初中湘教版2.5.2矩形的判定综合训练题

[矩形的判定]

一、选择题

1.下列说法中能判定四边形是矩形的是 (　　)

A.有两个角为直角的四边形

B.对角线互相平分的四边形

C.对角线相等的四边形

D.四个角都相等的四边形

2.(2020十堰)在平行四边形ABCD中,有下列条件:①AB=BC;②AC=BD;③AC⊥BD;④AC平分∠BAD.其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是              (　　)

A.① B.② C.③ D.④

3.数学活动课上,老师要求同学们判断一个四边形的门框是不是矩形,下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案,其中正确的是              (　　)

A.测量其中三个角是否都为直角

B.测量对角线是否相等

C.测量两组对边是否分别相等

D.测量对角线是否互相平分

二、填空题

4.如图,在平行四边形ABCD中,添加一个条件:　　  　,使平行四边形ABCD是矩形. 

5.如图,在四边形ABCD 中,对角线 AC⊥BD,垂足为O,E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD 的中点,则四边形EFGH 为　　　　形. 

6.为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直,工人师傅用一根绳子比较其对角线AC,BD的长度.若二者长度相等,则该书架的侧边与上、下边都垂直,请你说出其中的数学原理:　           . 

7.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=4 cm,AD>AB,CD=5 cm,点P从点C出发沿边CB以1 cm/s的速度向点B运动,　　　　s后四边形ABPD是矩形. 

三、解答题

8.(2020聊城)如图,在▱ABCD中,E为BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接BF,AC.若AD=AF,求证:四边形ABFC是矩形.

图   

9.(2020遂宁)如图,在△ABC中,AB=AC,D,E分别是线段BC,AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.

(1)求证:△BDE≌△FAE;

(2)求证:四边形ADCF为矩形.

图 

10.(2020娄底娄星区一模)如图,将▱ABCD的边AB延长到点E,使BE=AB,连接DE,交BC边于点F.

(1)求证:△BEF≌△CDF;

(2)连接BD,CE,请探究:当∠BFD与∠A之间满足怎样的数量关系时,能使四边形BECD成为矩形?为什么?

11.已知△ABC的三边AB=3,AC=4,BC=5,如图,P为BC边上一动点,PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点N.

(1)求证:四边形AMPN是矩形.

(2)在点P的运动过程中,MN的长度是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.

图   

 [分类讨论思想] 如图,以△ABC的三边为边,在BC的同一侧分别作等边三角形ABD,等边三角形BCE,等边三角形ACF.请回答下面的问题:

(1)当△ABC满足什么条件时,以A,D,E,F为顶点的四边形不存在?

(2)四边形ADEF是什么四边形?

(3)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形?

答案

1.D

2.B

3.A

4.答案不唯一,如AC=BD

5. 矩

 ∵E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD 的中点,∴HE∥AC, GF∥AC,∴HE∥GF.同理,HG∥EF,∴四边形EFGH是平行四边形.由AC⊥BD,易证∠EHG=90°,∴四边形EFGH是矩形.

6.对角线相等的平行四边形是矩形

7.3

8.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB∥DF,AD=BC,

∴∠ABE=∠FCE.

∵E为BC的中点,∴BE=CE.

又∵∠AEB=∠FEC,

∴△ABE≌△FCE(ASA),

∴AE=FE.

又∵BE=CE,∴四边形ABFC是平行四边形.

∵AD=BC,AD=AF,∴BC=AF,

∴▱ABFC是矩形.

9.证明:(1)∵AF∥BC,∴∠DBE=∠AFE.

∵E是线段AD的中点,∴DE=AE.

又∵∠DEB=∠AEF,

∴△BDE≌△FAE(AAS).

(2)∵△BDE≌△FAE,∴AF=BD.

∵D是线段BC的中点,

∴BD=CD,∴AF=CD.

又∵AF∥CD,

∴四边形ADCF是平行四边形.

∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,

∴∠ADC=90°,

∴▱ADCF为矩形.

10.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB=CD,AB∥CD.

∵BE=AB,∴BE=CD.

∵AB∥CD,

∴∠BEF=∠CDF,∠EBF=∠DCF.

在△BEF与△CDF中,

∴△BEF≌△CDF(ASA).

(2)当∠BFD=2∠A时,四边形BECD为矩形.

理由:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB∥CD,AB=CD,∠A=∠DCB.

∵AB=BE,∴CD=BE.

又∵CD∥BE,

∴四边形BECD是平行四边形,

∴BF=CF,EF=DF.

∵∠BFD=2∠A,∴∠BFD=2∠DCF.

又∵∠BFD=∠DCF+∠FDC,

∴∠DCF=∠FDC,

∴DF=CF,∴DE=BC,

∴四边形BECD是矩形.

11.解:(1)证明:∵AB2+AC2=32+42=52=BC2,

∴∠BAC=90°.

∵PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点N,

∴∠AMP=∠ANP=90°,

∴∠BAC=∠AMP=∠ANP=90°,

∴四边形AMPN是矩形.

(2)存在.理由如下:连接AP,如图所示.

∵四边形AMPN是矩形,∴MN=AP.

当AP⊥BC时,AP最短,即MN的长度取得最小值,此时,S△ABC=AB·AC=AP·BC,

即×3×4=×AP×5,解得AP=,

∴MN的长度的最小值为.

[素养提升]

解:(1)当∠BAC=60°时,点D,A,F在同一条直线上,此时以A,D,E,F为顶点的四边形不存在.

(2)由题意,易得AC=FC,∠BCA=∠ECF,BC=EC,所以△BAC≌△EFC,得EF=AB=AD.同理得△BDE≌△BAC,得DE=AC=AF,所以四边形ADEF是平行四边形.

(3)当∠DAF=90°时,▱ADEF是矩形,此时∠BAC=360°-∠DAF-∠BAD-∠CAF=360°-90°-60°-60°=150°,所以当△ABC中的∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形.