2019哈尔滨市中考数学试卷

这是一份2019哈尔滨市中考数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

哈尔滨市2019年初中升学考试
数学试卷
第Ⅰ卷　选择题(共30分)
一、选择题(每小题3分，共计30分)　　　　　　　 　　　 　　　 　
1．－9的相反数是(　　)
A. －9 B. － C. 9 D.
2．下列运算一定正确的是(　　)
A. 2a＋2a＝2a2
B. a2·a3＝a6
C. (2a2)3＝6a6
D. (a＋b)(a－b)＝a2－b2
3．下更图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)

4．七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是(　　)

5．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为(　　)

第5题图
A. 60° B. 75° C. 70° D. 65°
6．将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为(　　)
A. y＝2(x＋2)2＋3 B. y＝2(x－2)2＋3
C. y＝2(x－2)2－3 D. y＝2(x＋2)2－3
7．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为(　　)
A. 20% B. 40% C. 18% D. 36%
8．方程＝的解为(　　)
A. x＝ B. x＝ C. x＝ D. x＝
9．点(－1，4)在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是(　　)
A. (4，－1) B. (－，1)
C. (－4，－1) D. (，2)
10．如图，在▱ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是(　　)

第10题图
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
第Ⅱ卷　非选择题(共90分)
二、填空题(每小题3分，共计30分)
11．将数6260000用科学记数法表示为________．
12．在函数y＝中，自变量x的取值范围是________．
13．把多项式a3－6a2b＋9ab2分解因式的结果是________．
14．不等式组的解集是________．
15．二次函数y＝－(x－6)2＋8的最大值是_______．
16．如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，点B′落在边AC上，连接A′B，若∠ACB＝45°，AC＝3，BC＝2，则A′B的长为________．

第16题图
17．一个扇形的孤长是11 πcm，半径是18 cm，则此扇形的圆心角是________度.
18．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为________度．
19．同时掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为________．
20．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为________．

第20题图
三、解答题(其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分)
21．(本题7分)
先化简，再求代数式(－)÷的值，其中x＝4tan45°＋2cos30°.











22．(本题7分)
图①、图②是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．
(1)在图①中画出以AC为底边的等腰直角三角形ABC，点B在小正方形的顶点上；
(2)在图②中画出以AC为腰的等腰三角形ACD，点D在小正方形的顶点上，且△ACD的面积为8.

第22题图









23．(本题8分)
建国七十周年到来之际，海庆中学决定举办以“祖国在我心中”为主题的读书活动．为了使活动更具有针对性，学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，要求学生在“教育、科技、国防、农业、工业”五类书籍中，选取自己最想读的一种(必选且只选一种)．学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中所给的信息解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
(2)请通过计算补全条形统计图；
(3)如果海庆中学共有1500名学生，请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名．

第23题图








24．(本题8分)
已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F.
(1)如图①，求证AE＝CF；
(2)如图②，当∠ADB＝30°时，连接AF、CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的.

第24题图








25．(本题10分)
寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋象棋类兴趣小组活动使用，若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元．
(1)求每副围棋和每副中国象棋各多少元；
(2)寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？










26．(本题10分)
已知：MN为⊙O的直径，OE为⊙O的半径，AB、CH是⊙O的两条弦，AB⊥OE于点D，CH⊥MN于点K，连接HN、HE，HE与MN交于点P.
(1)如图①，若AB与CH交于点F，求证∠HFB＝2∠EHN；
(2)如图②，连接ME、OA，OA与ME交于点Q，若OA⊥ME，∠EON＝4∠CHN，求证：MP＝AB；
(3)如图③，在(2)的条件下，连接OC、BC、AH，OC与EH交于点G，AH与MN交于点R，连接RG，若HK∶ME＝2∶3，BC＝，求RG的长．

第26题图











27．(本题10分)
如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线BC与x轴交于点C，且点C与点A关于y轴对称．
(1)求直线BC的解析式；
(2)点P为线段AB上一点，点Q为线段BC上一点，BQ＝AP，连接PQ，设点P的横坐标为t，△PBQ的面积为S(S≠0)，求S与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；
(3)在(2)的条件下，点E在线段OA上，点R在线段BC的延长线上，且点R的纵坐标为－，连接PE、BE、AQ，AQ与BE交于点F，∠APE＝∠CBE，连接PF，PF的延长线与y轴的负半轴交于点M，连接QM、MR，若tan∠QMR＝，求直线PM的解析式．

























