2022-2023学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）入学数学试卷

这是一份2022-2023学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）入学数学试卷，共25页。
2022-2023学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）入学数学试卷
一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）满足条件{0，1，2}∪A＝{0，1，2，3}的所有集合A的个数是（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
2．（5分）二次三项式2x2+5xy﹣12y2因式分解正确的是（　　）
A．（2x+3y）（x﹣4y） B．（2x﹣3y）（x+4y）
C．（x+3y）（2x﹣4y） D．（x﹣3y）（2x+4y）
3．（5分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）桌子上有6只杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4只，经过n次翻转可使这6只杯子的杯口全部朝下，则n的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（x1，0）与（x2，0），其中x1＜x2，方程ax2+bx+c+a＝0的两根为m，n（m＜n），则下列判断正确的是（　　）
A．m＜n＜x1＜x2 B．x1＜x2＜m＜n C．x1＜m＜n＜x2 D．m＜x1＜x2＜n
6．（5分）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝（　　）

A．表高
B．表高
C．表距
D．表距
7．（5分）关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）如图所示，已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，BC为圆O切线，C为切点，CA＝CD，则△ABC和△CDE面积之比为（　　）

A．1：3 B．1：2 C．：2 D．：1
二、多项选择题
（多选）9．（5分）在即将开启的新高一数学课程中发现，同学们会陆续接触到集合论的创始人格奥尔格•底托尔和解析几何之父勒内•笛卡尔等著名的数学家，正是有些伟大的数学家的研究和发现，才使得我们的人类文明得以推动，请从下列图片中选出康托尔和笛卡尔（　　）
A． B．
C． D．
（多选）10．（5分）已知a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，下列结论正确的是（　　）
A．a﹣c＝﹣2 B．a﹣d＝8
C．2a+2b﹣3c＝9 D．2a+2b﹣3d＝21
（多选）11．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|m＜x＜n}，其中n＞m＞0，则以下选项正确的有（　　）
A．a＜0
B．b＞0
C．cx2+bx+a＞0的解集为
D．cx2+bx+a＞0的解集为或
（多选）12．（5分）已知函数f（x），若方程f2（x）+bf（x）0有六个相异实根，则实数b可能的取值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C． D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）甲工厂将生产的Ⅰ号、Ⅱ号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中Ⅰ号、Ⅱ号产品的重量如下：
包裹编号
Ⅰ号产品重量/吨
Ⅱ号产品重量/吨
包裹的重量/吨
A
5
1
6
B
3
2
5
C
2
3
5
D
4
3
7
E
3
5
8
甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案 　 　（写出要装运包裹的编号）；
14．（5分）已知ai≠0（i＝1，2，⋯，2022）满足，使直线y＝aix+i（i＝1，2，⋯，2022）的图像经过一、二、四象限的ai的概率是 　 　．
15．（5分）定义一种新运算：对于任意的非零实数．若，则x的值为 　 　．
16．（5分）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数的图像上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为时，的值为 　 　；点F的坐标为 　 　．

四、解答题
17．（10分）已知a＞0，且，求下列代数式的值：
（1）；
（2）．（注：立方和公式a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2））
18．（12分）已知集合A＝{x|﹣x2+2mx+4﹣m2≥0，m∈R}，B＝{x|2x2﹣5x﹣7＜0}．
（1）若A∪B＝B，求实数m的取值范围；
（2）若，求实数m的取值范围；
（3）若B⊆∁RA，求实数m的取值范围．
19．（12分）某店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件，售价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润，现将商品售价调整为60+x（元/件）（其中x∈Z，x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降），每月商品销量为y（件），月利润为w（元）．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）当销售价格是多少时才能使月利润最大？求最大月利润？
20．（12分）已知函数．
（1）若g（x）＝f（x）﹣2，判断g（x）的奇偶性并加以证明；
（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．
21．（12分）（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG≌△BCG；
（2）探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD＝8，AB＝6，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于点G，延长BF交CD边于点H，且FH＝CH，求AE的长；
（3）拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB＝6，E为CD边上的三等分点，∠D＝60°，将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长．

