2019年广东省广州市中考数学试卷

这是一份2019年广东省广州市中考数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2019年广州市初中毕业生学业考试
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．|﹣6|＝ （　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣ D．
2．广州正稳步推进碧道建设，营造“水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群”的生态廊道，使之成为老百姓美好生活的好去处．到今年底各区完成碧道试点建设的长度分别为（单位：千米）：5，5.2，5，5，5，6.4，6，5，6.68，48.4，6.3，这组数据的众数是（　　）
A．5 B．5.2 C．6 D．6.4
3．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30 m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为 （　　）

第3题图
A．75 m B．50 m C．30 m D．12 m
4．下列运算正确的是 （　　）
A．﹣3﹣2＝﹣1 B．3×（﹣）2＝﹣
C．x3•x5＝x15 D．•＝a
5．平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（　　）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
6．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是 （　　）
A． B． C． D．
7．如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是 （　　）

第7题图
A．EH＝HG
B．四边形EFGH是平行四边形
C．AC⊥BD
D．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍
8．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 （　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3
9．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则AC的长为 （　　）

第9题图
A．4 B．4 C．10 D．8
10．关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k的值为 （　　）
A．0或2 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA＝6 cm，PB＝5 cm，PC＝7 cm，则点P到直线l的距离是　 　cm．

第11题图
12．代数式有意义时，x应满足的条件是　 　．
13．分解因式：x2y+2xy+y＝　 　 ．
14．一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为　 　．

第14题图
15．如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为　 　．（结果保留π）

第15题图
16．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论：
①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；
④△EAF的面积的最大值a2．
其中正确的结论是　 　 ．（填写所有正确结论的序号）

第16题图
三、解答题（本大题共9小题，满分102分）
17．（本小题满分9分）解方程组：




18．（本小题满分9分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌△CFE．

第18题图
19．（本小题满分10分）已知P＝（a≠±b）.
（1）化简P；
（2）若点（a，b）在一次函数y＝x的图象上，求P的值．







20．（本小题满分10分）某中学抽取了40名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
频数分布表
组别
时间/小时
频数/人数
A组
0≤t＜1
2
B组
1≤t＜2
m
C组
2≤t＜3
10
D组
3≤t＜4
12
E组
4≤t＜5
7
F组
t≥5
4
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）求频数分布表中m的值；
（2）求B组，C组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统计图；
（3）已知F组的学生中，只有1名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率：从F组中随机选取2名学生，恰好都是女生．

第20题图
21．（本小题满分12分）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．
（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？
（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．






22．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝mx的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，P两点．
（1）求m，n的值与点A的坐标；
（2）求证：△CPD∽△AEO；
（3）求sin∠CDB的值．

第22题图

23．（本小题满分12分）如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC．
（1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．

第23题图




24．（本小题满分14分）如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．
（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；
（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．

第24题图


25．（本小题满分14分）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．
（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．

2019年广东省广州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．B【解析】﹣6的绝对值是|﹣6|＝6．
2．A【解析】5出现的次数最多，是5次．
3．A【解析】∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，∴tan∠BAC＝，解得AC＝75．
4．D【解析】A．﹣3﹣2＝﹣8；B．3×（﹣）2＝，故此选项错误；C．x3•x5＝x8，故此选项错误；D．•＝a．故选D．
5．C【解析】∵⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，∴d＞r，∴点P与⊙O的位置关系是P在⊙O外，∴过圆外一点可以作圆的6条切线．
6．D【解析】设甲每小时做x个零件，可得．
7．B【解析】∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，在▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，∴EH＝AD＝2，HG＝AB＝1，∴EH≠HG，故选项A错误；∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，∴EH＝，∴四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确；由题目中的条件，无法判断AC和BD是否垂直，故选项C错误；∵点E、F分别为OA和OB的中点，∴EF＝，EF∥AB，∴△OEF∽△OAB，∴，即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，故选项D错误，故选B．
8．C【解析】∵点A（﹣1，y1），B（7，y2），C（3，y8）在反比例函数y＝的图象上，∴y1＝＝﹣6，y2＝＝8，y3＝＝2，又∵﹣6＜4＜3，∴y1＜y7＜y2．
9．A【解析】如解图，连接AE，∵EF是AC的垂直平分线，∴OA＝OC，AE＝CE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，在△AOF和△COE中，∴△AOF≌△COE（ASA），∴AF＝CE＝5，∴AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝4+5＝8，∴AB＝＝＝4，∴AC＝＝＝4．

