二次函数与线段交点问题-中考数学复习课件PPT

这是一份二次函数与线段交点问题-中考数学复习课件PPT，共37页。PPT课件主要包含了学习目标，小结1，无交点，有1个交点，针对练习，当堂检测，课堂小结等内容，欢迎下载使用。

1.会应用二次函数的图象与性质解决交点问题；2.体会数形结合思想在数学问题中的应用.
类型一、定抛物线与动直线（动线段）
1. 已知抛物线y＝x2－x－2交x轴正半轴于点A，交y轴于点B.(1)若抛物线y＝x2－x－2与一次函数y＝x＋b有两个交点，求b的取值范围；
解：(1)∵抛物线y＝x2－x－2与一次函数y＝x＋b有两个交点，∴将抛物线解析式y＝x2－x－2与一次函数解析式y＝x＋b联立，可得x2－2x－2－b＝0，∴Δ=(－2)2－4×(－2－b)=12+4b＞0，解得b>－3 ；
变式1：若抛物线y＝x2－x－2与一次函数y＝x＋b有一个交点，求b的值；
解：∵抛物线y＝x2－x－2与一次函数y＝x＋b有一个交点，∴将抛物线解析式y＝x2－x－2与一次函数解析式y＝x＋b联立，可得x2－2x－2－b＝0，∴Δ=(－2)2－4×(－2－b)=12+4b=0，解得b=－3 ；
变式2：若抛物线y＝x2－x－2与一次函数y＝x＋b没有交点，求b的取值范围；
解：∵抛物线y＝x2－x－2与一次函数y＝x＋b没有交点，∴将抛物线解析式y＝x2－x－2与一次函数解析式y＝x＋b联立，可得x2－2x－2－b＝0，∴Δ=(－2)2－4×(－2－b)=12+4b＜0，解得b＜－3 ；
抛物线与直线的交点问题的解题方法是联立两个解析式得到一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式b2－4ac判断；①当b2－4ac＝0时，抛物线与直线有唯一交点(顶点)；②当b2－4ac>0时，抛物线与直线有两个交点；③当b2－4ac<0时，抛物线与直线无交点．
(2)点C(0，2)和点D(3，m)为平面直角坐标系内两点，连接CD，若抛物线y＝x2－x－2与线段CD只有一个公共点，求m的取值范围；
分析：知道点D(3，m)的横坐标为3，可推得点D在直线x=3上运动，把x=3带入二次函数表达式求出对应的函数值为4，得此时点坐标（3，4），①点D在点（3，4）上方时，抛物线y＝x2－x－2与线段CD没有公共点；②点D在点（3，4）下方或与点（3，4）重合时，抛物线y＝x2－x－2与线段CD只有一个公共点。
解：将x＝3代入y＝x2－x－2中，解得y＝4，∵抛物线y＝x2－x－2与线段CD只有一个公共点，∴m≤4；
(3)点E(2，－2)和点F(t，4)为平面直角坐标系内两点，连接EF，若抛物线y＝x2－x－2与线段EF只有一个公共点，求t的取值范围；
分析：知道点F(t,4)的纵坐标为4，可推得点F在直线y=4上运动，把y=4带入二次函数表达式求出对应的x为x＝3或x＝－2，得此时点坐标（3，4）或（-2，4），点F在点M右侧或点N左侧时，抛物线y＝x2－x－2与线段EF没有公共点；点F在线段MN之间（可与点M重合，但不与点N重合）时，抛物线y＝x2－x－2与线段EF只有一个公共点。
解：将y＝4代入y＝x2－x－2中，解得x＝3或x＝－2，∵抛物线y＝x2－x－2与线段EF只有一个公共点， ∴－2(4)点P是直线AB上的一个动点，将点P向右平移4个单位长度得到点Q，若线段PQ与抛物线y＝x2－x－2只有一个公共点，求点P的横坐标xP的取值范围．
分析：可得线段PQ长度为定值，PQ=4，当线段PQ过抛物线顶点或点P在线段AB（不与点B重合）上时，抛物线y＝x2－x－2与线段PQ只有一个公共点。
1.方法：当线段的一端点固定，另一端点运动时，求线段与抛物线的交点个数，利用动点的纵坐标与动点横坐标代入抛物线解析式所得的函数值进行大小比较求解；2.关键点找临界点（一般为线段端点）、顶点3.数形结合思想画图有助于分析题目
1.在平面直角坐标系x0y中,直线y=kx+2(k≠0)分别与x轴,y轴交于点A,B,若抛物线y=-x2+3x+4 与线段 AB 有公共点,结合函数图象,求k的取值范围.
