中考数学专题08 一元二次方程（学案含解析）

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中考数学一轮复习学案
08 一元二次方程

中考命题说明



考点
课标要求
考查角度
1
一元二次方程的解法
了解一元二次方程的概念，理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程．
常以选择题、填空题、解答题的形式考查一元二次方程的定义和解法．有时会要求用指定的方法解方程，以考查是否全面掌握了一元二次方程的解法．
2
一元二次方程根的判别式
了解一元二次方程根的判别式，会用根的判别式判断一元二次方程根的情况．
常以选择题、填空题的形式考查一元二次方程根的判别式，部分地市以探究题的形式考查．
3
一元二次方程应用题
①能够根据具体问题中的数量关系，列出方程解决实际问题，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；
②能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
常以选择题、填空题的形式考查一元二次方程的列法，以列方程解应用题的形式考查解一元二次方程的基本思想和列方程解应用题的意识．


思维导图




知识点1：一元二次方程及有关概念

知识点梳理


1. 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．
2. 一般形式：ax2+bx+c=0（其中a、b、c为常数，a≠0），其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．
3. 一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程；（2）必须只含有1个未知数；（3）所含未知数的最高次数是2．
【注意】在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0．因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．
4. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
典型例题

【例1】下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2+1=0 B．
C．ax2+bx+c=0 D．(x+1)(x–1)=x2+x+1
【分析】A、是一元二次方程，故本选项符合题意；
B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、当a=0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、化简后为–1= x+1，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意，故选A．
【答案】A．
【例2】（2022•连云港）若关于x的一元二次方程mx2＋nx－1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则m＋n的值是
【考点】一元二次方程的定义；一元二次方程的解
【分析】把x＝1代入方程mx2＋nx－1＝0得到m＋n－1＝0的值即可．
【解答】解：把x＝1代入方程mx2＋nx－1＝0得m＋n－1＝0，
解得m＋n＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
【例3】（4分）（2021•广东14/25）若一元二次方程x2+bx+c=0（b，c为常数）的两根x1，x2满足-3＜x1＜-1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为 ．
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义解决问题即可，注意答案不唯一．
【解答】解：∵若一元二次方程x2+bx+c=0（b，c为常数）的两根x1，x2满足-3＜x1＜-1，1＜x2＜3，
∴满足条件的方程可以为：x2-2=0（答案不唯一），
故答案为：x2-2=0（答案不唯一）．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【例4】【（2022•遂宁）已知m为方程x2＋3x－2022＝0的根，那么m3＋2m2－2025m＋2022的值为（ ）
A．－2022 B．0 C．2022 D．4044
【考点】一元二次方程的解
【分析】将方程的根代入方程，化简得m3＋3m＝2022，将代数式变形，整体代入求值即可．
【解答】解：∵m为方程x2＋3x－2022＝0的根，
∴m 2＋3m－2022＝0，
∴m3＋3m＝2022，
∴原式＝m3＋3m2－m2－3m－2022m＋2022
＝m (m2＋3m)－(m2＋3m)－2022m＋2022
＝2022m－2022－2022m＋2022
＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，考查整体思想，将m3＋3m＝2022整体代入代数式求值是解题的关键．
知识点2：一元二次方程的解法

知识点梳理


1. 解一元二次方程的基本思想：转化思想，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解．
2. 常用方法：（1）直接开平方法：对于形如x2=p（p≥0）或(mx+n)2=p（p≥0）的方程，直接开平方．
（2）配方法：将一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）配方为(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解．
（3）公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式为（）．
（4）因式分解法：将一元二次方程通过分解因式变为(x-a)(x-b)=0的形式，进而得到x-a =0或x-b=0来求解．
3. 选择技巧：（1）若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为0，可考虑用因式分解法求解；
（2）若一元二次方程缺少一次项，可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；
（3）若一元二次方程的二次项系数为1，且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时，可考虑用配方法求解；
（4）若用以上三种方法都不容易求解时，可考虑用公式法求解.
典型例题