第9题解图
10．D【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+3＝0的两个实数根为x1，x4，∴x1+x2＝k﹣8，x1x2＝﹣k+7．∵（x1﹣x2+4）（x1﹣x2﹣8）+2x1x5＝﹣3，即（x1+x2）2﹣2x2x2﹣4＝﹣5，∴（k﹣1）2+3k﹣4﹣4＝﹣5，解得k＝±2．当k＝2时，原方程为x7﹣x＝0，∴＝（﹣1）3﹣4×1×7＝1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，k＝6符合题意；当k＝﹣2时，原方程为x2+4x+4＝0，∴＝82﹣4×7×4＝﹣7＜2，∴该方程无解，k＝﹣2不合题意．∴k＝2．故选D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．5【解析】∵PB⊥l，PB＝5cm，∴P到l的距离是垂线段PB的长度5 cm．
12．x＞8【解析】代数式有意义时，x﹣5＞0，解得x＞8．
13．y（x+1）2【解析】原式＝y（x2+2x+4）＝y（x+1）2．
14．75°或60°【解析】分情况讨论：①当DE⊥BC时，∠BAD＝180°﹣60°﹣45°＝75°；②当AD⊥BC时，α＝90°﹣∠C＝90°﹣30°＝60°．故答案为75°或60°．
15．2π【解析】∵某圆锥的主视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，∴斜边长为2，则底面圆的周长为2π，∴该圆锥侧面展开扇形的弧长为2π．
16．①④【解析】如解图①，在BC上截取BH＝BE，连接EH．∵BE＝BH，∠EBH＝90°，∴EH＝BE，∵AF＝BE，∴AF＝EH，∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠FAE＝∠EHC＝135°，∵BA＝BC，BE＝BH，∴AE＝HC，∴△FAE≌△EHC（SAS），
∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECH，∵∠ECH+∠CEB＝90°，∴∠AEF+∠CEB＝90°，∴∠FEC＝90°，∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，如解图②，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），∴∠ECB＝∠DCH，∴∠ECH＝∠BCD＝90°，∴∠ECG＝∠GCH＝45°，∵CG＝CG，CE＝CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG＝GH，
∵GH＝DG+DH，DH＝BE，∴EG＝BE+DG，故③错误，∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AE+AH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误，设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x，∴S△AEF＝•（a﹣x）×x＝﹣x2+ax＝﹣（x2﹣ax+a2﹣a2）＝﹣（x﹣a）2+a2，∵﹣＜0，∴x＝a时，△AEF的面积的最大值为a2．故④正确，故答案为①④．

图① 图②
第16题解图
三、解析题（共9小题，满分102分）
17．解：令
②﹣①得，4y＝8，
把y＝5代入①得，x﹣2＝1，
故方程组的解为
18．证明：∵FC∥AB，
∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，
在△ADE与△CFE中，

∴△ADE≌△CFE（AAS）．
19．解：（1）P＝﹣＝＝＝；
（2）∵点（a，b）在一次函数y＝x﹣，
∴b＝a﹣，
∴a﹣b＝，
∴P＝．
20．解：（1）m＝40﹣2﹣10﹣12﹣7﹣2＝5；
（2）B组的圆心角为360°×＝45°，
C组的圆心角为360°×＝90°．
补全扇形统计图如解图①；

