CD＝2m﹣10，
∵CE＝3CD，
∴m+2＝3（2m﹣10），解得m＝6．
∴D（6，﹣2），E（6，6），
∴DE＝8．
【点拨】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，函数图像上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，两点的距离等知识，灵活运用这些知识解决问题是本题的关键．
10．（1）m＝，E（3，0）；F（0，4）；（2）S△APE＝2；（3）Q1（，），Q2（，﹣），Q3（，﹣2）．
【分析】（1）根据函数值，可得相应自变量的值，根据自变量的值，可得相应的函数值；
（2）根据待定系数法，可得AP的解析式，根据函数值为零，可得P点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）分类讨论：①当点A与点B为对应顶点时，根据全等三角形的面积相等，可得Q点的纵坐标，根据函数值，可得相应自变量的值；②当点A与点Q为对应顶点时，可得Q点的纵坐标，根据函数值，可得相应自变量的值．
解：（1）一次函数y＝﹣x+4的图象经过点A（m，2），
得﹣m+4＝2，
解得m＝，
∵一次函数y＝﹣x+4的图象分别与x轴、y轴的正半轴交于点E，F．
∴当y＝0时，﹣x+4＝0，解得x＝3即E（3，0）；
当x＝0时，y＝4，即F（0，4）；
（2）把点A（，2）一次函数y＝kx﹣4，得2＝k﹣4，解得k＝4，
y＝4x﹣4，当y＝0时，x＝1，即P（1，0）．
PE＝3﹣1＝2，
S△APE＝×2×2＝2；
（3）存在Q点，B点是x轴上的动点，点Q是直线y＝﹣x+4上的点，设Q（m，n）．
由两点间的距离，得AE＝＝ ，AP＝＝，PE＝2．
①当点A与点B为对应顶点时，
∵△APE≌△BQE，
∴S△BQE＝S△APE＝2，
∴BE×|n|＝2．
∵BE＝AE＝，
∴|n|＝，n＝±．
当n＝时，﹣x+4＝，解得m＝，即Q1（，）；
当n＝﹣时，﹣x+4＝﹣，解得m＝ ，即Q2（，﹣）；
②当点A与点Q为对应顶点时，∵△APE≌△QBE，
则n＝﹣2，把n＝﹣2代入y＝﹣x+4得m＝ ，
∴Q3（，﹣2），
综上所述：Q1（，），Q2（，﹣），Q3（，﹣2）．
故答案为（1）m＝，E（3，0）；F（0，4）；（2）S△APE＝2；（3）Q1（，），Q2（，﹣），Q3（，﹣2）．
【点拨】本题考查一次函数综合题，（1）利用了自变量与函数值的对应关系，（2）利用了三角形的面积公式，（3）利用了分类讨论的方法，根据全等三角形的性质得出Q点的纵坐标是解题关键．
11．(1) (2) (3)
【分析】(1)利用待定系数法求解可得；
(2)作轴，由全等三角形的判定定理可得出，由全等三角形的性质可知，故可得出C点坐标；
(3)作轴,并延长至点F使得,连接交x轴与点P,此时有最小值即BF，从而得出答案．
解：(1)由题意得：
将和点代入，
即：
，即，
;
(2)如图所示：
作轴，
,
在和中，
,
,
C点坐标为.
(3)作轴,并延长至点F使得,过F点作FH⊥y轴，垂足为H
连接交x轴与点P,此时有最小值即BF，
,
有最小值即.
【点拨】本题考查一次函数的综合问题，画出图像利用数形结合解题是解题关键.
