2024版新教材高考数学全程一轮总复习高考大题研究课四利用正弦余弦定理解三角形

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例 1[2023·辽宁沈阳模拟]从①b sin C＝c cs B，②b2＋ac＝a2＋c2这两个条件中任选一个，补充到下面已知条件中进行解答．
已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且________．(填写①或②，只可以选择一个序号，并依此条件进行解答．)
(1)求B；
(2)若b＝2，△ABC的面积为，求a.
题后师说
利用正弦、余弦定理解三角形的关键就是边角转化，可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．解题时，常用到三角形的内角和定理、三角形面积公式等．
巩固训练1
[2023·河南开封模拟]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(b＋a)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C.
(1)求角A的大小；
(2)设a＝2，cs ＝，求b.
题型二 三角形中的范围问题
例 2[2023·河北衡水中学模拟]锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝tan B＋tan C.
(1)求角C的值；
(2)若c＝2，D为AB的中点，求中线CD的取值范围．
题后师说
三角形中的范围问题一般先通过正、余弦定理将边转化为角，再根据三角恒等变换及三角形内角和定理转化为“一角一函数”的形式，最后结合角的范围利用三角函数的单调性和值域求解．
巩固训练2
[2023·河南新乡模拟]锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2＝sin 2A－sin B sin C.
(1)求A；
(2)b＝2，求△ABC面积的取值范围．
题型三 平面图形中的解三角形问题
例 3[2023·江西南昌实验中学模拟]如图，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，b cs A－a sin B＝0.
(1)求∠BAC；
(2)若AB⊥AD，AC＝2，CD＝，求AD的长．
题后师说
平面图形中的解三角形问题求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成多个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．解题时，有时要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的性质，要把这些知识与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．
巩固训练3
[2023·山东聊城模拟]如图，在四边形ABCD中，BD(1)求∠A；
(2)若AB＝，AD＝3，CD＝1，∠C＝2∠CBD，求四边形ABCD的面积．
1.[2022·新高考Ⅰ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1)若C＝，求B；
(2)求的最小值．
2．[2022·新高考Ⅱ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝，sin B＝.
(1)求△ABC的面积；
(2)若sin A sin C＝，求b.
3．[2021·新高考Ⅰ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BD sin ∠ABC＝a sin C.
(1)证明：BD＝b；
(2)若AD＝2DC，求cs ∠ABC.
4．[2021·新高考Ⅱ卷]在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，b＝a＋1，c＝a＋2.
(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
5．[2020·新高考Ⅰ卷]在①ac＝，②c sin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
高考大题研究课四 利用正弦、余弦定理解三角形
例1 解析：(1)选①：b sin C＝c cs B，由正弦定理得sin B sin C＝sin C cs B，因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，故tan B＝，因为B∈(0，π)，所以B＝.
选②：b2＋ac＝a2＋c2，由余弦定理得cs B＝＝，因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)选①：b sin C＝c cs B，
由面积公式得ac sin B＝ac sin ＝ac＝，解得ac＝4，由余弦定理得cs B＝＝，解得a2＋c2＝8，解得a＝c＝2.
选②：b2＋ac＝a2＋c2.
由面积公式得：ac sin B＝ac sin ＝ac＝，解得ac＝4，由余弦定理得cs B＝＝，解得a2＋c2＝8，解得a＝c＝2.
巩固训练1 解析：(1)由题设(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，即bc＝c2＋b2－a2，
所以cs A＝＝，又0(2)由(1)知：0所以sin B＝2sin cs ＝2×＝，
而＝，故b＝＝.
例2 解析：(1)由＝tan B＋tan C，
＝＝＝＝，
sin C＝cs C，C∈(0，π)，tan C＝，C＝.
(2)＝)，＝)2，CD2＝(a2＋b2＋ab)，
由余弦定理有c2＝a2＋b2－ab，12＝a2＋b2－ab，
所以CD2＝(a2＋b2＋ab)，CD2＝(12＋2ab)＝3＋ab，
由正弦定理＝＝＝＝＝4，a＝4sin A，b＝4sin B，
CD2＝3＋ab＝3＋8sin A sin B＝3＋8sin A sin (－A)，
＝3＋8sin A(sin cs A－cs sin A)
＝3＋8sin A(cs A＋sin A)
＝3＋4sin A cs A＋4sin2A＝3＋2sin2A＋2(1－cs 2A)
＝5＋4(sin 2A－cs 2A)＝5＋4sin (2A－)，
CD2＝5＋4sin (2A－)，因为△ABC为锐角三角形，所以0，
则A∈()，<2A－<，则CD2∈(7，9]，CD∈(，3].
巩固训练2 解析：(1)因为(sin B－sin C)2＝sin2A－sinB sin C，
所以sin2A＝sin2B＋sin2C－sinB sin C，所以a2＝b2＋c2－bc，
又a2＝b2＋c2－2bc cs A，所以cs A＝.
