2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业二十七正弦定理余弦定理

这是一份2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业二十七正弦定理余弦定理，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在△ABC中，b＝eq \r(6)，A＝45°，C＝75°，则a＝( )
A．2eq \r(3)B．2
C．eq \r(3)D．1
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝45°，b＝eq \r(2)，a＝2，则B＝( )
A．120°B．60°
C．45°D．30°
3．[2023·安徽安庆模拟]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2b＝eq \r(3)a，A＝eq \f(π,4)，则csB＝( )
A．±eq \f(\r(10),4)B．±eq \f(\r(6),4)
C．eq \f(\r(10),4)D．eq \f(\r(6),4)
4．[2023·河南温县一中月考]在△ABC中，AC＝3，BC＝eq \r(7)，AB＝2，则△ABC的面积为( )
A．2eq \r(3)B．eq \f(3\r(3),2)
C．eq \f(\r(26),2)D．eq \f(3,2)
5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3eq \r(3)，A＝eq \f(π,3)，b＋c＝4eq \r(3)，则a＝( )
A．2eq \r(3)B．5
C．8D．2eq \r(2)
6．在△ABC中，已知sinB＝2sin (B＋C)csC，那么△ABC一定是( )
A．等腰直角三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等边三角形
7．[2023·河南洛阳模拟]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2eq \r(6)，csA＝－eq \f(1,4)，sinB＝2sinC，则c＝( )
A．1B．2
C．3D．4
8．(能力题)在△ABC中，若(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则△ABC的最大内角为( )
A．60°B．90°
C．120°D．150°
9．(能力题)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若sinAsinBcsC＝2sin2C，则eq \f(a2＋b2,c2)＝( )
A．5B．4
C．3D．2
10．(能力题)[2023·湖南长沙一中期末]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且a＝1，4eq \r(3)S＝b2＋c2－1，则△ABC外接圆的面积为( )
A．eq \f(π,2)B．π
C．2πD．4π
二、多项选择题
11．[2023·山东烟台二中月考]在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A．b＝10，A＝45°，C＝70°
B．b＝45，c＝48，B＝60°
C．a＝14，b＝16，A＝45°
D．a＝7，b＝5，A＝80°
12．(能力题)[2023·辽宁沈阳模拟]已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则下列命题正确的是( )
A．若csA>csB，则aB．若eq \f(csA,a)＝eq \f(csB,b)＝eq \f(csC,c)，则△ABC为等边三角形
C．若acsA＝bcsB，则△ABC为等腰三角形
D．若bcsC＋ccsB＝asinA，则△ABC为直角三角形
三、填空题
13．在△ABC中，若ccsA－acs (π＋C)＝bsin (π－B)，则此三角形为________．
14．(能力题)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．
四、解答题
15．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，3sinAsinC＝2sin2B，2sin2A＋2sin2C＝5sinAsinC.
(1)求B；
(2)若A>C，b＝eq \r(3)，求a、A.
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16．[2023·河南南阳中学模拟]在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若b＝10，A＝eq \f(π,6)，且△ABC有唯一解，则a的取值范围是________．
17．已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，且(a＋c－b)(sinA－sinC＋sinB)＝csinB.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2eq \r(3)，求△ABC面积的最大值．
课时作业（二十七） 正弦定理、余弦定理
1．解析：因为A＝45°，C＝75°，所以B＝180°－45°－75°＝60°.
由正弦定理知：eq \f(a,sin45°)＝eq \f(\r(6),sin60°)，所以a＝eq \f(\r(6)sin45°,sin60°)＝eq \f(\r(6)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝2.
故选B.
答案：B
2．解析：在△ABC中，因为A＝45°，b＝eq \r(2)，a＝2，
由正弦定理eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)得eq \f(2,sin45°)＝eq \f(\r(2),sinB)，
解得sinB＝eq \f(1,2).
因为b故选D.
答案：D
3．解析：在△ABC中，由正弦定理及2b＝eq \r(3)a得2sinB＝eq \r(3)sinA＝eq \r(3)sineq \f(π,4)，解得sinB＝eq \f(\r(6),4).
在△ABC中，b＝eq \f(\r(3),2)a所以csB＝eq \r(1－sin2B)＝eq \f(\r(10),4).
故选C.