类型二、动抛物线（二次项系数a确定）与定线段
2. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，2)，点B(3，2)，抛物线y＝x2－4x＋c与线段AB有交点，结合函数图象，求出c的取值范围．
解：由题意得，抛物线的解析式为 y＝x2－4x＋c＝(x－2)2＋c－4，∴抛物线的顶点坐标为(2，c－4)，即抛物线顶点在直线x=2上上下平移，
分析： 抛物线y＝x2－4x＋c＝(x－2)2＋c－4，抛物线顶点为(2,c-4),即顶点在直线x=2上下平移，抛物线顶点恰好在线段AB上时，此时刚有一个交点，向下平移抛物线，当抛物线过点A时，恰好有一个交点，继续向下平移，抛物线与线段AB没有交点，所以临界情况为：抛物线顶点恰好在线段AB上和抛物线刚好过点A
如图，①当抛物线的顶点在线段AB上时，c－4＝2，解得c＝6；②当抛物线过点A时，将A(－1，2)代入y＝x2－4x＋c中，解得c＝－3；③当抛物线过点B时，将B(3，2)代入y＝x2－4x＋c中，解得c＝5.结合函数图象得，c的取值范围为－3≤c≤6.
2.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，3)，B(2，3)，若抛物线y＝x2－2mx＋m2－1与线段AB有公共点，结合函数图象，求m的取值范围．
分析：抛物线y＝x2－2mx＋m2－1=(x-m)2-1,抛物线顶点坐标为(m,-1),即抛物线顶点在直线y=-1上左右平移
解：如解图，①当抛物线过点A时，将A(0，3)代入y＝x2－2mx＋m2－1中，解得m＝－2或2，当m＝－2时，抛物线在对称轴右侧的部分过点A；当m＝2时，抛物线在对称轴左侧的部分过点A；
②当抛物线过点B时，将B(2，3)代入y＝x2－2mx＋m2－1中，解得m＝0或4，当m＝0时，抛物线在对称轴右侧的部分过点B；当m＝4时，抛物线在对称轴左侧的部分过点B.结合函数图象，m的取值范围为－2≤m≤0或2≤m≤4.
当二次函数解析式y＝ax2＋bx＋c中二次项系数a确定时，求抛物线与线段的交点：(1)当一次项系数b确定：顶点轨迹：在对称轴上上下平移；求解关键：确定三个临界点即抛物线过线段两端点以及抛物线顶点在线段上的点；(2)当一次项系数b不确定，但顶点的纵坐标确定：顶点轨迹：抛物线的顶点在水平直线上左右平移；求解关键：确定两个临界点，即抛物线过线段两端点；
3.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－2，3)，点B(3，3)，若抛物线y＝ax2与线段AB仅有一个交点，结合函数图象，求a的取值范围．
类型三、动抛物线（二次项系数a不确定）与定线段
3.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，2)，点B(3，2)，若抛物线y＝ax2－4ax－5a与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
解：∵y＝ax2－4ax－5a＝a(x2－4x－5)＝a(x＋1)(x－5)，∴设抛物线与x轴交于点C(－1，0)，D(5，0)，顶点为(2，-9a)当a>0时，如解图①，抛物线与线段AB无公共点．
当二次函数解析式y＝ax2＋bx＋c中二次项系数a不确定时，求抛物线与线段的交点：(1)二次项系数a不确定时，需分类讨论，分抛物线的开口向上和开口向下两种情况讨论；(2)抛物线的顶点确定时，求交点时，关键是确定两个临界点，即抛物线过线段两端点；(3)数形结合：画出抛物线的大致图象，根据图象的变化情况，计算出在临界点时参数的值，从而求出参数的取值范围．
1.已知抛物线y=x2-2x和直线y=x,点P(a,b)为直线y=x 上一个动点,将点P向右平移2个单位长度得到点 Q,若线段 PQ 与抛物线只有一个公共点,求a的取值范围.
