初中数学湘教版八年级下册2.4 三角形的中位线练习题

[三角形的中位线]

一、选择题

1.(2020广东)已知△ABC的周长为16,D,E,F分别为△ABC三条边的中点,则△DEF的周长为 (　　)

A.8 B.2 C.16 D.4

2.(2020宜宾)如图,M,N分别是△ABC的边AB,AC的中点.若∠A=65°,∠ANM=45°,则∠B的度数为              (　　)

A.20° B.45° C.65° D.70°

3.(2020长沙雨花区模拟)如图,在四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点.若EF=6,BC=13,CD=5,则S△DBC的值为(　　)

A.60 B.30 C.48 D.65

4.如图,A,B为定点,定直线l∥AB,P是直线l上一动点,M,N分别为PA,PB的中点.有下列各值:①线段MN的长;②△PAB的周长;③△PMN的面积;④直线MN,AB之间的距离;⑤∠APB的大小.其中不会随点P的移动而变化的是              (　　)

A.②③ B.②⑤ C.①③④ D.④⑤

二、填空题

5.如图,要测量池塘两岸相对的A,B两点间的距离,可以在池塘外选一点C,连接AC,BC,分别取AC,BC的中点D,E,测得DE=50 m,则AB的长是　　　　m. 

6.如图,在△ABC中,AB=10,BC=6,D为AB上一点,BC=BD,BE⊥CD于点E,F为AC的中点,连接EF,则EF的长为　　　　. 

7.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点.若∠PEF=30°,则∠EPF的度数是　　　　. 

8.如图,在△ABC中,BC=1,P1,M1分别是AB,AC边的中点,P2,M2分别是AP1,AM1的中点,P3,M3分别是AP2,AM2的中点……按这样的规律下去,PnMn的长为　　　　(n为正整数). 

三、解答题

9.如图,D,E,F分别是△ABC三边的中点,AH⊥BC于点H,连接DF,EH.

求证:(1)∠BDF=∠BAC;

(2)DF=EH.

10.如图,已知BD⊥AG,CE⊥AF,垂足分别为D,E,BD,CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线.若BF=2,ED=3,GC=4.

(1)求FG的长;

(2)求△ABC的周长.

11.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,M,N,E,F分别是BD,AC,BC,MN的中点,连接ME,NE,EF.

(1)猜想△MEN的形状,并证明你的猜想;

(2)EF与MN有何位置关系?写出你的结论,并说明理由.

 [阅读理解] 如图①,在四边形ABCD中,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF并延长,分别与BA,CD的延长线交于点M,N,则∠BME=∠CNE(不需证明);

分析:如图①,连接BD,取BD的中点H,连接HE,HF,根据三角形的中位线定理,证明HE=HF,从而∠1=∠2,再利用平行线的性质,可证得∠BME=∠CNE;

【问题拓展】如图②,在△ABC中,AC>AB,点D在AC边上,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF并延长,与BA的延长线交于点G.若∠EFC=60°,试判断△AGF的形状,并说明理由.

答案

1. A　由三角形的中位线定理可得DE+DF+EF=(AB+BC+AC)=8.因此本题选A.

2. D　由M,N分别是△ABC的边AB,AC的中点,可得MN∥BC,所以∠C=∠ANM=45°,所以∠B=180°-∠A-∠C=180°-65°-45°=70°.

3. B　∵E,F分别是AB,AD的中点,

∴BD=2EF=12.

∵CD2+BD2=25+144=169,BC2=169,

∴CD2+BD2=BC2,∴∠BDC=90°,

∴S△DBC=BD·CD=×12×5=30.

故选B.

4. C　∵A,B为定点,M,N分别为PA,PB的中点,∴MN是△PAB的中位线,

∴MN=AB,

即线段MN的长度不变,故①正确;

PA,PB的长度随点P的移动而变化,

所以△PAB的周长会随点P的移动而变化,故②错误;

∵MN的长度不变,点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半,

∴△PMN的面积不变,故③正确;

直线MN,AB之间的距离不随点P的移动而变化,故④正确;

∠APB的大小随点P的移动而变化,故⑤错误.

综上所述,不会随点P的移动而变化的是①③④.

故选C.

5. 100

 ∵D,E分别是AC,BC的中点,

∴DE是△ABC的中位线,

∴AB=2DE=2×50=100(m).

6. 2

 ∵BD=BC=6,

∴AD=AB-BD=4.

∵BC=BD,BE⊥CD,∴CE=ED.

又CF=FA,∴EF=AD=2.

故答案为2.

7.120°　8.

9.证明:(1)∵D,F分别是AB,BC边的中点,

∴DF是△ABC的中位线,

∴DF∥AC,DF=AC,

∴∠BDF=∠BAC.

(2)∵AH⊥BC,E是AC的中点,

∴EH=AC,∴DF=EH.

10.解:(1)∵BD⊥AG,

∴∠ADB=∠GDB=90°.

∵BD是∠ABC的平分线,

∴∠ABD=∠GBD.

又∵BD=BD,

∴△ABD≌△GBD,∴AD=GD.

同理可得AE=FE,

∴ED是△AFG的中位线,

∴FG=2ED=6.

(2)由(1)知△ABD≌△GBD,

∴AB=GB.同理AC=FC.

∵BF=2,FG=6,GC=4,

∴AB=GB=BF+FG=8,AC=FC=GC+FG=10,

∴△ABC的周长=8+10+2+6+4=30.

11.解:(1)△MEN是等腰三角形.证明如下:

∵N,E分别是AC,BC的中点,

∴NE是△ABC的中位线,

∴NE=AB.同理ME=CD.

又∵AB=CD,∴NE=ME,

∴△MEN是等腰三角形.

(2)EF⊥MN.理由如下:

由(1)知△MEN是等腰三角形,NE=ME.

∵F是MN的中点,∴EF⊥MN.

[素养提升]

解:△AGF是等边三角形.理由:如图,连接BD,取BD的中点H,连接HF,HE.

∵F是AD的中点,

∴HF是△ABD的中位线,

∴HF∥AB,HF=AB,

∴∠1=∠3.同理,HE∥CD,HE=CD,

∴∠2=∠EFC.

∵AB=CD,∴HF=HE,

∴∠1=∠2,∴∠3=∠EFC.

∵∠EFC=60°,

∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°,

∴△AGF是等边三角形.