山东省东营市经开区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷

这是一份山东省东营市经开区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷，共22页。

2022-2023学年山东省东营市经开区八年级（下）期末数学试卷
一.选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，叉是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）九年级一班有七个学习小组，每组人数如下：5，5，6，x，6，7，8，已知平均每个小组有6个，则这组数据的众数与中位数分别是（　　）
A．5，6 B．6，5 C．6，7 D．5，8
3．（3分）抛物线y＝3（x﹣1）2+2的顶点坐标为（　　）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（2，1）
4．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝36°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转70°，得到△AB′C′，则∠BAC′的度数为（　　）

A．34° B．36° C．44° D．70°
5．（3分）某商品原价200元，经连续两次降价后售价为162元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　）
A．200（1﹣x）2＝162 B．162（1﹣x）2＝200
C．200（1﹣2x）2＝162 D．162（1﹣2x）2＝200
6．（3分）如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若CD＝，则AB的长为（　　）

A． B． C． D．
7．（3分）如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝35°，∠P的度数为（　　）

A．35° B．45° C．60° D．70°
8．（3分）如图，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，若把Rt△ABC绕直线AC旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于（　　）

A．6π B．9π C．12π D．15π
9．（3分）如表中列出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的一些对应值，则一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x1的范围是（　　）
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣11
﹣5
﹣1
1
1
…
A．﹣3＜x1＜﹣2 B．﹣2＜x1＜﹣1 C．﹣1＜x1＜0 D．0＜x1＜1
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①abc＜0；②2a+b＞0；③b2﹣4ac＞0；④3a+c＜0；⑤ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根．其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二.填空题（共8小题，11～14每题3分，15～18每题4分，共28分）
11．（3分）老师对甲、乙两人的五次数学测验成绩进行统计，得出两人五次测验成绩的平均分均为90分，方差分别是S甲2＝51、S乙2＝12．则成绩比较稳定的是　 　（填“甲”、“乙”中的一个）．
12．（3分）已知A（a，1）与B（5，b）关于原点对称，则a﹣b＝　 　．
13．（3分）已知关于x的方程x2﹣3x+k＝0有一个根为1，则它的另一个根为　 　．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，矩形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度得矩形AB′C′D′，若点B的对应点B′落在边CD上，则B′C的长为　 　．

15．（4分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在弧AC上，弧AD＝2弧CD，点P是半径OC上一个动点，那么AP+PD的最小值等于　 　．

16．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C的切线CD交AB的延长线于点D，连接AC，OC，若∠ACD＝120°，AB＝4，则阴影部分的面积为 　 　（结果保留π）．

17．（4分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加　 　m．

18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，继续旋转至2023次得到正方形OA2023B2023C2023，则点B2023的坐标是 　 　．

三.解答题（共62分）
19．（8分）解方程：
（1）4x（2x﹣1）＝3（2x﹣1）；
（2）x2+2x﹣2＝0．
20．（6分）某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m名学生，并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图．

请结合以上信息解答下列问题：
（1）m＝　 　；
（2）请补全上面的条形统计图；
（3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为　 　；
（4）已知该校共有1200名学生，请你估计该校约有　 　名学生最喜爱足球活动．
21．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1并写出点C1的坐标；
（2）请画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后的△AB2C2；
（3）在△ABC旋转到△AB2C2的过程中，点C经过的路径长度为 　 　．

22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF．
（1）若∠BAC＝40°．则∠BAF的度数为 　 　；
（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．

23．（10分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
24．（10分）如图，在⊙O中，PA是直径，PC是弦，PH平分∠APB且与⊙O交于点H，过H作HB⊥PC交PC的延长线于点B．
（1）求证：HB是⊙O的切线；
（2）若HB＝4，BC＝2，求⊙O的直径．

25．（12分）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（2，0），B（﹣4，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．


2022-2023学年山东省东营市经开区八年级（下）期末数学试卷
（参考答案）
一.选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，叉是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A．本选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B．本选项中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C．本选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D．本选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
2．（3分）九年级一班有七个学习小组，每组人数如下：5，5，6，x，6，7，8，已知平均每个小组有6个，则这组数据的众数与中位数分别是（　　）
A．5，6 B．6，5 C．6，7 D．5，8
【解答】解：∵5，5，6，x，6，7，8，已知平均每个小组有6个，
∴5+5+x+6+6+7+8＝6×7＝42，
解得：x＝5，
排序为：5，5，5，6，6，7，8，
∴众数为5，中位数为6，
故选：A．
3．（3分）抛物线y＝3（x﹣1）2+2的顶点坐标为（　　）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（2，1）
【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+2是顶点式，
∴顶点坐标是（1，2）．
故选：C．
4．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝36°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转70°，得到△AB′C′，则∠BAC′的度数为（　　）