2019年哈尔滨市中考数学试卷
试题解析
一、选择题(每小题3分，共计30分)
1. C
2. D　【解析】逐项分析如下：
选项
逐项分析
正误
A
2a＋2a＝4a≠2a2
×
B
a2·a3＝a5≠a6
×
C
(2a2)3＝8a6≠6a6
×
D
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
√
3. B　【解析】逐项分析如下：
选项
逐项分析
正误
A
是轴对称图形，不是中心对称图形
×
B
既是轴对称图形，也是中心对称图形
√
C
是轴对称图形，不是中心对称图形
×
D
是轴对称图形，不是中心对称图形
×
4. B　【解析】这个立体图形的左视图有两列，从左到右分别是2，1个正方形，故选B.
5. D　【解析】如解图，连接OA、OB，∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°－∠P＝180°－50°＝130°，∴∠ACB＝∠AOB＝×130°＝65°.

第5题解图
6. B　【解析】将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝2x2＋3，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝2(x－2)2＋3.
7. A　【解析】设降价的百分率为x，根据题意可列方程为25(1－x)2＝16，解方程得x1＝，x2＝(舍)，∴每次降价的百分率为20%.
8. C　【解析】＝， ＝， ∴2x＝9x－3，∴x＝.经检验x＝是方程的根， ∴方程的解为x＝.
9. A　【解析】将点(－1，4)代入y＝，∴k＝－4，∴y＝－， ∴点(4，－1)在函数图象上．
10. D　【解析】∵EM//AD，EN∥AB, ∴四边形AMEN为平行四边形，∴△BEM∽△BAD∽△END, ∴＝＝，A项错误，＝，B项错误，＝＝，C项错误， ＝＝，D项正确，故选D.
11. 6.26×106　【解析】用科学记数法将一个绝对值大于10的数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，∴a＝6.26，n为原数的整数位减1，即n＝6，故数据6260000用科学记数法表示为6.26×106.
12. x≠　【解析】函数y＝中分母2x－3≠0，∴x≠，x的取值范围是x≠.
13. a(a－3b)2　【解析】原式＝a(a2－6ab＋9b2)＝a(a－3b)2.
14. x≥3　【解析】解不等式≤0，得：x≥3，解不等式3x＋2≥1，得：x≥－，∴不等式组的解集为x≥3.
15. 8　【解析】∵a＝－1<0，∴y有最大值，当x＝6时，y有最大值，最大值为8.
16. 　【解析】∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，∴AC＝A′C＝3，∠ACB＝∠ACA′＝45°， ∴∠A′CB＝90°， ∴A′B＝＝.
17. 110　【解析】根据l＝＝＝11π，解得：n＝110.
18. 60°或10°　【解析】分两种情况：①如解图①，当∠ADC＝90°时， ∵∠B＝30°， ∴∠BCD＝90°－30°＝60°；

图① 图②
第18题解图
②如解图②，当∠ACD＝90°时，∵∠A＝50°，∠B＝30°， ∴∠ACB＝180°－30°－50°＝100°，∴∠BCD＝100°－90°＝10°，综上，则∠BCD的度数为60°或10°.
19. 　【解析】列表得：
第一枚骰子点数第二枚骰子点数
1
2
3
4
5
6
6
(1，6)
(2，6)
(3，6)
(4，6)
(5，6)
(6，6)
5
(1，5)
(2，5)
(3，5)
(4，5)
(5，5)
(6，5)
4
(1，4)
(2，4)
(3，4)
(4，4)
(5，4)
(6，4)
3
(1，3)
(2，3)
(3，3)
(4，3)
(5，3)
(6，3)
2
(1，2)
(2，2)
(3，2)
(4，2)
(5，2)
(6，2)
1
(1，1)
(2，1)
(3，1)
(4，1)
(5，1)
(6，1)
由表可知一共有36种等可能的情况，两枚骰子点数相同的情况有6种，∴P(两枚骰子点数相同)＝ ＝.
20. 2　【解析】如解图，连接AC交BD于点O, ∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4，∵CE//AB，∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°，∴∠DAO＝∠ACE＝30°，∴AE＝CE＝6，∴DE＝AD－AE＝2，∵∠CED＝∠ADB＝60°，∴△EDF是等边三角形，∴DE＝EF＝DF＝2，∴CF＝CE－EF＝4，OF＝OD－DF＝2，∴OC＝＝2，∴BC＝＝2.