22．（12分）如图①，抛物线y＝a（x+3）（x﹣4）交x轴于A、B，交y轴于点C，点D为抛物线第三象限上一点，且∠BOD＝135°，．

（1）求a的值；
（2）如图②，点P为第一象限抛物线上一点，连接PD，交y轴于点E，过点P作PF⊥y轴，垂足为F，求的值；
（3）在（2）的条件下，连接PB，如图③，若PE+PB＝DE，求点P的坐标．

2022-2023学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）满足条件{0，1，2}∪A＝{0，1，2，3}的所有集合A的个数是（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【分析】根据并集的定义A∪{0，1，2}＝{0，1，2，3}，可知集合A中必含有元素3，利用此信息进行一一列举．
【解答】解：∵A∪{0，1，2}＝{0，1，2，3}，
∴3∈A，
所以A可取：
{3}、{0，3}、{1，3}、{2，3}、{0，1，3}、{0，2，3}、{1，2，3}、{0，1，2，3}，一共8个，
故选：D．
【点评】此题主要考查子集的性质，以及并集的定义，是一道基础题．
2．（5分）二次三项式2x2+5xy﹣12y2因式分解正确的是（　　）
A．（2x+3y）（x﹣4y） B．（2x﹣3y）（x+4y）
C．（x+3y）（2x﹣4y） D．（x﹣3y）（2x+4y）
【分析】利用十字相乘法分解因式即可求出结果．
【解答】解：由十字相乘法得到：
2x2+5xy﹣12y2＝（2x﹣3y）（x+4y）．
故选：B．
【点评】本题考查因式分解、十字相乘法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（5分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由2﹣x≥0得x≤2，
由|x﹣1|≤1得﹣1≤x﹣1≤1，
得0≤x≤2．
则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及不等式的性质是解决本题的关键．
4．（5分）桌子上有6只杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4只，经过n次翻转可使这6只杯子的杯口全部朝下，则n的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由条件可得杯口朝上的茶杯需经过奇数次翻转才可变为杯口朝下，根据所有杯子的翻转的次数和为4n，通过分析确定结果．
【解答】解：设6只杯子的编号依次为1，2，3，4，5，6，
设n次翻转后，杯子1，2，3，4，5，6分别翻转a1，a2，a3，a4，a5，a6次，
由已知可得a1+a2+a3+a4+a5+a6＝4n，
因为n次翻转后这6只杯子的杯口有全部朝上变为全部朝下，
所以a1，a2，a3，a4，a5，a6均为奇数，且a1，a2，a3，a4，a5，a6都小于等于n，
当n＝2时，显然无法满足条件；
当n＝2时，因为a1，a2，a3，a4，a5，a6都小于等于2，a1，a2，a3，a4，a5，a6均为奇数，故a1，a2，a3，a4，a5，a6都为1，与a1+a2+a3+a4+a5+a6＝8矛盾，故n≠2，
当n＝3时，取a1＝3，a2＝3，a3＝3，a4＝1，a5＝1，a6＝1满足条件，
对应的过程可以为：第一次翻转第1，2，3，4只杯子，第二次翻转1，2，3，5只杯子，第三次翻转第1，2，3，6只杯子，
此时6只杯子的杯口全部朝下，故n的最小值为3，
故选：B．
【点评】本题考查了合情推理的实际应用，属于中档题．
5．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（x1，0）与（x2，0），其中x1＜x2，方程ax2+bx+c+a＝0的两根为m，n（m＜n），则下列判断正确的是（　　）
A．m＜n＜x1＜x2 B．x1＜x2＜m＜n C．x1＜m＜n＜x2 D．m＜x1＜x2＜n
【分析】方程ax2+bx+c+a＝0的两根为m，n可转化为y＝ax2+bx+c与y＝﹣a的交点横坐标为m，n且m＜n，然后结合函数的图象可求．
【解答】解：方程ax2+bx+c+a＝0的两根为m，n可转化为y＝ax2+bx+c与y＝﹣a的交点横坐标为m，n且m＜n，
当a＞0时，结合函数图象可知，x1＜m＜n＜x2，

