初中数学人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题教学设计

13.4《最短路径问题》教案

一、教学目标

(一)知识与技能：通过对最短路径的探素，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短的性质.

(二)过程与方法：让学生经历运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径的思想方法.

(三)情感态度与价值观：在数学学习活动中，获得成功的体验，树立自信心.

二、教学重点、难点

重点：应用所学知识解决最短路径问题.

难点：选择合理的方法解决问题.

三、教学过程

引言

    以前我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”及“造桥选址问题”.

问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦. 有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
    如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到B地. 牧马人到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？

    如图，点A，B分别是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找到一个点C，使得点C到点A、点B的距离的和最短？

    连接AB，与直线 l 相交于一点，根据“两点之间，线段最短”可知这个交点即为所求.

    现在，要解决的问题是：点A，B分别是直线 l 同侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？

    如图，作出点B关于 l 的对称点B'，利用轴对称的性质，可以得到CB'=CB. 这样，问题就转化为：当点C在 l 的什么位置时，AC与CB'的和最小？

    在连接A，B'两点的线中，线段AB'最短. 因此，线段AB'与直线 l 的交点C的位置即为所求.

你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？

证明：如图，在直线 l 上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.
由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′.
∴ AC+BC=AC+B′C=AB′
   AC′+BC′=AC′+B′C′
在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′
∴ AC+BC＜AC′+BC′
即AC+BC最短.

问题2 (造桥选址问题)如图，A和B两地在一条河的两岸，现要河上造一座桥MN. 桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.)

    我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？

    由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小. 这样问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？能否通过图形的变化(轴对称、平移等)，把右图的情况转化为左图的情况？

    如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB. 这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？

    在连接A′，B两点线中，线段A′B最短. 因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的.

    你能用所学的知识证明AM+MN+NB最短吗？

为了证明点N的位置即为所求，我们不妨在直线b上另外任意取一点N′，过N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM+MN+NB＜AM′+M′N′+N′B.

证明：如图，由平移的性质可知：
AM=A′N，AM′=A′N′，MN=M′N′
在△A′BN′中，A′B＜A′N′+N′B
∴ A′N+NB＜AM′+N′B
∴ AM+NB＜AM′+N′B
∴ AM+MN+NB＜AM′+M′N′+N′B

归纳

    在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

四、教学反思

    通过本节课进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值. 在互动交流活动中，学习从不同角度理解问题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问题. 体会在解决问题中与他人合作的重要性. 体会运用数学的思维方式观察、分析现实社会，解决日常生活中和其他学科中的问题，增强应用数学的意识.