A．34° B．36° C．44° D．70°
【解答】解：∵∠CAC′＝70°，∠CAB＝36°，
∴∠BAC′＝∠CAC′﹣∠CAB＝70°﹣36°＝34°，
故选：A．
5．（3分）某商品原价200元，经连续两次降价后售价为162元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　）
A．200（1﹣x）2＝162 B．162（1﹣x）2＝200
C．200（1﹣2x）2＝162 D．162（1﹣2x）2＝200
【解答】解：由题意得：200（1﹣x）2＝162．
故选：A．
6．（3分）如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若CD＝，则AB的长为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：连接OA，
∵⊙O的弦AB垂直平分半径OC，CD＝，
∴OC＝，
∴OA＝，
∵OC⊥AB，
∴AD＝，
∵AB＝2AD，
∴AB＝．
故选：D．

7．（3分）如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝35°，∠P的度数为（　　）

A．35° B．45° C．60° D．70°
【解答】解：根据切线的性质定理得∠PAC＝90°，
∴∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°．
根据切线长定理得PA＝PB，
所以∠PBA＝∠PAB＝55°，
所以∠P＝70°．
故选：D．
8．（3分）如图，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，若把Rt△ABC绕直线AC旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于（　　）

A．6π B．9π C．12π D．15π
【解答】解：∵AB＝3，
∴底面的周长是：6π
∴圆锥的侧面积等×6π×5＝15π，故选D．
9．（3分）如表中列出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的一些对应值，则一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x1的范围是（　　）
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣11
﹣5
﹣1
1
1
…
A．﹣3＜x1＜﹣2 B．﹣2＜x1＜﹣1 C．﹣1＜x1＜0 D．0＜x1＜1
【解答】解：当x＝﹣1时，y＝﹣1，x＝1时，y＝1，函数在[﹣1，0]上y随x的增大而增大，得
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解在
﹣1＜x1＜0，
故选：C．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①abc＜0；②2a+b＞0；③b2﹣4ac＞0；④3a+c＜0；⑤ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根．其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由图象可知：a＜0，c＞0，，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
由对称轴可知：，
∴2a+b＝0，故②错误；
由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故③正确；
当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，
又∵2a+b＝0，即﹣b＝2a，
∴a+2a+c＜0，
即3a+c＜0，故④正确；
由图象可知：y＝3时，
此时ax2+bx+c＝3只有一个解x＝1，
∴方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个相同的实数根，故⑤错误，
综上可得：正确的结论有3个．
故选：C．
二.填空题（共8小题，11～14每题3分，15～18每题4分，共28分）
11．（3分）老师对甲、乙两人的五次数学测验成绩进行统计，得出两人五次测验成绩的平均分均为90分，方差分别是S甲2＝51、S乙2＝12．则成绩比较稳定的是　乙　（填“甲”、“乙”中的一个）．
【解答】解：由于S2甲＞S2乙，故乙的方差小，波动小．
故填乙．
12．（3分）已知A（a，1）与B（5，b）关于原点对称，则a﹣b＝　﹣4　．
【解答】解：∵A（a，1）与B（5，b）关于原点对称，
∴a＝﹣5，b＝﹣1，
∴a﹣b＝﹣5﹣（﹣1）＝﹣4，
故答案为：﹣4．
13．（3分）已知关于x的方程x2﹣3x+k＝0有一个根为1，则它的另一个根为　2　．
【解答】解：设x1，x2是方程的两根，
由题意知x1+x2＝1+x2＝3，
∴x2＝2．
故填空答案：2．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，矩形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度得矩形AB′C′D′，若点B的对应点B′落在边CD上，则B′C的长为　2　．

【解答】解：由旋转的性质得到AB＝AB′＝10，
在直角△AB′D中，∠D＝90°，AD＝6，AB′＝AB＝10，
所以B′D＝＝8，
所以B′C＝10﹣B′D＝2．
故答案为：2．

15．（4分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在弧AC上，弧AD＝2弧CD，点P是半径OC上一个动点，那么AP+PD的最小值等于　　．

【解答】解：如图，连接BD
根据已知得B是A关于OC的对称点
所以BD就是AP+PD的最小值
∵弧AD是弧CD的两倍，而弧AC的度数是90°的弧
∴弧AD的度数是60°
所以∠B＝30°
连接AD
∵AB是直径
∴∠ADB＝90°
而AB＝2
∴BD＝
∴AP+PD的最小值是．

16．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C的切线CD交AB的延长线于点D，连接AC，OC，若∠ACD＝120°，AB＝4，则阴影部分的面积为 　　（结果保留π）．

【解答】解：∵CD切⊙O于C，
∴∠OCD＝90°，
∵∠ACD＝120°，
∴∠OCA＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∵∠BOC＝60°，
∵AB＝4，
∴OB＝2，
∴S阴影＝＝．
故答案为：．
17．（4分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加　（4﹣4）　m．

【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA＝OB＝AB＝2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过将A点坐标（﹣2，0）代入抛物线解析式可得出：a＝﹣0.5，
所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣2代入抛物线解析式得出：
﹣2＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±2，所以水面宽度增加到4米，比原先的宽度当然是增加了（4﹣4）米，
故答案为：4﹣4．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，继续旋转至2023次得到正方形OA2023B2023C2023，则点B2023的坐标是 　（，0）　．