当a＜0时，结合函数图象可知，x1＜m＜n＜x2，

故选：C．
【点评】本题主要考查了二次方程与二次函数关系的转化，体现了数形结合思想的应用．
6．（5分）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝（　　）

A．表高
B．表高
C．表距
D．表距
【分析】根据相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系即可得出．
【解答】解：，，故，即，
解得AE，AH＝AE+EH，
故ABDE表高．
另解：如图所示，连接FD并延长交AB于点M，
，
ABABAB＝BM，
∴AB＝BM+MA表高．
故选：A．


【点评】本题考查了相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．（5分）关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【分析】设f（x）＝ax2+（a+2）x+9a，然后利用二次函数的性质以及方程与根的关系分类建立不等式组，进而可以求解．
【解答】解：设f（x）＝ax2+（a+2）x+9a，
由题意可得或，
即或，
解得，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，涉及到二次函数的性质，属于基础题．
8．（5分）如图所示，已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，BC为圆O切线，C为切点，CA＝CD，则△ABC和△CDE面积之比为（　　）

A．1：3 B．1：2 C．：2 D．：1
【分析】由题意首先作出辅助线，然后结合几何关系证得三角形相似，最后利用相似三角形的性质即可求得△ABC和△CDE面积之比．
【解答】解：如图，连接OC，过点B作BM⊥AE于M，

∵BC是⊙O的切线，OC为半径，
∴OC⊥BC，即∠DCE＝90°＝∠OCD+∠BCD，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DCE＝90°，
∴∠DCA＝180°﹣90°＝90°＝∠BCD+∠BCA，
∴∠OCD＝∠BCA，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠ODC＝∠BCA，
∵∠ABE＝90°，
∴∠A+∠E＝90°＝∠E+∠ODC，
∴∠A＝∠ODC，
∴∠A＝∠BCA，
∴BA＝BC，
又∵BM⊥AC，
∴，
∵∠A＝∠CDE，
∠AMB＝∠DCE＝90°，
∴△ABM∽△DEC，
∴，
∴，
故选：B．

【点评】本题主要考查三角形相似及其应用，属于基础题．
二、多项选择题
（多选）9．（5分）在即将开启的新高一数学课程中发现，同学们会陆续接触到集合论的创始人格奥尔格•底托尔和解析几何之父勒内•笛卡尔等著名的数学家，正是有些伟大的数学家的研究和发现，才使得我们的人类文明得以推动，请从下列图片中选出康托尔和笛卡尔（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据图片，可判断答案．
【解答】解：根据图片可知B中人是康托尔，C中是笛卡尔，
故选：BC．
【点评】本题考查了简单的合情推理，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，下列结论正确的是（　　）
A．a﹣c＝﹣2 B．a﹣d＝8
C．2a+2b﹣3c＝9 D．2a+2b﹣3d＝21
【分析】由a﹣c＝（a﹣2b）+（2b﹣c）可判断A；由a﹣d＝（a﹣c）+（c﹣d）可判断B；由2a+2b﹣3c＝2（a﹣2b）+3（2b﹣c）可判断C；由2a+2b﹣3d＝2（a﹣2b）+3（2b﹣c）+3（c﹣d）可判断D．
【解答】解：因为a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，
所以a﹣c＝（a﹣2b）+（2b﹣c）＝3﹣5＝﹣2，故A正确；
a﹣d＝（a﹣c）+（c﹣d）＝﹣2+10＝8，故B正确；
2a+2b﹣3c＝2（a﹣2b）+3（2b﹣c）＝2×3+3×（﹣5）＝﹣9，故C错误；
2a+2b﹣3d＝2（a﹣2b）+3（2b﹣c）+3（c﹣d）＝2×3+3×（﹣5）+3×10＝21．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查整式的加减，考查运算求解能力，属于基础题．
（多选）11．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|m＜x＜n}，其中n＞m＞0，则以下选项正确的有（　　）
A．a＜0
B．b＞0
C．cx2+bx+a＞0的解集为
D．cx2+bx+a＞0的解集为或
【分析】由已知结合二次不等式与二次方程及二次函数的关系检验各选项即可判断．
【解答】解：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|m＜x＜n}，
所以a＜0，x＝m，x＝n是方程ax2+bx+c＝0的根，
因为n＞m＞0，
所以m+n0，mn0，
所以b＞0，c＜0，A正确，B正确，
由cx2+bx+a＞0得x2x0，
又，，
所以x，x是方程x2x0的根，且，
故x2x0的解集为（）．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了二次不等式与二次方程关系的相互转化，属于中档题．
（多选）12．（5分）已知函数f（x），若方程f2（x）+bf（x）0有六个相异实根，则实数b可能的取值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C． D．
【分析】作出函数f（x）的图象，要使方程f2（x）+bf（x）0有六个相异实根，令t＝f（x），则t2+bt0在t∈（0，1）上有两个相异的实数根，列出不等式组，即可求出答案．
【解答】解：作出函数f（x）的图象如图所示：