由题得:P(a,b)Q(a+2,b),且点P(a,b)为直线y=x 上一个动点∴P(a,a)、Q(a+2,a), PQ=2当点Q恰为抛物线顶点时，线段 PQ 与抛物线只有一个公共点，此时a+2=1,∴a=-1沿着直线y=x方向平移PQ，当点P与原点重合时，点Q与抛物线与x轴另一个交点重合，此时线段 PQ 与抛物线有两个公共点，a=0，不符合题意，舍去
继续沿着直线y=x方向平移PQ，当点P平移到抛物线与直线交点(3,3)时，线段 PQ 与抛物线只有一个公共点，a=3继续沿着直线y=x方向平移PQ，线段 PQ 与抛物线没有公共点∴-1≤a≤3且a≠0
2.已知，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于C，D两点，交y轴于点E，其中点C的坐标为（﹣1，0），对称轴为x＝1．点A，B为坐标平面内两点，其坐标为A（ ，﹣5），B（4，﹣5）．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）当﹣1＜x＜4时，求y的取值范围；（3）连接AB，若抛物线y＝x2+bx+c向下平移k（k＞0）个单位时，与线段AB恰有两个公共点，结合函数图象，直接写出k的取值范围．
解：（1）∵抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝1，∴b＝﹣2，∴y＝x2﹣2x+c，将（﹣1，0）代入y＝x2﹣2x+c得0＝1+2+c，解得c＝﹣3，∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4）
（3）抛物线y＝（x﹣1）2﹣4向下平移k个单位后解析式为y＝（x﹣1）2﹣4﹣k=x2﹣2x﹣3-k， ∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4﹣k）， ①当抛物线顶点落在AB上时，﹣4﹣k＝﹣5， 解得k＝1， ②当抛物线经过点A（ ，﹣5）时，﹣5＝（ ）2﹣4﹣k， 解得k＝ ， 若抛物线与AB有两个交点，则1＜k≤
（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴x＝1时，y取最小值为-4，∵1﹣（﹣1）＜4﹣1，又∵x＝4时，y＝5，∴当﹣1＜x＜4时，﹣4≤y＜5．
中考链接（2021河南22题）
3.如图，抛物线y＝x2＋mx与直线y＝－x＋b交于点A(2，0)和点B.(1)求m和b的值；(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2＋mx＞－x＋b的解集；(3)点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N.若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标xM的取值范围．
解(1)由题得4＋2m＝0，－2＋b＝0，∴m＝－2，b＝2；
(2)联立y＝x2－2x与y＝－x＋2得：x2－2x＝－x＋2，∴x2－x－2＝0，∴x1＝2，x2＝－1，∴B(－1，3)．观察图象得不等式的解集为x<－1或x>2；
(3)－1≤xM＜2或xM＝3.
【分析】如解图①，∵A(2，0)，B(－1，3)，∴当点M在线段AB上(不含点A)时，线段MN与抛物线只有一个公共点；如解图②，当线段MN经过抛物线顶点P时，线段MN与抛物线只有一个公共点，∵P(1，－1)，∴点M的纵坐标为－1，∴xM＝3，综上所述，点M的横坐标xM的取值范围是－1≤xM＜2或xM＝3.
1.本节课有哪些收获？2.解决二次函数与线段交点问题时，我们主要用了哪些数学思想与方法呢？
完成练习册《二次函数与线段交点》对应习题