答案：C
4．解析：由余弦定理得，
csA＝eq \f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq \f(22＋32－（\r(7)）2,2×2×3)＝eq \f(1,2)，所以sinA＝eq \r(1－cs2A)＝eq \f(\r(3),2)，所以△ABC的面积为eq \f(1,2)AB·AC·sinA＝eq \f(1,2)×2×3×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2).
故选B.
答案：B
5．解析：由题意可知，S△ABC＝eq \f(1,2)bcsinA＝3eq \r(3)，得bc＝12.
∵b＋c＝4eq \r(3)，bc＝12，
由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccsA＝（b＋c）2－2bc－2bccsA，
整理得a2＝12，∴a＝2eq \r(3).
故选A.
答案：A
6．解析：因为sinB＝2sin（B＋C）csC，sin（B＋C）＝sinA，所以sinB＝2sinAcsC，
所以由正弦定理和余弦定理得b＝2a·eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，
化简得a2＝c2，所以a＝c，所以△ABC为等腰三角形．
故选B.
答案：B
7．解析：sinB＝2sinC．由正弦定理可得b＝2c.
又∵a＝2eq \r(6)，csA＝－eq \f(1,4)，
∴由余弦定理a2＝c2＋b2－2bccsA，
可得24＝c2＋b2－2bc·（－eq \f(1,4)）＝4c2＋c2＋eq \f(1,2)×2c2，
解得c＝2或c＝－2（舍去）.
故选B.
答案：B
8．解析：令b＋c＝8k，则c＋a＝10k，a＋b＝12k，
所以a＝7k，b＝5k，c＝3k，所以A最大，
所以csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(25k2＋9k2－49k2,30k2)＝－eq \f(1,2)，
因为0°所以A＝120°.
故选C.
答案：C
9．解析：∵sinAsinBcsC＝2sin2C，
∴利用正弦定理可得abcsC＝2c2，
又∵csC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，
∴可得eq \f(a2＋b2－c2,2)＝2c2，
∴整理可得eq \f(a2＋b2,c2)＝5，
故选A.
答案：A
10．解析：由a＝1及4eq \r(3)S＝b2＋c2－1，
得4eq \r(3)S＝b2＋c2－a2，
所以4eq \r(3)×eq \f(1,2)×b×c×sinA＝2×b×c×csA，即csA＝eq \r(3)sinA，
于是有tanA＝eq \f(\r(3),3)，因为0所以△ABC外接圆的半径为r＝eq \f(a,2sinA)＝eq \f(1,2×sin\f(π,6))＝1，
所以△ABC外接圆的面积为πr2＝π.
故选B.
答案：B
11．解析：对于A，因为A＝45°，C＝70°，所以B＝65°，只有一解；
对于B，因为sinC＝eq \f(csinB,b)＝eq \f(8\r(3),15)<1，且sinC>sinB，所以有两解；
对于C，因为sinB＝eq \f(bsinA,a)＝eq \f(4\r(2),7)<1，且sinB>sinA，所以有两解；
对于D，因为sinB＝eq \f(bsinA,a)＝eq \f(5sin80°,7)<1，但sinB故选BC.
答案：BC
12．解析：A选项，因为csA>csB，A，B为三角形内角，所以A为锐角，B为钝角，此时AB选项，因为eq \f(csA,a)＝eq \f(csB,b)＝eq \f(csC,c)，由正弦定理可得eq \f(csA,sinA)＝eq \f(csB,sinB)＝eq \f(csC,sinC)，
即eq \f(1,tanA)＝eq \f(1,tanB)＝eq \f(1,tanC)，因为A，B，C为三角形内角，所以A＝B＝C，即△ABC为等边三角形，故B正确；
C选项，由acsA＝bcsB，根据正弦定理可得sinAcsA＝sinBcsB，则sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故C错；
D选项，由bcsC＋ccsB＝asinA，根据正弦定理可得sinBcsC＋sinCcsB＝sin2A，则sin（B＋C）＝sin2A，所以sinA＝sin2A，因为A∈（0，π），所以sinA＝1，则A＝eq \f(π,2)，即△ABC为直角三角形，故D正确．
故选ABD.