【解答】解：由题意可得：B1（0，），B2（﹣1，1），，B4（﹣1，﹣1），，B6（1，﹣1），，B8（1，1），…
故周期为8，
∵2023÷8＝252…7，
∴B2023＝B37，
∴．
故答案为：（，0）．
三.解答题（共62分）
19．（8分）解方程：
（1）4x（2x﹣1）＝3（2x﹣1）；
（2）x2+2x﹣2＝0．
【解答】解：（1）∵4x（2x﹣1）＝3（2x﹣1），
∴8x2﹣10x+3＝0，
∴（2x﹣1）（4x﹣3）＝0，
则2x﹣1＝0或4x﹣3＝0，
解得x＝或x＝；

（2）∵x2+2x﹣2＝0，
∴a＝1，b＝2，c＝﹣2，
则△＝22﹣4×1×（﹣2）＝12＞0，
∴x＝＝﹣1．
20．（6分）某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m名学生，并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图．

请结合以上信息解答下列问题：
（1）m＝　150　；
（2）请补全上面的条形统计图；
（3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为　36°　；
（4）已知该校共有1200名学生，请你估计该校约有　240　名学生最喜爱足球活动．
【解答】解：（1）m＝21÷14%＝150，
（2）“足球“的人数＝150×20%＝30人，
补全上面的条形统计图如图所示；
（3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为360°×＝36°；
（4）1200×20%＝240（人），
答：估计该校约有240名学生最喜爱足球活动．
故答案为：150，36°，240．

21．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1并写出点C1的坐标；
（2）请画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后的△AB2C2；
（3）在△ABC旋转到△AB2C2的过程中，点C经过的路径长度为 　π　．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标（﹣3，﹣4）；
（2）如图，△AB2C2即为所求；
（3）∵AC＝＝
∴点C经过的路径长度＝＝π．

故答案为：π．
22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF．
（1）若∠BAC＝40°．则∠BAF的度数为 　65°　；
（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．

【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝50°，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴∠EBF＝∠ABC＝50°，AB＝BF，
∴∠BAF＝∠BFA＝（180°﹣50°）＝65°，
故答案为：65°；
（2）∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴BE＝BC＝6，EF＝AC＝8，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，
∴AF＝＝4．
23．（10分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
【解答】解：（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，
则y＝（40﹣x）（20+2x）＝800+80x﹣20x﹣2x2＝﹣2x2+60x+800，
当y＝1200时，1200＝（40﹣x）（20+2x），
解得 x1＝10，x2＝20，
经检验，x1＝10，x2＝20都是原方程的解，但要尽快减少库存，
所以x＝20，
答：每件衬衫应降价20元；
（2）∵y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∴当x＝15时，y的最大值为1250，
答：当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元．
24．（10分）如图，在⊙O中，PA是直径，PC是弦，PH平分∠APB且与⊙O交于点H，过H作HB⊥PC交PC的延长线于点B．
（1）求证：HB是⊙O的切线；
（2）若HB＝4，BC＝2，求⊙O的直径．

【解答】证明：（1）如图，连接OH，
∵PH平分∠APB，
∴∠HPA＝∠HPB，
∵OP＝OH，
∴∠OHP＝∠HPA，
∴∠HPB＝∠OHP，
∴OH∥BP，
∵BP⊥BH，
∴OH⊥BH，
∴HB是⊙O的切线；
（2）如图，过点O作OE⊥PC，垂足为E，
∵OE⊥PC，OH⊥BH，BP⊥BH，
∴四边形EOHB是矩形，
∴OE＝BH＝4，OH＝BE，
∴CE＝OH﹣2，
∵OE⊥PC
∴PE＝EC＝OH﹣2＝OP﹣2，
在Rt△POE中，OP2＝PE2+OE2，
∴OP2＝（OP﹣2）2+16
∴OP＝5，
∴AP＝2OP＝10，
∴⊙O的直径是10．

25．（12分）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（2，0），B（﹣4，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）将A（2，0），B（﹣4，0）代入得：
，
解得：，
则该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+8；

（2）如图1，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，设直线BC的解析式为：
y＝kx+d，
将点B（﹣4，0）、C（0，8）代入得：
，
解得：，
故直线BC解析式为：y＝2x+8，
直线BC与抛物线对称轴 x＝﹣1的交点为Q，此时△QAC的周长最小．
解方程组得，
则点Q（﹣1，6）即为所求；

（3）如图2，过点P作PE⊥x轴于点E，
P点（x，﹣x2﹣2x+8）（﹣4＜x＜0）
∵S△BPC＝S四边形BPCO﹣S△BOC＝S四边形BPCO﹣16
若S四边形BPCO有最大值，则S△BPC就最大
∴S四边形BPCO＝S△BPE+S直角梯形PEOC
＝BE•PE+OE（PE+OC）
＝（x+4）（﹣x2﹣2x+8）+（﹣x）（﹣x2﹣2x+8+8）
＝﹣2（x+2）2+24，
当x＝﹣2时，S四边形BPCO最大值＝24，
∴S△BPC最大＝24﹣16＝8，
当x＝﹣2时，﹣x2﹣2x+8＝8，
∴点P的坐标为（﹣2，8）．