2024版新教材高考数学全程一轮总复习第七章立体几何第四节直线平面垂直的判定与性质课件

这是一份2024版新教材高考数学全程一轮总复习第七章立体几何第四节直线平面垂直的判定与性质课件，共35页。PPT课件主要包含了必备知识·夯实双基，关键能力·题型突破，l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝O，a⊥α，b⊥α，直二面角等内容，欢迎下载使用。

【课标标准】　1.从定义和基本事实出发，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，并加以证明.2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题．
知识梳理1.直线与平面垂直(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的________，平面α叫做直线l的________．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．
(2)判定定理与性质定理
2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直．
[常用结论]1．若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．2．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．3．垂直于同一条直线的两个平面平行．4．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．5．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
夯实双基1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.(　　)(2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　)(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　　)(4)垂直于同一个平面的两个平面平行．(　　)
2．(教材改编)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n
解析：对于A，m与l可能平行或异面，故A错；对于B、D，m与n可能平行、相交或异面，故B、D错，对于C，因为n⊥β，l⊂β，所以n⊥l，故C正确，故选C.
3．(教材改编)在三棱锥P - ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．
解析：如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．
解析：如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G．∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心．
4．(易错)“直线与平面α内无数条直线垂直”是“直线与平面α垂直”的(　　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：根据直线垂直平面的定义，由“直线与平面α垂直”可推出“直线与平面α内无数条直线都垂直”，反之不能由“直线与平面α内无数条直线都垂直”推出“直线与平面α垂直”．故选B.
题型一　直线与平面垂直的判定与性质例1 如图，在四棱锥P - ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)证明：CD⊥AE；(2)证明：PD⊥平面ABE.
证明：(1)在四棱锥P - ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA.又CD⊥AC，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，∵AE⊂平面PAC，故CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得PA＝AC，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
题后师说证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直则需要借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思路．
巩固训练1如图，在四面体PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA.(1)求证：PB⊥平面APD；(2)若AG⊥PD，G为垂足，求证：AG⊥BD.
证明：(1)由AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，则AD⊥PB，又PB⊥PA，PA∩AD＝A，则PB⊥平面APD，(2)由(1)及PB⊂平面PBD，则平面PBD⊥平面APD，又平面PBD∩平面APD＝PD，AG⊥PD，AG⊂平面APD，所以AG⊥平面PBD，而BD⊂平面PBD.所以AG⊥BD.
证明：(1)连接AC，BD交于点O，连接PO，在正四棱锥P - ABCD中，PO⊥平面ABCD，因为BD⊂平面ABCD，所以PO⊥BD，又AC⊥BD，PO∩AC＝O，PO，AC⊂平面PAO，所以BD⊥平面PAO，因为点E，F分别为CD，BC中点．所以EF∥BD，所以EF⊥平面PAO，又PA⊂平面PAO，所以PA⊥EF.
题后师说(1)利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线．若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线应有理论根据并有利于证明．(2)证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的．
解析：(1)证明：连接BD，∵PA＝PD＝AD＝2，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，又∵∠BAD＝60°，底面ABCD为菱形，∴△ABD是等边三角形，∵Q为AD的中点，∴AD⊥BQ，∵PQ、BQ是平面PQB内的相交直线，∴AD⊥平面PQB.
解析：(1)证明：连接AB1与A1B，两线交于点O，连接OM，在△B1AC中M，O分别为AC，AB1的中点，所以OM∥B1C，又OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，所以B1C∥平面A1BM.
题后师说1.对于三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．2．对于垂直与平行结合的问题，应注意平行、垂直的性质及判定定理的综合应用．3．对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证．
巩固训练3如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，M为线段PC上的动点，N为线段BC的中点．(1)若M为线段PC的中点，证明：平面PBC⊥平面MND；(2)若PA∥平面MND，试确定点M的位置，并说明理由．
解析：(1)证明：因为底面ABCD为正方形，PD＝AD，所以PD＝CD，BC⊥CD.因为M为线段PC中点，所以在平面PCD中，DM⊥PC.因为PD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，所以PD⊥BC.又BC⊥CD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，所以BC⊥平面PCD.因为DM⊂平面PCD，所以BC⊥DM.又DM⊥PC，PC∩BC＝C，PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，所以DM⊥平面PBC.因为DM⊂平面MND，所以平面PBC⊥平面MND.