第20题解图①
（3）画树状图如解图②，共有12个等可能的结果，恰好都是女生的结果有6个，
∴恰好都是女生的概率为．

第20题解图②

21．解：（1）1.5×2＝6（万座）．
答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．
（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，
依题意得6（5+x）2＝17.34，
解得x1＝0.7＝70%，x2＝﹣5.7（舍去）．
答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．
22．（1）解：将点P（﹣1，2）代入y＝mx，
解得m＝﹣2，
∴正比例函数解析式为y＝﹣2x；
将点P（﹣1，2）代入y＝，
解得n＝1，
∴反比例函数解析式为y＝﹣．
联立
解得或
∴点A的坐标为（1，﹣2）．
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，
∴∠DCP＝∠BAP，即∠DCP＝∠OAE．
∵AB⊥x轴，
∴∠AEO＝∠CPD＝90°，
∴△CPD∽△AEO．
（3）解：∵点A的坐标为（1，﹣2），
∴AE＝2，OE＝1，
∴＝．
∵△CPD∽△AEO，
∴∠CDP＝∠AOE，
∴sin∠CDB＝sin∠AOE＝＝＝．
23．解：（1）如解图，线段CD即为所求；

第23题解图
（2）如解图，连接BD，OC交于点E．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝6，
∵BC＝CD，
∴＝，
∴OC⊥BD于E．
∴BE＝DE，
∵BE6＝BC2﹣EC2＝OB5﹣OE2，
∴65﹣（5﹣x）2＝82﹣x2，
解得x＝，
∵BE＝DE，BO＝OA，
∴AD＝2OE＝，
∴四边形ABCD的周长为6+6+10+＝．
24．解：（1）∵△ABC是等边三角形
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°
由折叠可知DF＝DC，且点F在AC上
∴∠DFC＝∠C＝60°
∴∠DFC＝∠A
∴DF∥AB；
（2）存在，如解图①，过点D作DM⊥AB交AB于点M，

第24题解图①
∵AB＝BC＝6，BD＝4，
∴CD＝5
∴DF＝2，
∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，
∴当点F在DM上时，S△ABF最小，
∵BD＝4，DM⊥AB，
∴MD＝4，
∴S△ABF的最小值为×6×（2﹣2）=6﹣6，
∴S最大值＝×2×3﹣（6﹣6）＝6﹣3；
（3）如解图②，过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，

第24题解图②
∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE ，
∴DF＝DC＝2，∠EFD＝∠C＝60°，
∵GD⊥EF，∠EFD＝60°，
∴FG＝1，DG＝FG＝，
∵BD2＝BG2+DG2，
∴16＝3+（BF+1）2，
∴BF＝﹣1，
∴BG＝，
∵EH⊥BC，∠C＝60°，
∴CH＝，EH＝HC＝EC，
∵∠GBD＝∠EBH，∠BGD＝∠BHE＝90°，
∴△BGD∽△BHE，
∴，
∴，
∴EC＝﹣1，
∴AE＝AC﹣EC＝7﹣．
25．解：（1）∵y=mx2-2mx-3=m（x-1）2-m-3，抛物线有最低点，
∴二次函数y=mx2-2mx-3的最小值为-m-3.
（2）∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3,
∴平移后的抛物线G1：y=m（x-1-m）2-m-3,
∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，-m-3）,
∴x=m+1，y=-m-3,
∴x+y=m+1-m-3=-2.
即x+y=-2，变形得y=-x-2.
∵m＞0，m=x-1.
∴x-1＞0,
∴x＞1,
∴y与x的函数关系式为y=-x-2（x＞1）.
（3）如解图，函数H：y=-x-2（x＞1）图象为射线,
x=1时，y=-1-2=-3；x=2时，y=-2-2=-4,
∴函数H的图象恒过点B（2，-4）,
∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3,
x=1时，y=-m-3；x=2时，y=m-m-3=-3.
∴抛物线G恒过点A（2，-3）,
由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yB＜yP＜yA,
∴点P纵坐标的取值范围为-4＜yP＜-3.

第25题解图