2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业五十六直线与抛物线

这是一份2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业五十六直线与抛物线，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．过点(－1，0)且倾斜角为45°的直线与抛物线y2＝4x的位置关系是( )
A．相交且有两公共点
B．相交且有一公共点
C．有一公共点且相切
D．无公共点
2．直线y＝x－1过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，且与C交于A、B两点，则|AB|＝( )
A．6B．8
C．2D．4
3．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若|AB|＝6，则线段AB的中点M到抛物线C的准线的距离为( )
A．3B．4
C．5D．6
4．[2023·安徽芜湖模拟]设动圆圆心为P，该动圆过定点F(a，0)，且与直线x＝－a相切(a>0)，圆心P轨迹为曲线C.过点F的直线l与x轴垂直，若直线l与曲线C交于A，B两点，则|AB|＝( )
A．eq \f(a,2)B．a
C．2aD．4a
5．[2023·辽宁大连期末]直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点，|AB|＝4，若AB的中点到y轴的距离为1，则p的值是( )
A．1B．2
C．3D．4
6．过抛物线x2＝8y焦点F的直线交抛物线于M，N两点，若eq \(MF,\s\up6(→))＝λeq \(FN,\s\up6(→))，|MN|＝9，则λ的值为( )
A．eq \f(1,3)B．eq \f(1,2)
C．eq \f(1,3)或3D．eq \f(1,2)或2
7．(能力题)[2023·安徽黄山模拟]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点R(2，1)的直线l与抛物线C交于A、B两点，R为线段AB的中点，若|FA|＋|FB|＝5，则直线l的斜率为( )
A．eq \f(1,2)B．1
C．2D．4
8．(能力题)[2023·山东泰安模拟]已知以F为焦点的抛物线y2＝－2x上的两点A，B(点A的横坐标大于点B的横坐标)，满足eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝λeq \(FA,\s\up6(→))(O为坐标原点)，弦AB的中点M的横坐标为－eq \f(5,6)，则实数λ＝( )
A．eq \f(3,2)B．eq \f(4,3)
C．3D．4
二、多项选择题
9．[2023·河北衡水模拟]已知抛物线E：y2＝8x的焦点为F，点M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线E上，过F作MN的垂线交抛物线E于A，B两点，若y1＋y2＝8，则( )
A．MN的中点纵坐标为4
B．直线MN的斜率为1
C．|AB|＝10
D．AB的中点横坐标为6
10．(能力题)[2023·山东聊城模拟]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，则( )
A．C的准线方程为x＝－2
B．若|AF|＝4，则|OA|＝eq \r(21)
C．若|AF|·|BF|＝4p2，则l的斜率为±eq \f(\r(3),3)
D．过点A作准线的垂线，垂足为H，若x轴平分∠HFB，则|AF|＝4
三、填空题
11．[2023·江西临川一中期末]设O为坐标原点，直线x＝2与拋物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为________．
12．(能力题)[2023·广东肇庆模拟]抛物线C：y2＝2px的焦点为F(eq \f(1,2)，0)，则p＝______，过F的直线l与C交于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为1，则|AB|＝________．
四、解答题
13．已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线过点P(2，1).
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点，求直线l的方程；
(3)过点Q(1，1)作直线交抛物线于A、B两点，使得Q恰好平分线段AB，求直线AB的方程．
14．[2023·河南南阳模拟]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)与直线y＝x＋2相切．
(1)求C的方程；
(2)(能力题)过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，AB的中垂线与C的准线交于点P，若|PA|＝eq \f(\r(3),2)|AB|，求l的方程．
优生选做题
15．[2023·河南郑州模拟]已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，则|AF|＋4|BF|的最小值为( )
A．6B．9
C．12D．15
16．[2023·广东茂名模拟]设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过第一象限内的抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C(2p，0)，AF与BC相交于点D.若|CF|＝|AF|，且△ACD的面积为eq \f(9\r(2),2)，则直线AC的斜率k＝________，抛物线的方程为________________.
课时作业（五十六） 直线与抛物线
1．解析：直线方程为y＝x＋1，与y2＝4x联立可得（x＋1）2＝4x⇒x2－2x＋1＝0，Δ＝0且有重根x＝1，∴该直线与抛物线y2＝4x有唯一公共点且相切．
故选C.
答案：C
2．解析：因为抛物线C：y2＝2px（p>0）的焦点坐标为F（eq \f(p,2)，0），
又直线y＝x－1过抛物线C：y2＝2px（p>0）的焦点F，所以p＝2，抛物线C的方程为y2＝4x，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x－1,y2＝4x))，得x2－6x＋1＝0，所以xA＋xB＝6，所以|AB|＝xA＋xB＋p＝6＋2＝8.
故选B.
答案：B
3．解析：分别过A，M，B作准线的垂线，垂足分别为A1，M1，B1，
则|MM1|＝eq \f(|AA1|＋|BB1|,2)＝eq \f(|AB|,2)＝3.
故选A.