令t＝f（x），要使方程f2（x）+bf（x）0有六个相异实根，
则t2+bt0在t∈（0，1）上有两个相异的实数根，
∴，解得b，
∵﹣2，故A错误；
∵1，故B正确；
∵0，
∴，故C错误；
∵（）0，
（））0，故D正确；
故选：BD．

【点评】本题考查分段函数的性质、二次函数的图象与性质及函数的零点与方程根的关系，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）甲工厂将生产的Ⅰ号、Ⅱ号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中Ⅰ号、Ⅱ号产品的重量如下：
包裹编号
Ⅰ号产品重量/吨
Ⅱ号产品重量/吨
包裹的重量/吨
A
5
1
6
B
3
2
5
C
2
3
5
D
4
3
7
E
3
5
8
甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案 　A，B，C（答案不唯一）　（写出要装运包裹的编号）；
【分析】由已知数据确定如何安排装运包裹的方式，满足已知要求．
【解答】解：选择装运包裹A，B，C，则可以运送I号产品10吨，共运送产品16吨，满足所需要求．
故答案为：A，B，C．（答案不唯一）．
【点评】本题考查了表格数据的实际应用，属于基础题．
14．（5分）已知ai≠0（i＝1，2，⋯，2022）满足，使直线y＝aix+i（i＝1，2，⋯，2022）的图像经过一、二、四象限的ai的概率是 　　．
【分析】先求出ai中有1999个正数，23个负数，再利用古典概型的概率计算公式求解．
【解答】解：1或﹣1，设中1有x个，﹣1有y个，
则，∴，
∴ai中有1999个正数，23个负数，
∵ai＜0时，直线y＝aix+i（i＝1，2，⋯，2022）的图像经过一、二、四象限，
∴直线y＝aix+i（i＝1，2，⋯，2022）的图像经过一、二、四象限的概率为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查古典概型的概率计算公式，属于中档题．
15．（5分）定义一种新运算：对于任意的非零实数．若，则x的值为 　　．
【分析】根据新定义得到新方程，进而求解结论．
【解答】解：∵对于任意的非零实数，
∴，即，
整理可得：x+1+x＝（2x+1）（x+1），解得x，
经检验x符合题意，
故答案为：．
【点评】本题考查新定义的应用，考查计算能力，属于基础题．
16．（5分）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数的图像上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为时，的值为 　　；点F的坐标为 　（，0）　．

【分析】连接OD，作DG⊥x轴，设点B（b，），D（a，），根据矩形的面积得出三角形BOD的面积，将三角形BOD的面积转化为梯形BEGD的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形BOD中，由勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步求得结果．
【解答】解：如图，