【例5】（3分）（2019·安徽省15/23）解方程：（x﹣1）2＝4．
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．
【分析】利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可．
【解答】解：两边直接开平方得：x﹣1＝±2，
∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，
解得：x1＝3，x2＝﹣1．
【点评】此题主要考查了直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
【例6】（2022•雅安）若关于x的一元二次方程x2＋6x＋c＝0配方后得到方程(x＋3)2＝2c，则c的值为（ ）
A．－3 B．0 C．3 D．9
【考点】解一元二次方程—配方法
【分析】把常数项c移项后，在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方得(x＋3)2＝－c＋9，可得2c＝－c＋9，解方程即可得c的值．
【解答】解：x2＋6x＋c＝0，
x2＋6x＝－c，
x2＋6x＋9＝－c＋9，
(x＋3)2＝－c＋9．
∵(x＋3)2＝2c，
∴2c＝－c＋9，解得c＝3，
故选：C．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【例7】（2022•甘肃）用配方法解方程x2－2x＝2时，配方后正确的是（ ）
A．(x＋1)2＝3 B．(x＋1)2＝6 C．(x－1)2＝3 D．(x－1)2＝6
【考点】解一元二次方程—配方法
【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【解答】解：x2－2x＝2，
x2－2x＋1＝2＋1，即(x－1)2＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
【例8】（2022•东营）一元二次方程x2＋4x－8＝2的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【考点】解一元二次方程—公式法
【分析】根据公式法解一元二次方程的步骤求解即可．
【解答】解：∵a＝1，b＝4，c＝－8，
∴，
则，
∴，，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
【例9】（2022•临沂）方程x2－2x－24＝0的根是（ ）
A．x1＝6，x2＝4 B．x1＝6，x2＝－4
C．x1＝－6，x2＝4 D．x1＝－6，x2＝－4
【考点】解一元二次方程因式分解法
【分析】利用十字相乘法因式分解即可．
【解答】解：x2－2x－24＝0，
(x－6)(x＋4)＝0，
x－6＝0或x＋4＝0，
解得x1＝6，x2＝－4，
故选：B．
【点评】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，掌握十字相乘法因式分解是解答本题的关键．
知识点3：一元二次方程的根的判别式
知识点梳理


1．一元二次方程根的判别式： b2－4ac 叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式．常用字母“”表示．
2. 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）：
（1）当=b2－4ac＞0⇔方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，即；
（2）当=b2－4ac＝0⇔方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，即；
（3）当=b2－4ac＜0⇔方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）没有实数根．
典型例题

【例10】（2022•河南）一元二次方程x2＋x－1=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
【考点】根的判别式
【分析】根据根的判别式进行判断即可．
【解答】解：在一元二次方程x2＋x－1=0中，
a＝1，b＝1，c＝－1，
∴，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题主要考查根的判别式，解答的关键是明确当时，原方程没有实数根；当时，原方程有两个相等的实数根；当时，原方程有两个不相等的实数根．
【例11】（2022•辽宁）下列一元二次方程无实数根的是（ ）
A．x2＋x－2＝0 B．x2－2x＝0 C．x2＋x＋5＝0 D．x2－2x＋1＝0
【考点】根的判别式
【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根判断即可．
【解答】解：A、，则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
B、，则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
C、，则该方程无实数根，故本选项符合题意；
D、，则该方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了根的判别式与方程解的关系，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，方程无实数根．
【例12】（2022•辽宁）若关于x的一元二次方程x2＋2x－k＋3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【考点】根的判别式
【分析】根据题意可得，从而可求得相应的k的范围．
【解答】解：∵一元二次方程x2＋2x－k＋3＝0有两个不相等的实数根，
∴，
即22－4×1×(－k＋3)＞0，
解得：k＞2．
故答案为：k＞2．
【点评】本题主要考查根的判别式，解答的关键是是熟记根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
【例13】（3分）（2021•河南7/23）若方程x2-2x+m=0没有实数根，则m的值可以是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
【考点】根的判别式．
【分析】根据根的判别式和已知条件得出，求出不等式的解集，再得出答案即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2-2x+m=0没有实数根，
∴，
解得：m＞1，
∴m只能为，
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，注意：已知一元二次方程、、为常数，，①当时，方程有两个不相等的实数根，②当时，方程有两个相等的实数根，③当时，方程没有实数根．
【例14】（2022•安顺）定义新运算a*b：对于任意实数a，b满足a*b＝(a＋b)(a－b)－1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如3*2＝(3＋2)(3－2)－1＝5－1＝4．若x * k＝2x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【考点】根的判别式；方程的定义；实数的运算
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算出根的判别式的值，判断即可．
【解答】解：根据题中的新定义化简得：(x＋k)(x－k)－1＝2x，
整理得：x2－2x－1－k2＝0，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】此题考查了根的判别式，方程的定义，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
知识点4：一元二次方程的根与系数的关系
知识点梳理