12．（﹣6，0）或（，0）．
【分析】根据一次函数求出点A、B的坐标，根据勾股定理即可求出AB，然后根据点A落在y轴的位置分类讨论：当点A落在y轴的正半轴上时，设点C的坐标为（m，0），根据折叠的性质求出A′O和A′C，根据勾股定理列方程即可求出m；当点A落在y轴的负半轴上时，原理同上．
解：∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
根据勾股定理可得AB＝=5，
如图1，当点A落在y轴的正半轴上时，
设点C的坐标为（m，0），
∵将△ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，
∴A′O＝3+5＝8，A′C＝AC＝4﹣m，
∵A′C2＝OC2+A′O2，
∴（4﹣m）2＝m2+82，
∴m＝﹣6；
如图2，当点A落在y轴的负半轴上时，
设点C的坐标为（m，0），
∵将△ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，
∴A′O＝5﹣3＝2，A′C＝AC＝4﹣m，
∵A′C2＝OC2+A′O2，
∴（4﹣m）2＝m2+22，
∴m＝；
综上所述，当点A落在y轴上时，点C的坐标为（﹣6，0）或（，0），
故答案为：（﹣6，0）或（，0）．
【点拨】此题考查的是一次函数与图形综合题，掌握求一次函数与坐标轴的交点坐标、折叠的性质、勾股定理解直角三角形和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
13．(1)；(2)
【分析】(1)利用待定系数法即可求得直线的解析式；
(2)求得两直线，的交点坐标，画出图像，由图象可知直线在直线上方即可，由此即可写出的范围．
解：(1)设直线的解析式为，
∵直线经过点A(1，5)，B(4，2)，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为；
(2)联立，
解得：，
∵过动点且垂直于轴的直线与、的交点分别为C、D，如图：
观察图像可知当时，直线在直线上方，点位于点上方，
故答案为：．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式的，结合图象，比较函数图象的高低（即比较函数值的大小），确定对应的自变量的取值范围．解题的关键是掌握数形结合的思想．
14．(1)(2)或
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）设，根据的面积为6建立方程，解方程即可求解．
（1）解：∵一次函数的图像与轴，轴分别交于，两点，∴，解得，一次函数的解析式为；
（2）解：设，，，，当的面积为6时，，解得或，或．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
15．(1)
(2)
【分析】（1）先求出点M的坐标，再用待定系数法解得，即可求解；
（2）先求出OA=OB=2，设点P（a，0），则AP=a+2，PC=a-，根据的面积是面积的2倍，可得到关于a的方程，即可求解．
（1）解：把点代入得：
，
∴点M（1，3），
设直线MC的解析式为，
把点M（1，3），代入得：
，解得：，
∴直线MC的解析式为；
（2）解：对于，
当x=0时，y=2；当y=0时，x=-2，
∴点A（-2，0），B（0，2），
∴OA=OB=2，
设点P（a，0），则AP=a+2，PC=-a，
∵的面积是面积的2倍，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为．
【点拨】本题主要考查了求一次函数的解析式，三角形的面积问题，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
16．(1)A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）；(2)；(3)P点坐标为（，0），（﹣4，0），（﹣1，0），（9，0）
【分析】（1）令y＝0求出x的值，再令x＝0求出y的值即可求出A、B两点的坐标；
（2）OC＝x，根据翻折变换的性质用x表示出BC的长，再根据勾股定理求解即可；
（3）设P点坐标为（x，0），则，，，然后分三种情况讨论：当PA＝PB时，当PA＝AB时，当PB＝AB时，解答即可．
