2024版新教材高考数学全程一轮总复习高考大题研究课九最值与范围问题

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高考大题研究课九　最值与范围问题
关键能力·题型突破
题型一　最值问题
例1[2023·安徽十校联考]如图，已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，且经过点(1，－)，直线 l：x＝ty－1恒过定点F且交椭圆于D，E两点，F为OA的中点．

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)记△BDE的面积为S，求S的最大值．








题后师说
解析几何中的常见最值问题有：线段长度(弦长)最值、三角形面积最值、面积比最值、线段长度比最值等．常用解题方法是把这些问题利用代数方法转化为关于某个变量的函数，然后通过一些变形：分式型函数常分离常数转化为x＋(a＞0)的形式、分子分母同时除以某个式子后转化为x＋(a＞0)的形式、先换元再转化为x＋(a＞0)形式；乘积型式子看能否通过“1”变形、拆项、添项等使得和为定值，进而利用基本不等式或其变形解决．



巩固训练1
(1)[2023·湖北监利期末]已知曲线C上任意一点P(x，y)满足方程||＝2，
①求曲线C的方程；
②若直线l与曲线C在y轴左、右两侧的交点分别是Q，P，且·＝0，求||2＋||2的最小值．
(2)[2023·河南南阳期末]已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的通径长为，若抛物线C上有一动弦AB的中点为M，且弦AB的长度为3.
①求抛物线C的方程；
②求点M的纵坐标的最小值．



题型二　范围问题
例2 [2023·广东揭阳期末]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，点A()在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知直线l：y＝k(x－3)(k≠0)与椭圆C交于P，Q两点，点M是线段PQ的中点，直线l′过点M，且与直线l垂直．记直线l′与y轴的交点为N，求|MN|的取值范围．








题后师说
解圆锥曲线中范围问题的策略




巩固训练2
(1)[2023·辽宁抚顺期末]已知椭圆C1的方程为＝1，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
(ⅰ)求双曲线C2的方程；
(ⅱ)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>1(其中O为原点)，求k的取值范围．
(2)[2023·湖北武汉模拟]已知动圆C过定点A(2，0)，且在y轴上截得的弦长为4，圆心C的轨迹为曲线Γ.
(ⅰ)求Γ的方程；
(ⅱ)过点P(1，0)的直线l与Γ相交于M，N两点．设＝λ，若λ∈[2，3]，求l在y轴上截距的取值范围．














真题展台
1.[2021·全国乙卷]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程；
(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值．








2．[2021·北京卷]已知椭圆E：＝1(a>b>0)过点A(0，－2)，以四个顶点围成的四边形面积为4.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过点P(0，－3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y＝－3于点M、N，若|PM|＋|PN|≤15，求k的取值范围．






3．[2020·新高考Ⅱ卷]已知椭圆C：＝1(a>b>0)过点M(2，3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为.
(1)求C的方程；
(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值．






















高考大题研究课九　最值与范围问题
关键能力·题型突破
例1　解析：(1)由题意可得，直线l：x＝ty－1恒过定点F(－1，0)，
因为F为OA的中点，所以|OA|＝2，即a＝2.
因为椭圆C经过点 (1，－)，所以 ＝1，解得b＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设E(x1，y1)，D(x2，y2)．
由得(t2＋4)y2－2ty－3＝0，Δ>0恒成立，
则y1＋y2＝，y1y2＝－，
则|ED|＝·＝·＝，
又因为点B到直线l的距离d＝，
所以S＝×|ED|×d＝··＝.
令m＝，则＝＝，
因为y＝m＋，m≥时，y′＝1－>0，y＝m＋在m∈[，＋∞)上单调递增，
所以当m＝时，(m＋)min＝时，Smax＝.
即S的最大值为 .
巩固训练1　解析：(1)①设F1(－，0)，F2(，0)，
则＝2，等价于||PF1|－|PF2||＝20，解得0