作DG作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I，
设点B（b，），D（a，），
由对称性，可得△BOD≌△BOA≌⊃OBC，∴∠OBC＝∠BOD，BC＝OD，
∴OI＝BJ，DI＝CI，∴，
∵∠CID＝∠BIO，∴△CDI∽△BOI，
∴∠CDI＝∠BOI，∴CD∥OB，∴S△BOD＝S△AOBSAOCB，
∵S△BOE＝S△DOG|k|＝3，SBOGD＝S△BOD+S△DOG＝SBEGD+SBOE，
∴SBEGD＝S△BOD，∴（）•（a﹣b），
∴2a2﹣3ab﹣2b2＝0，
∴a＝2b，ab（舍去），∴D（2b，），
在Rt△BDO中，由勾股定理得OD2+BD2＝OB2，
∴[（2b）2+（）2]+[（2b﹣b）2+（）2]＝b2+（）2，
解得b，
∴B（，2，D（2，），
∴直线OB的方程为y＝2x，
直线DF的方程为y＝2x﹣3，
当y＝0时，2x﹣30，x
∴F（，0），
∵OE，OF，
∴EF＝OF﹣OE，
∴．
故答案为：，（，0）．

【点评】本题考查了矩形性质，轴对称的性质，反比例函数的性质，勾股定理，属中档题．
四、解答题
17．（10分）已知a＞0，且，求下列代数式的值：
（1）；
（2）．（注：立方和公式a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2））
【分析】（1）给分子分母同时乘以ax+a﹣x，化简后代值求解即可；
（2）先对分子分解因式，化简后代值求解．
【解答】解：（1）因为a＞0，且，
所以a﹣2x，
所以1．
（2）因为a＞0，且，a﹣2x，
所以a2x﹣1+a﹣2x1﹣11＝21．
【点评】本题主要考查有理数指数幂的运算，考查运算求解能力，属于基础题．
18．（12分）已知集合A＝{x|﹣x2+2mx+4﹣m2≥0，m∈R}，B＝{x|2x2﹣5x﹣7＜0}．
（1）若A∪B＝B，求实数m的取值范围；
（2）若，求实数m的取值范围；
（3）若B⊆∁RA，求实数m的取值范围．
【分析】（1）先求出A，B，再结合A⊆B，即可求解．
（2）根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
（3）根据已知条件，结合补集的定义，以及集合的包含关系，即可求解．
【解答】解：（1）A＝{x|﹣x2+2mx+4﹣m2≥0，m∈R}＝{x|[x﹣（m﹣2）][x﹣（m+2）]≤0，m∈R}＝{x|m﹣2≤x≤m+2}，
B，
∵A∪B＝B，
∴A⊆B，
∴，解得1＜m，
故实数的取值范围为（1，）．
（2）由（1）知，A＝{x|m﹣2≤x≤m+2}，B＝{x|﹣1＜x}，
∵，
∴，解得m＝2，
故实数m的取值范围是{2}．
（3）由题意知，∁RA＝{x|x＜m﹣2或x＞m+2}，B＝{x|}，
∵B⊆∁RA，
∴m﹣2或m+2≤﹣1，解得m或m≤﹣3，
故实数m的取值范围为（﹣∞，3]∪[）．
【点评】本题主要考查集合的包含关系，考查转化能力，属于基础题．
19．（12分）某店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件，售价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润，现将商品售价调整为60+x（元/件）（其中x∈Z，x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降），每月商品销量为y（件），月利润为w（元）．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）当销售价格是多少时才能使月利润最大？求最大月利润？
【分析】（1）根据已知条件，结合商品调价的金额与销售量的关系，即可直接求解．
（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，分类讨论，求出分段函数的最大值，通过比较大小，即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得，y．
（2）设月利润为W，
当0≤x≤30时，
则W＝（20+x）（300﹣10x）＝﹣10x2+100x+6000＝﹣10（x﹣5）2+6250，
当x＝5时，W取得最大值6250．
当﹣20≤x≤0时，
y＝（20+x）（300﹣20x）＝﹣20x2﹣100x+6000，
当x＝﹣2或﹣3时，W取得最大值6120，
∵6125＞6120，
∴当销售价格是65元/件时，才能使月利润最大，求最大月利润为6250元．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查二次函数的性质，属于中档题．
20．（12分）已知函数．
（1）若g（x）＝f（x）﹣2，判断g（x）的奇偶性并加以证明；
（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）由题意得g（x）的定义域为{x|x≠0}，g（x）＝x，根据奇偶性的定义即可证明g（x）为奇函数；
（2）题意转化为x2+2x+a＞0在[1，+∞）上恒成立，即a＞﹣（x2+2x）在[1，+∞）上恒成立，令y＝﹣（x2+2x），根据二次函数的图象与性质，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵函数，
∴g（x）＝x，且定义域为{x|x≠0}，
g（x）为奇函数，证明如下：
g（﹣x）＝﹣（x）＝﹣g（x），
∴g（x）是奇函数；
（2）对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，转化为x2+2x+a＞0在[1，+∞）上恒成立，即a＞﹣（x2+2x）在[1，+∞）上恒成立，令y＝﹣（x2+2x），即a＞ymax，
∵y＝﹣（x2+2x），二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x＝﹣1，
∴y＝﹣（x2+2x）在[1，+∞）上单调递减，
∴当x＝1时，ymax＝﹣3，
∴a＞﹣3，
故实数a的取值范围（﹣3，+∞）．
【点评】本题考查函数的单调性、奇偶性和最值，考查函数恒成立问题，考查转化思想和逻辑推理能力，属于中档题．
21．（12分）（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG≌△BCG；
（2）探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD＝8，AB＝6，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于点G，延长BF交CD边于点H，且FH＝CH，求AE的长；
（3）拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB＝6，E为CD边上的三等分点，∠D＝60°，将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长．