答案：A
4．解析：由题意，P到F的距离等于P到直线x＝－a的距离，
根据抛物线的定义可知，曲线C的轨迹为y2＝4ax，
再根据直线x＝a与x轴垂直且直线l与曲线C交于A，B两点，
从而可知eq \f(|AB|,2)＝a＋a⇒|AB|＝4a.
故选D.
答案：D
5．解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点横坐标为eq \f(x1＋x2,2)＝1，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4，所以2＋p＝4，解得p＝2.
故选B.
答案：B
6．解析：在抛物线中，由焦点弦的性质可得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,|MF|)＋\f(1,|NF|)＝\f(2,p)＝\f(1,2),|MF|＋|NF|＝9))，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|MF|＝6,|NF|＝3))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|MF|＝3,|NF|＝6))，
所以λ＝2或eq \f(1,2).
故选D.
答案：D
7．解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），抛物线C：y2＝2px（p>0）的准线为x＝－eq \f(p,2)，
因R（2，1）为线段AB的中点，则x1＋x2＝4，又|FA|＋|FB|＝x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝4＋p＝5，解得p＝1，
则抛物线C的方程为y2＝2x，有x1＝eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,2)，x2＝eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,2)，y1＋y2＝2，显然直线l的斜率存在，
所以直线l的斜率k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(y1－y2,\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,2)－\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,2))＝eq \f(2,y1＋y2)＝1.
故选B.
答案：B
8．解析：由题意可得抛物线y2＝－2x的焦点F（－eq \f(1,2)，0）.
弦AB的中点M的横坐标为－eq \f(5,6)，
由已知条件可知直线AB的斜率存在．
设直线AB的方程为y＝k（x＋eq \f(1,2)），A（x1，y1），B（x2，y2）（x1>x2），
则联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝－2x，,y＝k（x＋\f(1,2)）))，消去y得k2x2＋（k2＋2）x＋eq \f(k2,4)＝0，
∴x1x2＝eq \f(1,4)，又因为弦AB的中点M的横坐标为－eq \f(5,6)，
∴x1＋x2＝－eq \f(5,3)，∴x1＝－eq \f(1,6)，x2＝－eq \f(3,2)，
∴点A到准线的距离为|FA|＝|x1|＋eq \f(1,2)＝eq \f(2,3)，
点B到准线的距离为|FB|＝|x2|＋eq \f(1,2)＝2，
所以eq \f(|FA|,|FB|)＝eq \f(1,3)，∴eq \f(|FA|,|AB|)＝eq \f(1,4)，
又eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝λeq \(FA,\s\up6(→))，故λ＝4.
故选D.
答案：D
9．解析：由题意得：点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线E上，且y1＋y2＝8，
故eq \f(y1＋y2,2)＝4，即MN的中点纵坐标为4，故A正确；
由题意可知当MN斜率不存在时，过F作MN的垂线不会交抛物线E于A，B两点，
故设MN直线方程为y＝kx＋m，联立E：y2＝8x，
得y2－eq \f(8,k)y＋eq \f(8m,k)＝0，则y1＋y2＝eq \f(8,k)＝8，k＝1，故B正确；
由题意可设AB的方程为y＝－x＋2，联立E：y2＝8x，
得x2－12x＋4＝0，则x1＋x2＝12，
则|AB|＝x1＋x2＋4＝16，故C错误；
AB的中点横坐标为eq \f(x1＋x2,2)＝6，故D正确．
故选ABD.
答案：ABD
10．解析：对于A：因为抛物线C：y2＝2px（p>0）的焦点F到准线的距离为2，所以p＝2，
所以抛物线方程为y2＝4x，则焦点F（1，0），准线为x＝－1，故A错误；
对于B：若|AF|＝4，则xA＝3，所以y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(A)) ＝4xA＝12，所以|OA|＝eq \r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(A)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(A)) )＝eq \r(21)，故B正确；
对于C：可设A（x1，y1），B（x2，y2），
直线AB的方程为x＝my＋1，与抛物线y2＝4x联立，
消去x，可得y2－4my－4＝0，
可得y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，
由抛物线的定义可得|AF|·|BF|＝（x1＋1）（x2＋1）＝（my1＋2）（my2＋2）＝16，
即m2y1y2＋2m（y1＋y2）＋4＝16，即－4m2＋8m2＋4＝16，
解得m＝±eq \r(3)，则直线AB的斜率为±eq \f(\r(3),3)，故C正确；
对于D：若x轴平分∠HFB，则∠OFH＝∠OFB，又AH∥x轴，
所以∠AHF＝∠OFH＝∠OFB＝∠AFH，所以HF＝AF＝AH，
所以eq \f(xA＋xH,2)＝xF，即xA＝3，所以|AF|＝xA＋1＝4，故D正确．
故选BCD.
答案：BCD
11．解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2,y2＝2px))得y＝±2eq \r(p)，不妨令D（2，2eq \r(p)），E（2，－2eq \r(p)），
∴eq \(OD,\s\up6(→))＝（2，2eq \r(p)），eq \(OE,\s\up6(→))＝（2，－2eq \r(p)），
∵OD⊥OE，∴eq \(OD,\s\up6(→))·eq \(OE,\s\up6(→))＝4－4p＝0，解得p＝1，
∴抛物线C：y2＝2x，
∴C的焦点坐标为（eq \f(1,2)，0）.