1. 一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有，．
2. 用根与系数的关系求值时的常见转化：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
典型例题

【例15】（2022•湖北）若一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个根是x1，x2，则x1·x2的值是 ．
【考点】根与系数的关系
【分析】根据根与系数的关系直接可得答案．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个根，
∴x1·x2＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
【例16】（2022•呼和浩特）已知x1，x2是方程x2－x－2022＝0的两个实数根，则代数式x13－2022 x1＋x22的值是（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
【考点】根与系数的关系
【分析】把x＝x1代入方程表示出x12－2022＝x1，代入原式利用完全平方公式化简，再根据根与系数的关系求出所求即可．
【解答】解：把x＝x1代入方程得：x12－x1－2022＝0，即x12－2022＝x1，
∵x1，x2是方程x2－x－2022＝0的两个实数根，
∵x1＋x2＝1，x1x2＝－2022，
则原式＝x1 (x12－2022)＋x22
＝x12＋x22
＝(x1＋x2)2－2 x1x2
＝1＋4044
＝4045．
故选：A．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
【例17】（2022•湖北）若关于x的一元二次方程x2－2mx＋m2－4m－1＝0有两个实数根x1，x2，且(x1＋2)(x2＋2)－2x1x2＝17，则m＝（ ）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
【考点】根的判别式
【分析】利用根与系数的关系表示出x1x2与x1＋x2，已知等式整理后代入计算即可求出m的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2－2mx＋m2－4m－1＝0有两个实数根x1，x2，
∴，即，且x1x2＝m2－4m－1，x1＋x2＝2m，
∵(x1＋2)(x2＋2)－2x1x2＝17，
∴x1x2＋2(x1＋x2)＋4－2x1x2＝17，即2(x1＋x2)＋4－x1x2＝17，
∴4m＋4－m2＋4m＋1＝17，即m2－8m＋12＝0，
解得：m＝2或m＝6．
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式，以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根与系数的关系是解本题的关键．
【例18】（3分）（2020•青海8/27）在解一元二次方程x2+bx+c=0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1=2，x2=3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1=1，x2=5．请你写出正确的一元二次方程 ．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解；一元二次方程的一般形式．
【分析】利用根与系数的关系得到2×3=c，1+5=-b，然后求出b、c即可．
【解答】解：根据题意得2×3=c，1+5=-b，
解得b=-6，c=6，
所以正确的一元二次方程为x2-6x+6=0．
故答案为x2-6x+6=0．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，，．
知识点5：一元二次方程的应用
知识点梳理


1. 列一元二次方程解应用题的步骤：
列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、找、设、列、解、验、答七步．
2. 常见类型：列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：
（1）增长率等量关系：
①增长率＝×100%；
②设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b；当m为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量时，则有a(1-m)n=b.例如：第一年产值为a，若以后每年的增长率均为x，则第二年的产值为a(1+x)，第三年的产值为a(1+x)2；若以后每年的降低率均为x，则第二年的产值为a(1–x)，第三年的产值为a(1–x)2．
（2）利润等量关系：
①利润＝售价-成本；
②利润率＝利润成本×100%.
③总利润=单件的利润×数量．
（3）面积问题：
充分利用各种图形对应的面积公式．
典型例题

【例19】（2022•新疆）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（ ）
A．8(1＋2x)＝11.52 B．2×8(1＋x)＝11.52
C．8(1＋x)2＝11.52 D．8(1＋x2)＝11.52
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【分析】设这两个月销售额的月平均增长率为x，先求出第二个月的销售额，再求第三个月的销售额，列出方程即可．
【解答】解：设这两个月销售额的月平均增长率为x，
第一个月的销售额为8万元，
第二个月的销售额为8(1＋x)万元，
第三个月的销售额为8(1＋x)2万元，
∴8(1＋x)2＝11.52，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，先求出第二个月的销售额，再求第三个月的销售额是解题的关键．
【例20】（2022•黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
【考点】一元二次方程的应用
【分析】设共有x支队伍参加比赛，根据“单循环比赛共进行了45场”列一元二次方程，求解即可．
【解答】解：设共有x支队伍参加比赛，
根据题意，可得，
解得x＝10或x＝－9（舍），
∴共有10支队伍参加比赛．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
【例21】（2022•青海）如图，小明同学用一张长11 cm，宽7 cm的矩形纸板制作一个底面积为21 cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为x cm，则可列出关于x的方程为 ．