第20题解图
21. 解：原式＝[－]÷
＝(－)·
＝·
＝，
当x＝4tan45°＋2cos30°＝4×1＋2×＝4＋时，
原式＝
＝
＝.
22. 解：(1)如解图①，作AC的垂直平分线，作以AC为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点B；
(2)如解图②，以C为圆心，AC为半径作圆，圆与格点的交点即为点D.

第22题解图①
　　
第22题解图②
23. 解：(1)18÷30%＝60(名)，
答：在这次调查中，一共抽取了60名学生；
(2)补全条形统计图，如解图：

第23题解图
【解法提示】60－(18＋9＋12＋6)＝15(名)．
(3)1500×＝225(名)，
答：该校最想读科技类书籍的学生有225名．
24. (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB//CD，AD//BC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE＝CF；
(2)解：S△ABE＝S△CDF＝S△BCE＝S△ADF＝S矩形ABCD.
【解法提示】
∵AD//BC，
∴∠CBD＝∠ADB＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝60°，
∵AE⊥BD，
∴∠BAE＝30°，
∴BE＝AB，AE＝AD，
∴S△ABE＝BE·AE＝·AB·AD＝AB·AD＝S矩形ABCD，
∵△ABE≌△CDF，
∴S△CDF ＝S矩形ABCD；
如解图，作EG⊥BC于点G，
∵∠CBD＝30°，
∴EG＝BE＝×AB＝AB，
∴S△BCE ＝BC·EG＝BC·AB＝BC·AB＝S矩形ABCD，
同理：S△ADF＝S矩形ABCD.

第24题解图
25. 解：(1)设每副围棋x元，每副中国象棋y元，
根据题意得：，
∴，
∴每副围棋16元，每副中国象棋10元；
(2)设购买围棋z副，则购买象棋(40－z)副，
根据题意得：16z＋10(40－z)≤550，
∴z≤25，
∴最多可以购买25副围棋；
26. (1)证明：∵AB⊥OE于点D，CH⊥MN于点K，
∴∠ODB＝∠OKC＝90°，
∵∠ODB＋∠DFK＋∠OKC＋∠EON＝360°，
∴∠DFK＋∠EON＝180°，
∵∠DFK＋∠HFB＝180°，
∴∠HFB＝∠EON，
∵∠EON＝2∠EHN，
∴∠HFB＝2∠EHN.
(2)如解图①，连接OB，
∵OA⊥ME，
∴∠AOM＝∠AOE.
∵AB⊥OE，
∴∠AOE＝∠BOE.
∴∠AOM＋∠AOE＝∠AOE＋∠BOE，
即：∠MOE＝∠AOB，
∴ME＝AB.
∵∠EON＝4∠CHN，∠EON＝2∠EHN，
∴∠EHN＝2∠CHN，
∴∠EHC＝∠CHN，
∵CH⊥MN，
∴∠HPN＝∠HNM，
∵∠HPN＝∠EPM，∠HNM＝HEM，
∴∠EPM＝∠HEM，
∴MP＝ME，
∴MP＝AB.