【分析】（1）根据将△AEB沿BE翻折到△BEF处，四边形ABCD是正方形，得AB＝BF，∠BFE＝∠A＝90°，∴∠BG＝90°＝∠C，可得结论；
（2）延长BH，AD交于Q，设FH＝HC＝x，可得82+x2＝（6+x）2，可得x，由△BFG∽△BCH，，可得FG，EQ∥GB，DQ∥CB，可求DQ，进而可求AE；
（3）分两种情况，①当DEDC＝2时，延长FE交AD于Q，过Q作QH⊥CD于H，设DQ＝x，QE＝y，则AQ＝6﹣x，CP＝2x，可得，进而可得（2x）2+（x）2＝y2，可求x，可求CP；②当CEDC＝2时，延长FE交AD于Q′，过Q′作QH′⊥CD于H′，同理可得x′CP．
【解答】（1）证明：∵将△AEB沿BE翻折到△BEF处，四边形ABCD是正方形．
∴AB＝BF，∠BFE＝∠A＝90°，∴∠BG＝90°＝∠C，
∵AB＝BC＝BF，BG＝BG，
∴Rt△BFG≌Rt△BCG；
（2）解：延长BH，AD交于Q，如图，

设FH＝HC＝x，
在Rt△BCH中，BC2+CH2＝BH2，
∴82+x2＝（6+x）2，解得x，
∴DH＝DC﹣HC，
∴∠BFG＝∠BCH＝90°，∠HBC＝∠FBG，
∴△BFG∽△BCH，
∴，即，
∴BG，FG，
∵EQ∥GB，DQ∥CB，
∴△EFQ∽△GFB，△DHQ∽△CHB，
∴，即，∴DQ，
设AE＝EF＝m，则DE＝8﹣m，
∴EQ＝DE+DQ＝8﹣mm，
∵△EFQ∽△GFB，∴，即，
解得m，
∴AE的长为；
（3）①当DEDC＝2时，延长FE交AD于Q，过Q作QH⊥CD于H，如图，

