2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业四十一空间点直线平面的位置关系

这是一份2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业四十一空间点直线平面的位置关系，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若l1、l2为异面直线，直线l3∥l1，则l3与l2的位置关系是( )
A．相交B．异面
C．平行D．异面或相交
2．[2023·山东郯城一中月考]若直线a，b是异面直线，且a∥α，则直线b与平面α的位置关系是( )
A．b⊂αB．b∥α
C．b与α相交D．以上都有可能
3．[2023·河南开封模拟]在正方体ABCD­A1B1C1D1的所有面对角线中，所在直线与直线A1B互为异面直线且所成角为60°的面对角线的条数为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
4．若∠AOB＝∠A′O′B′，OA∥O′A′，且OA与O′A′的方向相同，则OB与O′B′( )
A．一定平行且方向相同
B．一定平行且方向相反
C．一定不平行
D．不一定平行
5．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
A．相交B．平行
C．异面D．无法确定
6．如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是( )
7.
[2023·河南扶沟二中期末]如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC⊥BC，若AA1＝AC＝BC＝1，则异面直线A1C，AB所成角的大小是( )
A．eq \f(π,6)B．eq \f(π,4)
C．eq \f(π,3)D．eq \f(π,2)
8．[2023·江西南昌期末]在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果直线EF与GH相交于点M，那么( )
A．点M一定在直线AC上
B．点M一定在直线BD上
C．点M可能在直线AC上，也可能在直线BD上
D.点M既不在直线AC上，也不在直线BD上
9．(能力题)设a，b是异面直线，那么( )
A．必然存在唯一的一个平面，同时平行于a，b
B．必然存在唯一的一个平面，同时垂直于a，b
C．过直线a存在唯一的一个平面平行于直线b
D．过直线a存在唯一的一个平面垂直于直线b
10.
(能力题)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为线段BD上任意一点(包括端点)，则一定有( )
A．PC1与AA1异面
B．PC1与AA1相交
C．PC1与平面AB1D1平行
D．PC1与平面AB1D1相交
二、多项选择题
11.
如图，是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：以下四个命题中，正确的是( )
A．BM与ED平行
B．CN与BM成60°角
C．CN与BE是异面直线
D．DM与BN是异面直线
12.
(能力题)[2023·山东潍坊一中模拟]如图所示，四棱锥S­ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，SD＝AB，则下列选项中两异面直线所成夹角大于45°的是( )
A．BC与SDB．AB与SC
C．SB与ADD．AC与SB
三、填空题
13．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．则四边形EFGH是________．
14．(能力题)[2023·河南商丘一中学期末]已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为正方形且AB＝2，AA1＝4，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为________．
四、解答题
15．[2023·广东韶关期末]如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是AB，AA1的中点．
(1)求直线B1E与直线C1D1所成角的正切值；
(2)求三棱锥D­B1EF的体积．
优生选做题
16．[2023·山东聊城模拟]已知某圆锥的侧面积等于底面的3倍，直线l是底面所在平面内的一条直线，则该直线l与母线所成的角的余弦值的取值范围为( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,3)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2),3)，1))
17．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别是AB、AA1的中点．求证：
(1)CE、D1F、DA三线共点；
(2)直线BC和直线D1F是异面直线．
课时作业（四十一） 空间点、直线、平面的位置关系
1．解析：∵l1、l2为异面直线，
∴直线l1与l2所成角为锐角或直角，
∵l3∥l1，
∴直线l3与l2所成角为锐角或直角，
由此可得：l3与l2不平行，即直线l3与l2的位置关系为相交或异面．
答案：D
2．解析：
在长方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ABCD视为平面α，直线A1B1为直线a，点E，F分别为棱AA1，DD1的中点，如图，
显然有a∥α，当直线b为直线AD时，直线a，b是异面直线，此时b⊂α；
因EF∥AD，AD⊂平面α，EF⊄平面α，则EF∥α，当直线b为直线EF时，直线a，b是异面直线，此时，b∥α；
当直线b为直线CC1时，直线a，b是异面直线，此时，b与α相交，
所以直线b与平面α可能平行，可能相交，也可能在平面内．故选D.