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【分析】根据题意和图形，可以得到裁剪后的底面的长是(11－2x)cm，宽为(7－2x)cm，然后根据长方形的面积＝长×宽，可以列出相应的方程．
【解答】解：由题意可得：(11－2x) (7－2x)＝21，
故答案为：(11－2x) (7－2x)＝21．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是写出裁剪后的底面的长和宽．
【例22】（2022•宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．
（1）求4月份再生纸的产量；
（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%．5月份每吨再生纸的利润比上月增加，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值；
（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
【考点】一元一次方程的应用；一元二次方程的应用
【分析】（1）设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为(2x－100)吨，根据该厂3，4月份共生产再生纸800吨，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x的值，再将其代入(2x－100)中即可求出4月份再生纸的产量；
（2）利用月利润＝每吨的利润×月产量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，根据6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%，即可得出关于y的一元二次方程，化简后即可得出6月份每吨再生纸的利润．
【解答】解：（1）设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为(2x－100)吨，
依题意得：x＋2x－100＝800，
解得：x＝300，
∴2x－100＝2×300－100＝500．
答：4月份再生纸的产量为500吨．
（2）依题意得：，
整理得：m2＋300m－6400＝0，
解得：m1＝20，m2＝－320（不合题意，舍去）．
答：m的值为20．
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，
依题意得：1200(1＋y)2•a (1＋y)＝(1＋25%)×1200(1＋y)•a ，
∴1200(1＋y)2＝1500．
答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程（或一元二次方程）是解题的关键．
巩固训练

1．（2022•聊城）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为　　
A． B． C．2 D．
2．（2022•包头）若，是方程的两个实数根，则的值为　　
A．3或 B．或9 C．3或 D．或6
3．（2022•天津）方程的两个根为　　
A．， B．， C．， D．，
4．（2022•淮安）若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是　　
A． B． C．0 D．1
5．（2022•攀枝花）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
6．（2022•内蒙古）对于实数，定义运算“”为，例如，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
7．（2022•巴中）对于实数，定义新运算：※，若关于的方程1※有两个不相等的实数根，则的取值范围　　
A． B． C．且 D．且
8．（2022•鄂尔多斯）下列说法正确的是　　
①若二次根式有意义，则的取值范围是．
②．
③若一个多边形的内角和是，则它的边数是5．
④的平方根是．
⑤一元二次方程有两个不相等的实数根．
A．①③⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①②④
9．（2022•荆门）若函数为常数）的图象与轴只有一个交点，那么满足（ ）
A． B． C．或 D．或
10．（2022•西宁）关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022•西藏）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　
A． B． C．且 D．且
12．（2022•兰州）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则　　
A． B． C．0 D．1
13．（2022•北京）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为　　
A． B． C． D．4
14．（2022•新疆）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
15．（2022•黑龙江）下列方程没有实数根的是　　
A． B．
C． D．
16．（2022•青海）已知关于的方程的一个根为，则实数的值为　　
A．4 B． C．3 D．
17．（2022•宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元升，五月底是8.9元升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是　　
A． B．
C． D．
18．（2022•重庆）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是　　
A． B．
C． D．
19．（2022•重庆）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是　　
A． B．
C． D．
20．（2022•南通）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是　　
A． B． C． D．
21．（2022•资阳）若是一元二次方程的一个根，则的值是 ．
22．（2022•衢州）将一个容积为的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中满足的一元二次方程： （不必化简）．

23．（2022•广东）若是方程的根，则 ．
24．（2022•荆州）一元二次方程配方为，则的值是 ．
25．（2022•梧州）一元二次方程的根是 ．
26．（2022•云南）方程的解为 ．
27．（2022•上海）已知有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
28．（2022•安徽）若一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
29．（2022•江西）关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
30．（2022•鄂州）若实数、分别满足，，且，则的值为 ．
31．（2022•绥化）设与为一元二次方程的两根，则的值为 ．
32．（2022•上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为 ．
33．（2022•齐齐哈尔）解方程：．
34．（2022•徐州）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
35．（2022•无锡）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
36．（2022•贵阳）（1），两个实数在数轴上的对应点如图所示．
用“”或“”填空：　　，　　0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法；它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①；②；③；④．