（1）解：令y＝0，则x＝4；令x＝0，则y＝3，
∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）．
（2）解：∵点B的坐标为（0，3）．
∴OB=3，
设OC＝x，则AC＝CB＝4﹣x，
∵∠BOA＝90°，
∴OB2+OC2＝CB2，
32+x2＝（4﹣x）2，
解得x＝，
∴OC＝．
（3）解：∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）．
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
设P点坐标为（x，0），则，，
当PA＝PB时，，
解得x＝；
当PA＝AB时，，解得x＝9或x＝﹣1；
当PB＝AB时，，解得x＝﹣4或x=4（舍去）．
∴P点坐标为（，0），（﹣4，0），（﹣1，0），（9，0）．
【点拨】此题是一次函数的综合题，考查的是坐标轴上点的坐标特点、勾股定理及两点间的距离公式，在解（2）时要注意分类讨论，不要漏解．
17．(1)A，B ；(2)；(3)OF=AB．
【分析】（1）分别令和代入解析式求解；从而得到点和点坐标；
（2）写出点的坐标，然后根据三角形面积公式列函数关系式；
（3）根据三角形面积列方程求点的坐标，然后利用勾股定理求得与的长，从而求解；
解：（1）当时，，
当时，，
解得：，
点坐标为，点坐标为，
（2）点是线段上的一个动点（不与，重合），设点的横坐标为，
过点作轴，
点坐标为，
的面积，
即；
（3）OF=AB．理由如下：
当的面积时，
，
解得：，
点坐标为，
在中，，
在中，，
；
【点拨】本题考查一次函数的应用以及勾股定理，综合性较强，掌握相关性质定理并利用分类讨论思想解题是关键．
18．(1)；(2)①；②或
【分析】（1）把点分别代入，，即可求解；
（2）①根据题意可得点、点横坐标都为，从而得到点的坐标为，的坐标为，进而得到，即可求解；②分两种情况讨论：若点在点上方，若点在点下方，即可求解．
(1)解：∵正比例函数的图象过点，
，解得，
∴正比例函数的表达式为；
又∵一次函数的图象过点，
，
，
∴一次函数的表达式为；
(2)解：①根据题意得：点、点横坐标都为，且点G、F分别在直线，上，
∴点的坐标为，的坐标为，
，
；
②∵点，
∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，
若点在点上方，
，
解得；
；
若点在点下方，
，
解得，
．
∴当的长为4时，点的坐标为或
【点拨】本题主要考查了一次函数的图象和性质，以及求三角形的面积，熟练掌握一次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
19．(1)A（-3，0），B（0，2）；(2)y=-x+2；(3)
【分析】（1）分别令x=0，令y=0，即可求解；
（2）将点C，点B坐标代入解析式可求解；
（3）由EF⊥x轴，可得点E，点F坐标，可求EF的长，即可求t的值；
（1）解：令x=0，则y=2，
令y=0，则，解得：x=-3，
∴点A（-3，0），B（0，2）；
（2）解：把点B（0，2），代入，得：
，解得：，
∴直线的表达式为y=-x+2；
（3）解：∵点，
∴点，
∴，
∵点B（0，2），
∴OB=2，
∵EF＝OB，
∴，解得：．
【点拨】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，熟练掌握一次函数的图形和性质是本题的关键．
20．（1） ；（2）；（3）t＝或t＝﹣2．
【分析】（1）联立y=x与y=-2x-2，解方程组即可；
（2）由图象直接写出x＞-；
（3）根据A点坐标分别求出M、N的坐标．然后由MN=4列出t的方程求解即可．
解：（1）联立，
解得：，
则点P坐标为（，）；
（2）由图象可得，当y1＞y2时，x＞；
（3）设点M（t，t），N（t，-2t-2），
则MN=|t-（-2t-2）|=4，
解得：t=或t=-2．
【点拨】本题考查了一次函数和一元一次不等式以及二元一次方程组的应用，关键是联立方程组求交点坐标．
21．（1）（−4，0），（0，2），2．（2）当P的坐标是（2−4，0）时，△APQ≌△CBP，（3）（2−4，0）或（−，0）．