答案：D
3．解析：
如图，易知△A1BC1为等边三角形，所以∠BA1C1＝60°，又AC∥A1C1，所以异面直线AC与A1B的夹角为60°，符合题设．
同理，面对角线B1C，B1D1，AD1也满足题意，所以满足条件的面对角线共4条．
故选B.
答案：B
4．解析：如图，
若∠AOB＝∠A′O′B′，OA∥O′A′，且OA与O′A′的方向相同，OB与O′B′不一定平行．
故选D.
答案：D
5．解析：
如图所示：
连接D1C，由题意得D1C∩C1D＝E，
因为D1C∥A1B，
所以D1，C，A1，B共面，
所以直线D1C，A1B，EF共面，
因为EF∩D1C＝E，
所以直线A1B与直线EF的位置关系是相交，故选A.
答案：A
6．解析：
由正方体性质，选项A，B，C中，A，B，C，D四点显然不共面．
对于D选项，如图取E，F为正方体所在棱的中点，依次连接ADCEBF，
易知ADCEBF为平面正六边形，所以A，B，C，D四点共面．故选D.
答案：D
7．解析：
如图所示，连接B1C，
∵A1B1∥AB，∴∠B1A1C即为异面直线A1C，AB所成角，
∵AA1＝AC＝BC＝1，∴A1C＝eq \r(2)，B1C＝eq \r(2)，
又AC⊥BC，∴AB＝A1B1＝eq \r(2)，
在△B1A1C中，∵A1B1＝A1C＝B1C＝eq \r(2)，
∴△B1A1C是正三角形，
∴∠B1A1C＝eq \f(π,3).
故选C.
答案：C
8．解析：
如图，空间四边形ABCD，因为EF⊂平面ABC，GH⊂平面ACD，
所以点M∈平面ABC，且M∈平面ACD，而平面ABC∩平面ACD＝AC，
所以点M∈直线AC.
因为AC与BD为异面直线，所以M∈/直线BD.
答案：A
9．解析：A选项，存在平面，同时平行于a，b，但不唯一，如图，a，b是异面直线，存在平面α，β同时平行于a，b，A错误；
B选项，假设存在唯一的一个平面，同时垂直于a，b，则可推出a∥b，显然这与a，b是异面直线矛盾，故B错误；
C选项，首先证明这样的平面存在，如图，a，b为异面直线，
过直线b作一个平面β，交直线a于点F，过点F作直线c平行于b，
直线a，c确定平面α，所以平面α与直线b平行，故这样的平面存在，
接下来证明唯一性，假设过直线a存在另一平面γ，平行于直线b，
则有α∩γ＝a，
由线面平行的性质可知，过直线b的平面χ交γ于直线d，则b∥d∥c，且a与d相交，
则a，d确定平面γ，由于c∥d，所以a，c确定的平面与a，d确定的平面为同一平面，即α与γ重合，证毕．C正确．
D选项，假设过直线a存在唯一的一个平面垂直于b，则可推出a⊥b，
由已知可知a，b是异面直线，但不一定垂直，故这样的平面可能不存在，所以D不一定正确．
故选C.
答案：C
10．解析：
连接AC、A1C1，因为AA1∥CC1且AA1＝CC1，所以，四边形AA1C1C为平行四边形，
当P为AC、BD的交点时，PC1与AA1相交，
当P不为AC、BD的交点时，PC1与AA1异面，AB选项都不一定成立；
连接BC1、C1D，因为AB∥C1D1且AB＝C1D1，故四边形ABC1D1为平行四边形，
∴BC1∥AD1，∵BC1⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1，
同理可证C1D∥平面AB1D1，
因为BC1∩C1D＝C1，BC1、C1D⊂平面BC1D，∴平面BC1D∥平面AB1D1，
∵PC1⊂平面BC1D，∴PC1∥平面AB1D1，C选项一定满足，D选项一定不满足．
故选C.