第26题解图①
(3)解：如解图②，连接BC，过点A作AF⊥BC于点F，过点A作AL⊥MN于L，连接AM，AC.
由(2)知：∠EHC＝∠CHN，∠AOM＝∠AOE，
∴∠EOC＝∠CON，
∵∠EOC＋∠CON＋∠AOM＋∠AOE＝180°；
∴∠AOE＋∠EOC＝90°，∠AOM＋∠CON＝90°，
∵OA⊥ME，CH⊥MN，
∴∠OQM＝∠OKC＝90°，CK＝HK，ME＝2MQ，
∴∠AOM＋∠OMQ＝90°，
∴∠CON＝∠OMQ，
∵OC＝OM，
∴△OCK≌△MOQ(AAS)，
∴CK＝OQ＝HK，
∵HK：ME＝2∶3，即：OQ∶2MQ＝2∶3，
∴OQ：MQ＝4∶3，
∴设OQ＝4k，MQ＝3k，
则OM＝＝＝5k，AB＝ME＝6k，
在Rt△OAC中，AC＝＝＝5k，
∵四边形ABCH内接于⊙O，∠AHC＝∠AOC＝×90°＝45°，
∴∠ABC＝180°－∠AHC＝180°－45°＝135°，
∴∠ABF＝180°－∠ABC＝180°－135°＝45°，，
∴AF＝BF＝AB·cos∠ABF＝6k·cos45°＝3k，
在Rt△ACF中，AF2＋CF2＝AC2，
即：(3k)2＋(3k＋)2＝(5k)2，解得：k1＝1，k2＝－(不符合题意，舍去)，
∴OQ＝HK＝4，MQ＝OK＝3，OM＝ON＝5，
∴KN＝KP＝2，OP＝ON－KN－KP＝5－2－2＝1，
在△HKR中，∠HKR＝90°，∠RHK＝45°，
∴＝tan∠RHK＝tan45°＝1，
∴RK＝HK＝4，
∴OR＝RN－ON＝4＋2－5＝1，
∵∠CON＝∠OMQ，
∴OC//ME，
∴∠PGO＝∠HEM，
∵∠EPM＝∠HEM，
∴∠PGO＝∠EPM，
∴OG＝OP＝OR＝1，
∴∠PGR＝90°，
在Rt△HPK中，PH＝＝＝2，
∵∠POG＝∠PHN，∠OPG＝∠HPN，
∴△POG∽△PHN，
∴＝，即＝，PG＝，
∴RG＝＝＝.

第26题解图②
27. 解：(1)∵y＝x＋4，
∴A(－3，0)B(0，4)，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴C(3，0)，
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
将B(0，4)，C(3，0)代入，
，
解得k＝－，b＝4，
∴直线BC的解析式y＝－x＋4；
(2)如解图①，过点A作AD⊥BC于点D，过点P作PN⊥BC于点N，PG⊥OB于点G.
∵OA＝OC＝3，OB＝4，
∴AC＝6，AB＝BC＝5，
∴sin∠ACD＝＝，
即＝，
∴AD＝，
∵点P为直线y＝x＋4上，
∴设P(t，t＋4)，
∴PG＝－t，cos∠BPG＝cos∠BAO，
即＝＝，
∴PB＝－t，
∵sin∠ABC＝＝＝＝，
∴PN＝PB＝×(－t)＝－t，
∵AP＝BQ，
∴BQ＝5＋t，
∴S＝BQ·PN＝(5＋t)·(－t)，
即S＝－t2－4t；

第27题解图①
(3)如解图②，延长BE至T使ET＝EP，连接AT、PT、AM，PT交OA于点S，过点R作RH⊥MQ于点H，过点R作RK⊥x轴于点K.
∵∠APE＝∠EBC，∠BAC＝∠BCA，
∴180°－∠APE－∠BAC＝180°－∠EBC－∠ACB，
∴∠PEA＝∠BEC＝∠AET，
∴PT⊥AE，PS＝ST，
∴AP＝AT，∠TAE＝∠PAE＝∠ACB，
∴AT//BC，
∴∠TAF＝∠FQB，
∵∠AFT＝∠BFQ，AT＝AP＝BQ，
∴△ATF≌△QBF(AAS)，
∴AF＝QF，TF＝BF，
∵∠PSA＝∠BOA＝90°，
∴PT//BM，
∴∠TBM＝∠PTB，
∵∠BFM＝∠PFT，
∴△MBF≌△PTF(ASA)，
∴MF＝PF，BM＝PT，
∴四边形AMQP为平行四边形，
∴AP//MQ，MQ＝AP＝BQ，
∴∠MQR＝∠ABC，
∵sin∠ABC＝sin∠MQR＝＝，
设QR＝25a，HR＝24a，则QH＝7a，
∵tan∠QMR＝，
∴MH＝23a，BQ＝MQ＝23a＋7a＝30a，BR＝BQ＋QR＝55a，
∵点R的纵坐标为－，
∴RK＝，
∵sin∠BCO＝＝sin∠KCR＝＝，
∴CR＝，BR＝，
∴55a＝，a＝，
∴BQ＝30a＝3，
∴5＋t＝3，t＝－，
∴P(－，)，
∴PS＝，
∵BM＝PT＝2PS＝，BO＝4，
∴OM＝，
∴M(0，－)，
设直线PM的解析式为y＝mx＋n，
∴，
解得，
∴直线PM的解析式为y＝－x－.

第27题解图②