37．（2022•凉山州）解方程：．
38．（2022•山西）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道，一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象（称为抛物线）与轴交点的横坐标．抛物线与轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与轴的交点个数确定一元二次方程根的情况．
下面根据抛物线的顶点坐标，和一元二次方程根的判别式△，分别分和两种情况进行分析：
（1）时，抛物线开口向上．
①当△时，有．，顶点纵坐标．
顶点在轴的下方，抛物线与轴有两个交点（如图．
②当△时，有．，顶点纵坐标．
顶点在轴上，抛物线与轴有一个交点（如图．
一元二次方程有两个相等的实数根．
③当△时，

（2）时，抛物线开口向下．

任务：（1）上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是　　 （从下面选项中选出两个即可）；
．数形结合
．统计思想
．分类讨论
．转化思想
（2）请参照小论文中当时①②的分析过程，写出③中当，△时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；
（3）实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识．例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为 　　．

39．（2022•黄石）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程的解为　　 ；
（2）间接应用：
已知实数，满足：，且，求的值；
（3）拓展应用：
已知实数，满足：，且，求的值．
40．（2022•德州）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为，．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．
（1）若扩充后的矩形绿地面积为，求新的矩形绿地的长与宽；
（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为．求新的矩形绿地面积．

41．（2022•泰州）如图，在长为、宽为的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为，道路的宽应为多少？

42．（2022•毕节市）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进、两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润销售价进货价）
类别
价格
款钥匙扣
款钥匙扣
进货价（元件）
30
25
销售价（元件）
45
37
（1）网店第一次用850元购进、两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
（2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进、两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）冬奥会临近结束时，网店打算把款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
43．（2022•眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
巩固训练解析