答案：（eq \f(1,2)，0）
12．解析：∵抛物线C：y2＝2px的焦点为F（eq \f(1,2)，0），
所以p＝1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝2x1，y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝2x2，
又AB的中点为M（x0，1），直线l的斜率为k，
所以eq \f(y1＋y2,2)＝1，
所以（y1－y2）（y1＋y2）＝2（x1－x2），
故eq \f(y1－y2,x1－x2)·eq \f(y1＋y2,2)＝1，故k＝1.
故l的方程为y＝x－eq \f(1,2)，所以x0＝1＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2).
故|AB|＝2（x0＋eq \f(p,2)）＝4.
答案：1 4
13．解析：（1）因为顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线过点P（2，1），
所以抛物线的焦点在y轴正半轴，设其方程为x2＝2py，
将点P（2，1）代入可得4＝2p，所以p＝2，
所以抛物线的标准方程为x2＝4y.
（2）当直线斜率不存在时，过点（2，1）的直线x＝2与抛物线x2＝4y有一个交点；
当直线斜率存在时，设直线斜率为k，直线方程为y－1＝k（x－2）.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝4y,y－1＝k（x－2）))，得x2－4kx＋8k－4＝0，
直线与抛物线只有一个交点，所以Δ＝16k2－4（8k－4）＝0，
解得k＝1，所以直线方程为y＝x－1.
综上，过点（2，1）与抛物线x2＝4y有且只有一个交点的直线方程为x＝2和y＝x－1.
（3）设点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB斜率为k，
点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，所以x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝4y1，x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝4y2，
所以x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝4（y1－y2），即k＝eq \f(x1＋x2,4)＝eq \f(1,2)，
所以直线方程为x－2y＋1＝0.
经检验，直线x－2y＋1＝0符合题意．
14．解析：（1）联立方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋2,y2＝2px))，消去x得y2－2py＋4p＝0，
∵抛物线C与直线y＝x＋2相切，则Δ＝（－2p）2－4×4p＝0，解得p＝4或p＝0（舍去），
故抛物线的方程C：y2＝8x.
（2）设l的方程为x＝my＋2，A（x1，y1），B（x2，y2），则线段AB的中点M（eq \f(x1＋x2,2)，eq \f(y1＋y2,2)），
过M作抛物线的准线x＝－2的垂线，垂足为N，则|AB|＝x1＋x2＋4，|MN|＝eq \f(x1＋x2,2)＋2，即|AB|＝2|MN|＝2|MA|，
∵|PA|＝eq \f(\r(3),2)|AB|，则|PM|＝eq \r(2)|MA|，
即|PM|＝eq \r(2)|MN|，
∴|PN|＝|MN|，
联立方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝my＋2,y2＝8x))，消去x得y2－8my－16＝0，
Δ＝64m2＋64>0，y1＋y2＝8m，
则M（4m2＋2，4m），N（－2，4m），AB的中垂线的方程为mx＋y－4m3－6m＝0，
∴P（－2，4m3＋8m），则|PN|＝|4m3＋4m|，|MN|＝4m2＋4，
即|4m3＋4m|＝4m2＋4，解得m＝±1，
故l的方程为x＋y－2＝0或x－y－2＝0.
15．解析：由题意，F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），
若直线AB的斜率存在，设为k，则直线的方程为y＝k（x－1），
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝4x,y＝k（x－1）))，即k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0，x1x2＝1，
又|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，x1>0，x2>0，
则|AF|＋4|BF|＝x1＋1＋4（x2＋1）＝x1＋4x2＋5＝eq \f(1,x2)＋4x2＋5≥2eq \r(\f(1,x2)×4x2)＋5＝9，
当且仅当x1＝4x2＝2时取等号．
若直线AB的斜率不存在，则直线的方程为x＝1，则|AF|＝|BF|＝2，此时|AF|＋4|BF|＝10>9.
综上，|AF|＋4|BF|的最小值为9.
故选B.
答案：B
16．解析：如图所示，F（eq \f(p,2)，0），C（2p，0）.
∴|CF|＝eq \f(3p,2).
∵AB∥x轴，|CF|＝|AF|，|AB|＝|AF|，
∴|CF|＝|AB|，
∴四边形ABFC为平行四边形，
∴|CF|＝|AB|＝eq \f(3p,2)，|CD|＝|BD|.
∴xA＋eq \f(p,2)＝eq \f(3p,2)，解得xA＝p，
代入y2＝2px可取yA＝eq \r(2)p，
∴S△ACD＝eq \f(1,2)S△ABC＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(3p,2)×eq \r(2)p＝eq \f(9\r(2),2)，
解得p＝2eq \r(3).∴y2＝4eq \r(3)x，
∴kAC＝eq \f(\r(2)p－0,p－2p)＝－eq \r(2).
答案：－eq \r(2) y2＝4eq \r(3)x