答案：C
11．解析：
正方体的直观图如图所示：
很显然，BM与ED不平行，A错误；
连接AN，AC，易知△ACN是等边三角形，CN与BM的夹角即为∠ANC＝60°，B正确；
很显然，CN∥BE，C错误；
DM与BN是异面直线，D正确．
故选BD.
答案：BD
12．解析：对于A，因为SD⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以SD⊥BC，则BC与SD所成角的大小为90°，A项符合．
对于B，因为底面ABCD是正方形，所以AB∥CD，则AB与SC所成的角为∠SCD＝45°，B项不符合．
对于C，因为AD∥BC，所以SB与AD所成的角为∠SBC，由题知tan∠SBC＝eq \f(SC,BC)＝eq \r(2)>1，所以∠SBC>45°，C项符合．
对于D，因为SD⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以SD⊥AC.
因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD.
又因为SD∩BD＝D，所以AC⊥平面SBD.
因为SB⊂平面SBD，所以AC⊥SB，则AC与SB所成角的大小为90°，D项符合．故选ACD.
答案：ACD
13．解析：
如图，根据中位线性质可知：EH∥FG且EH＝FG＝eq \f(1,2)BD，
所以四边形EFGH是平行四边形．
答案：平行四边形
14．解析：取A1B1中点F，连接AE、EF、AF，
则EF∥B1C1，又BC∥B1C1，则BC∥EF，
则∠AEF为异面直线AE与BC所成的角或其补角，
又△AEF中，EF⊥AF，EF＝2，AF＝eq \r(17)，则AE＝eq \r(21)，
则cs∠AEF＝eq \f(2,\r(21))＝eq \f(2\r(21),21)
则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为eq \f(2\r(21),21).
答案：eq \f(2\r(21),21)
15．解析：（1）在正方体ABCD­A1B1C1D1中，有AB∥C1D1，
所以∠B1EB即为直线B1E与直线C1D1所成角，
在Rt△B1EB中，易知BE＝1，BB1＝2，
所以tan∠B1EB＝eq \f(BB1,BE)＝2，
所以直线B1E与直线C1D1所成角的正切值为2.
（2）在正方形ABB1A1中，
有＝－S△AEF－－＝eq \f(3,2)，
又DA⊥平面ABB1A1.
所以＝eq \f(1,3)××DA＝1，
即三棱锥D­B1EF的体积为1.
16．解析：
设底面圆的半径为r，母线长为R，因为圆锥的侧面积等于底面的3倍，
所以eq \f(1,2)·2πr·R＝3πr2，即R＝3r，因为直线与直线所成角的范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以当直线l与底面圆相切时，直线l与母线所成角最大为eq \f(π,2)，则该直线l与母线所成的角的余弦值的最小值为cseq \f(π,2)＝0；当直线l过底面圆的圆心时，由线面角的定义可知，此时直线l与母线所成角最小，则该直线l与母线所成的角的余弦值的最大值为eq \f(OC,AC)＝eq \f(r,R)＝eq \f(1,3)，即该直线l与母线所成的角的余弦值的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))).故选A.
答案：A
17．证明：
（1）分别延长D1F，DA，交于点P，
∵P∈DA，DA⊂平面ABCD，
∴P∈平面ABCD.
∵F是AA1的中点，FA∥D1D，
∴A是DP的中点，
连接CP，∵AB∥DC，
∴CP，AB的交点为线段AB的中点，即为E，
∴CE，D1F，DA三线共点于P.
（2）假如直线BC和直线D1F不是异面直线，则存在一个平面α，使得BC⊂α，D1F⊂α，
由于在正方体中AD∥BC，BC⊂α，AD⊄α，
因此AD∥α，
又因为AD⊂平面ADD1A1，且平面ADD1A1∩α＝D1F，
故AD∥D1F，在正方形ADD1A1中，显然AD，D1F不平行，故矛盾，
因此假设不成立，即直线BC和直线D1F是异面直线．