答案：ABD
13．解析：由ccsA－acs（π＋C）＝bsin（π－B）得ccsA＋acsC＝bsinB，
由正弦定理得sinCcsA＋sinAcsC＝sinBsinB，进而得sin（C＋A）＝sin2B⇒sinB＝sin2B，
由于在△ABC中，sinB≠0，所以sinB＝1⇒B＝eq \f(π,2).
答案：直角三角形
14．解析：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinC＋csinB＝4asinBsinC，
利用正弦定理可得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，
由于0所以sinBsinC≠0，
所以sinA＝eq \f(1,2)，又0由于b2＋c2－a2＝8，
由余弦定理csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，
①当A＝eq \f(π,6)时，eq \f(\r(3),2)＝eq \f(8,2bc)，解得bc＝eq \f(8\r(3),3)，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)bcsinA＝eq \f(2\r(3),3).
②当A＝eq \f(5π,6)时，－eq \f(\r(3),2)＝eq \f(8,2bc)，解得bc＝－eq \f(8\r(3),3)（不合题意），舍去．
所以S△ABC＝eq \f(2\r(3),3).
答案：eq \f(2\r(3),3)
15．解析：（1）因为3sinAsinC＝2sin2B，2sin2A＋2sin2C＝5sinAsinC，
由正弦定理得3ac＝2b2，2a2＋2c2＝5ac.
∴csB＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(\f(5,2)ac－\f(3,2)ac,2ac)＝eq \f(1,2)，
又B∈（0，π），
∴B＝eq \f(π,3).
（2）将b＝eq \r(3)代入（1）中两式，得ac＝2，2a2＋2c2＝5ac.
∴ac＝2，（2a－c）（a－2c）＝0.
当2a＝c时，解得a＝1，c＝2；
当a＝2c时，解得c＝1，a＝2.
又A>C，∴a>c，∴a＝2，c＝1.
∴csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝0，又A∈（0，eq \f(2π,3)），
∴A＝eq \f(π,2).
综上，a＝2，A＝eq \f(π,2).
16．解析：由正弦定理得
eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)⇒a＝eq \f(bsinA,sinB)＝eq \f(10×sin\f(π,6),sinB)＝eq \f(5,sinB)，
因为△ABC有唯一解，当sinB＝1时，即∠B＝90°，
△ABC唯一，符合题意，得a＝5；
当sinB∈（eq \f(1,2)，1）时，B有两个值，△ABC不唯一，不合题意；
当sinB∈（0，eq \f(1,2)]时，eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)⇒a＝eq \f(5,sinB)≥b，
所以A≥B，△ABC唯一，符合题意，得a≥10.
所以a的取值范围为{a|a＝5或a≥10}．
答案：{a|a＝5或a≥10}
17．解析：（1）在△ABC中，由题意及正弦定理得（a＋c－b）（a－c＋b）＝bc，
整理得b2＋c2－a2＝bc，
由余弦定理得csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(bc,2bc)＝eq \f(1,2)，
因为0所以A＝eq \f(π,3).
（2）方法一：由（1）知，A＝eq \f(π,3)，又a＝2eq \r(3)，
所以12＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，
所以bc≤12，当且仅当b＝c＝2eq \r(3)时，等号成立，
所以（S△ABC）max＝eq \f(1,2)bcsinA＝eq \f(1,2)×12×eq \f(\r(3),2)＝3eq \r(3).
方法二：由（1）知，A＝eq \f(π,3)，又a＝2eq \r(3)，
所以由正弦定理，知eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC)＝eq \f(2\r(3),sin\f(π,3))＝4，
所以b＝4sinB，c＝4sinC，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)bcsinA＝8sinBsinC×eq \f(\r(3),2)＝4eq \r(3)sinBsinC，
又因为B＋C＝eq \f(2π,3)，
所以4eq \r(3)sinBsinC＝4eq \r(3)sinBsin（eq \f(2π,3)－B）
＝4eq \r(3)sinB（eq \f(\r(3),2)csB＋eq \f(1,2)sinB）
＝2eq \r(3)（eq \f(\r(3),2)sin2B＋eq \f(1－cs2B,2)）＝2eq \r(3)sin（2B－eq \f(π,6)）＋eq \r(3)，
因为B＋C＝eq \f(2π,3)，所以0所以当2B－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即B＝eq \f(π,3)时，△ABC的面积取得最大值，最大值为3eq \r(3).