设DQ＝x，QE＝y，则AQ＝6﹣x，
∵CP∥DQ，∴△CPE∽△QDE，
∴2，CP＝2x，
∵将△ADE沿AE翻折得到△AFE，∴EF＝DE＝2，F＝AD＝6，∠QAE＝∠FAE，∴AE是△QAF的角平分线，
∴，即，∵∠D＝60°，
∴DHDQx，HE＝DE﹣DH＝2x，HQDHx，
在Rt△HQE中，HE2+HQ2＝EQ2，∴（2x）2+（x）2＝y2，
解得x，∴CP；
②当CEDC＝2时，延长FE交AD于Q′，过Q′作QH′⊥CD于H′，如图，

设DQ′＝x，QE＝y，则AQ′＝6+x′，
同理∠Q′AE＝∠EAF，∴，即，
由H′Q′2+H′Q2＝Q′E2，∴（x′+4）2+（x′）2＝y′2，
解得x′，∴CPx′，
综上所述：CP的长为或．
【点评】本题考查四边形的综合应用，考查全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，三角形角平分线的性质，勾股定理的应用，属中档题．
22．（12分）如图①，抛物线y＝a（x+3）（x﹣4）交x轴于A、B，交y轴于点C，点D为抛物线第三象限上一点，且∠BOD＝135°，．

（1）求a的值；
（2）如图②，点P为第一象限抛物线上一点，连接PD，交y轴于点E，过点P作PF⊥y轴，垂足为F，求的值；
（3）在（2）的条件下，连接PB，如图③，若PE+PB＝DE，求点P的坐标．
【分析】（1）作DH⊥x轴于H，解直角三角形DOH，求得OH＝DH＝4，从而得出点D的坐标，将点D的坐标代入抛物线的方程可求结果；
（2）先求出点C的坐标为（0，6），设点P的坐标为（m，m2m+6），坐面求得PD的方程，进而求得点E，从而表示出CE和PF，进而求得结果；
（3）在DE上截取EM＝EP，作PH⊥OB于H，作MQ∥y轴，作DQ⊥MQ于Q，点P的坐标为（m，m2m+6），从而表示出点E的坐标，进而得出DQ＝BH，PB＝DM，从而得出Rt△BPN≌Rt△DMQ，进而得出关于m的方程，求解即可．
【解答】解：（1）如图

作DH⊥x轴于H，
在Rt△DOH中，∠DOH＝180°﹣∠BOD＝45°，
∴DH＝OD•sin45°＝44，
OH＝4•cos45°＝44，
∵点D在第三象限，∴D的坐标为（﹣4，﹣4），
∴﹣4＝a（﹣4+a）×（﹣4﹣4），解得a；
（2）由（1）可知，y（x+3）（x﹣4）x2x+6，
∴点C的坐标为（0，6），
设点P的坐标为（m，m2m+6），直线PD的方程为y＝kx+b，
∴，∴，
∴y（m﹣5）x﹣2（m﹣3），
∴E（0，﹣2（m﹣3）），∴CE＝6+2（m﹣3）＝2m，
又PF⊥y轴，∴PF＝m，∴2；
（3）如图，

在DE上截取EM＝EP，作PH⊥OB于H，作MQ∥y轴，作DQ⊥MQ于Q，
设点P的坐标为（m，m2m+6），
由（2）知E（0，6﹣2m），
∵2•（6﹣2m）﹣（m2m+6）m2m+6，
∴M（﹣m，m2m+6），∵D（﹣4，﹣4），
∴DQ＝﹣m﹣（﹣4）＝4﹣m，
MQm2m+6﹣（﹣4）m2m+10，
∵BH＝4﹣m，∴DQ＝BH，
∵DE＝PE+PB，DE＝DM+EM，EM＝PE，
∴DM＝PB，∴点M的横坐标为﹣m，
在Rt△BPN和Rt△DMQ中，∠PHB＝∠MQD＝90°，
∵DM＝BP，DQ＝BN，
∴Rt△BPN≌Rt△DMQ，
∴MQ＝PH，
m2m+10m2m+6，
∴m2﹣5m+4＝0，∴m＝1或m＝﹣4（舍去），
∴点P的坐标（1，6）．

【点评】本题以二次函数为背景，求二次函数，一次函数的解析式，考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，属中档题．
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