又A∈(0，)，所以A＝.
(2)△ABC的面积S△ABC＝bc sin A＝c.
由正弦定理得c＝＝＝＋1，
因为△ABC为锐角三角形，所以，解得则tan B>，则1故△ABC面积的取值范围是(，2)．
例3 解析：(1)在△ABC中，由正弦定理得sin B cs A－sin A sin B＝0，
∵sin B≠0，∴cs A＝sin A，即tan A＝1，
∵A∈(0，π)，
∴∠BAC＝A＝.
(2)∵AB⊥AD，且∠BAC＝，则∠CAD＝，
在△ACD中，AC＝2，CD＝，∠CAD＝，
由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD cs ∠CAD，
即5＝8＋AD2－2×2AD×，
整理得AD2－4AD＋3＝0，解得AD＝1或AD＝3.
经验证AD＝1或AD＝3均满足三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
故AD的长为1或3.
巩固训练3 解析：(1)因为(－∠A)＋(＋∠A)＝，所以sin (－∠A)＝cs (＋∠A)，
所以sin (－∠A)cs (＋∠A)＝可化为sin2(－∠A)＝，
由二倍角公式可得cs(－2∠A)＝.
因为BD所以－2∠A＝，解得∠A＝.
(2)在△ABD中，AB＝，AD＝3，∠A＝，由余弦定理得
BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cs ∠A，即BD2＝3＋9－2××3×＝3，
所以BD＝.
在△BCD中，由正弦定理得＝＝，
所以sin ∠C＝sin ∠CBD.
又因为∠C＝2∠CBD，所以cs ∠CBD＝.
又因为∠CBD∈(0，π)，所以∠CBD＝，从而∠C＝2∠CBD＝，所以∠BDC＝，
因此四边形ABCD的面积S＝AB·AD·sin ∠A＋BD·CD＝×3××1＝.
真题展台——知道高考考什么？
1．解析：(1)由已知条件，得sin 2B＋sin A sin 2B＝cs A＋cs A cs 2B.
所以sin 2B＝cs A＋cs A cs 2B－sin A sin 2B＝cs A＋cs (A＋2B)＝cs [π－(B＋C)]＋cs [π－(B＋C)＋2B]＝－cs (B＋C)＋cs [π＋(B－C)]＝－2cs B cs C，
所以2sin B cs B＝－2cs B cs C，
即(sin B＋cs C)cs B＝0.
由已知条件，得1＋cs 2B≠0，则B≠，
所以cs B≠0，所以sin B＝－cs C＝.
又0＜B＜，所以B＝.
(2)由(1)知sin B＝－cs C＞0，则B＝C－，
所以sin A＝sin (B＋C)＝sin (2C－)＝－cs 2C.
由正弦定理，得＝＝＝＝＝＋4sin2C－5≥2－5＝4－5，
当且仅当sin2C＝时，等号成立，所以的最小值为4－5.
2．解析：(1)∵边长为a的正三角形的面积为a2，
∴S1－S2＋S3＝(a2－b2＋c2)＝.
结合余弦定理，得ac csB＝1，即cs B＝.
由sin B＝，得cs B＝，∴ac＝，
故S△ABC＝ac sin B＝＝.
(2)由正弦定理得＝·＝＝＝，故b＝，sin B＝.
3.
解析：(1)证明：由题设得，BD＝，由正弦定理知＝，即＝，
∴BD＝，又∵b2＝ac，
∴BD＝b，得证．
(2)由题意知BD＝b，AD＝，DC＝，
∴cs ∠ADB＝＝，同理cs ∠CDB＝＝，
∵∠ADB＝π－∠CDB，
∴＝，整理得2a2＋c2＝，又b2＝ac，
∴2a2＋＝，整理得6a4－11a2b2＋3b4＝0，解得＝或＝，
由余弦定理知cs ∠ABC＝＝，
当＝时，cs ∠ABC＝>1不合题意；当＝时，cs ∠ABC＝；综上，cs ∠ABC＝.
4．解析：(1)因为2sin C＝3sin A，则2c＝2(a＋2)＝3a，则a＝4，故b＝5，c＝6，cs C＝＝，所以C为锐角，则sin C＝＝，
因此S△ABC＝ab sinC＝×4×5×＝.
(2)显然c>b>a，若△ABC为钝角三角形，则C为钝角，
由余弦定理可得cs C＝
＝＝<0，
解得－1由三角形三边关系可得a＋a＋1>a＋2，可得a>1，∵a∈Z，故a＝2.
5．解析：方案一：选条件①.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c.
由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1.
因此选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.
方案二：选条件②.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c，B＝C＝，A＝.
由②c sin A＝3，所以c＝b＝2，a＝6.
因此选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2.
方案三：选条件③.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c.
由③c＝b，与b＝c矛盾．
因此选条件③时问题中的三角形不存在．