【分析】（1）把x＝0和y＝0分别代入一次函数的解析式，求出A、B的坐标，根据勾股定理求出BC即可．
（2）求出∠PAQ＝∠BCP，∠AQP＝∠BPC，根据点的坐标求出AP＝BC，根据全等三角形的判定推出即可．
（3）分为三种情况：①PQ＝BP，②BQ＝QP，③BQ＝BP，根据（2）即可推出①，根据三角形外角性质即可判断②，根据勾股定理得出方程，即可求出③．
解：（1）∵，
∴当x＝0时，y＝2，
当y＝0时，x＝−4，
即点A的坐标是（−4，0），点B的坐标是（0，2），
∵C点与A点关于y轴对称，
∴C的坐标是（4，0），
∴OA＝4，OC＝4，OB＝2，
由勾股定理得：BC＝＝2．
故答案为：（−4，0），（0，2），2．
（2）当P的坐标是（2−4，0）时，△APQ≌△CBP，
理由是：∵OA＝4，P（2−4，0），
∴AP＝4＋2−4＝2＝BC，
∵∠BPQ＝∠BAO，
∠BAO＋∠AQP＋∠APQ＝180°，
∠APQ＋∠BPQ＋∠BPC＝180°，
∴∠AQP＝∠BPC，
∵A和C关于y轴对称，
∴∠BAO＝∠BCP，
在△APQ和△CBP中，
，
∴△APQ≌△CBP（AAS），
∴当P的坐标是（2−4，0）时，△APQ≌△CBP；
（3）分为三种情况：
①当PB＝PQ时，由（2）知，△APQ≌△CBP，
∴PB＝PQ，
即此时P的坐标是（2−4，0）；
②当BQ＝BP时，则∠BPQ＝∠BQP，
∵∠BAO＝∠BPQ，
∴∠BAO＝∠BQP，
而根据三角形的外角性质得：∠BQP＞∠BAO，
∴此种情况不存在；
③当QB＝QP时，则∠BPQ＝∠QBP＝∠BAO，
即BP＝AP，
设此时P的坐标是（x，0），
∵在Rt△OBP中，由勾股定理得：BP2＝OP2＋OB2，
∴（x＋4）2＝x2＋22，
解得：x＝−，
即此时P的坐标是（−，0）．
∴当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是（2−4，0）或（−，0）．
【点拨】本题考查了一次函数综合题，涉及一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，题目综合性比较强，难度偏大．
22．(1)y＝﹣x+3，C点坐标为（3，0）(2)存在，点P的坐标为（2，3）或（﹣2，3）(3)存在，点M的坐标为（-6+3，0）；（-6-3）；（6，0）；（，0）
【分析】（1）分别求出A（﹣6，0），B（0，3），再确定函数解析式即可；
（2）设P（t，t+3），则Q（t，﹣t+3），则PQ＝|t|，再求BC＝3，由题意可得|t|＝3，即可求P点坐标；
（3）分三种情况：①当以A为等腰三角形的顶点时，AB＝AM＝3；②当以B为等腰三角形的顶点时，AB＝BM，则M点与A点关于y轴对称；③当以M为等腰三角形的顶点时，MA＝MB，设M（m，0），由（m+6）2＝m2+9，即可求解．
(1)解：令y＝0，则x+3＝0，
∴x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），
令x＝0，则y＝3，
∴B（0，3），
∵一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，
∴b＝3，
∴y＝﹣x+3，
令y＝0，则x＝3，
∴C（0，3）；
(2)解：如图，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．
设点P（x，x+3），则Q（x，﹣x+3）
∵B点坐标（0，3），C点坐标（3，0），
∴BC＝3，
∵PQ＝BC，
∴|x+3﹣（﹣x+3）|＝3，
解得：x＝2或﹣2，
∴存在，点P的坐标为（2，3）或（﹣2，3）
(3)解：存在，理由如下：
∵A（﹣6，0），B（0，3），
∴AB＝3，
当以A为等腰三角形的顶点时，
AB＝AM＝3，
∴M（﹣6+3，0）或（﹣6﹣3，0）；
②当以B为等腰三角形的顶点时，
AB＝BM，
∴M点与A点关于y轴对称，
∴M（6，0）；
③当以M为等腰三角形的顶点时，
MA＝MB，
设M（m，0），
∴（m+6）2＝m2+9，
∴m＝﹣，
∴M（﹣，0）；
综上所述：M点的坐标为（﹣6+3，0）或（﹣6﹣3，0）或（6，0）或（﹣，0）．
【点拨】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