1．（2022•聊城）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为　　
A． B． C．2 D．
【考点】解一元二次方程配方法
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
【解答】解：，
，
，
则，即，
，，
．
故选：．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
2．（2022•包头）若，是方程的两个实数根，则的值为　　
A．3或 B．或9 C．3或 D．或6
【考点】解一元二次方程因式分解法
【分析】先用因式分解法解出方程，然后分情况讨论，然后计算．
【解答】解：，
，
或，
①，时，，
②，时，，
故选：．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程因式分解法，掌握因式分解法解出方程的步骤，分情况讨论是解题关键．
3．（2022•天津）方程的两个根为　　
A．， B．， C．， D．，
【考点】解一元二次方程因式分解法
【分析】根据解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
或，
，，
故选：．
【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键．
4．（2022•淮安）若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是　　
A． B． C．0 D．1
【考点】根的判别式
【分析】根据根的判别式列出不等式求出的范围即可求出答案．
【解答】解：一元二次方程没有实数根，
△，
，
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△时，方程无实数根”是解题的关键．
5．（2022•攀枝花）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【考点】根的判别式
【分析】根据判别式的意义得到△，解不等式即可．
【解答】解：关于的方程有实数根，
△，
解得，
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．
6．（2022•内蒙古）对于实数，定义运算“”为，例如，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【考点】实数的运算；根的判别式
【分析】根据运算“”的定义将方程转化为一般式，由根的判别式△，即可得出该方程有两个不相等的实数根．
【解答】解：，
，
，
△，
关于的方程有两个不相等的实数根．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式和实数的运算，牢记“当△时，方程有两个不相等的实数根”是解决问题的关键．
7．（2022•巴中）对于实数，定义新运算：※，若关于的方程1※有两个不相等的实数根，则的取值范围　　
A． B． C．且 D．且
【考点】根的判别式；实数的运算
【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式求解即可．
【解答】解：根定义新运算，得，
即，
关于的方程1※有两个不相等的实数根，
△，
解得：，
故选：．
【点评】本题考查一元二次方程的根的判别式，新定义等，熟练掌握根的判别式△与根的情况的关系是解题的关键．
8．（2022•鄂尔多斯）下列说法正确的是　　
①若二次根式有意义，则的取值范围是．
②．
③若一个多边形的内角和是，则它的边数是5．
④的平方根是．
⑤一元二次方程有两个不相等的实数根．
A．①③⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①②④
【考点】根的判别式；二次根式有意义的条件；估算无理数的大小；多边形内角与外角
【分析】根据二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形的内角和定理，根的判别式判断即可．
【解答】解：①若二次根式有意义，则，解得．
故的取值范围是，题干的说法是错误的．
②，故题干的说法是错误的．
③若一个多边形的内角和是，则它的边数是5是正确的．
④的平方根是，故题干的说法是错误的．
⑤△，
一元二次方程有两个不相等的实数根，故题干的说法是正确的．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．也考查了二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形．
9．（2022•荆门）若函数为常数）的图象与轴只有一个交点，那么满足（ ）
A． B． C．或 D．或
【考点】根的判别式；一次函数的性质
【分析】由题意分两种情况：①函数为二次函数，函数的图象与轴恰有一个交点，可得△，从而解出值；②函数为一次函数，此时，从而求解．
【解答】解：①函数为二次函数，，
△，
，
②函数为一次函数，
，
的值为或0；
故选：．
【点评】此题考查根的判别式，一次函数的性质，对函数的情况进行分类讨论是解题的关键．
10．（2022•西宁）关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点】根的判别式
【分析】利用△的符号求出的范围．
【解答】解：关于的一元二次方程没有实数根，
△，
，
，
．
故选．
【点评】本题考查一元二次方程解的情况，掌握一元二次方程没有实数根的条件是求解本题的关键．
11．（2022•西藏）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　
A． B． C．且 D．且
【考点】根的判别式
【分析】利用一元二次方程有实数根的条件得到关于的不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：且．
故选：．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，利用已知条件得到关于的不等式组是解题的关键．
12．（2022•兰州）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则　　
A． B． C．0 D．1
【考点】根的判别式
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后解关于的方程即可．
【解答】解：根据题意得且△，
解得．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
13．（2022•北京）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为　　
A． B． C． D．4
【考点】根的判别式
【分析】根据根的判别式的意义得到，然后解一次方程即可．
【解答】解：根据题意得△，
解得．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
14．（2022•新疆）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【考点】根的判别式
【分析】根据关于的一元二次方程有两个实数根，可知△，可以求得的取值范围．
【解答】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
△，
解得，
故选：．
【点评】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方程有实数根时，△．
15．（2022•黑龙江）下列方程没有实数根的是　　
A． B．
C． D．
【考点】根的判别式
【分析】分别计算出判别式△的值，然后根据△的意义分别判断即可．
【解答】解：、方程变形为：，△，所以方程有两个不相等的实数根，故选项不符合题意；
、△，所以方程有两个不相等的实数根，故选项不符合题意；
、△，所以方程没有实数根，故选项符合题意；
、方程变形为：，△，所以方程有两个不相等的实数根，故选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程，，，为常数）的根的判别式△．当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．
16．（2022•青海）已知关于的方程的一个根为，则实数的值为　　
A．4 B． C．3 D．
【考点】根与系数的关系
【分析】根据方程根的定义，将代入方程，解出的值即可．
【解答】解：关于的方程的一个根为，
所以
解得．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握由方程的根求待定系数的方法是将根代入方程求解．
17．（2022•宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元升，五月底是8.9元升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是　　
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【分析】利用该地92号汽油五月底的价格该地92号汽油三月底的价格该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率），即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得，
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的感觉．
18．（2022•重庆）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是　　
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【分析】设该快递店揽件日平均增长率为，关系式为：第三天揽件数第一天揽件数揽件日平均增长率），把相关数值代入即可．
【解答】解：设该快递店揽件日平均增长率为，
根据题意，可列方程：，
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．
19．（2022•重庆）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是　　
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【分析】第三年的植树量第一年的植树量年平均增长率），把相关数值代入即可．
【解答】解：根据题意得：，
故选：．
【点评】考查列一元二次方程解决实际问题，读懂题意，找到等量关系列方程是解决本题的关键．
20．（2022•南通）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是　　
A． B． C． D．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】设该超市的月平均增长率为，根据等量关系：1月份盈利额增长率）月份的盈利额列出方程求解即可．
【解答】解：设从1月到3月，每月盈利的平均增长率为，由题意可得：
，
解得：，（舍去），
答：每月盈利的平均增长率为．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，增长率增长数量原数量．如：若原数是，每次增长的百分率为，则第一次增长后为；第二次增长后为，即 原数增长百分率）后来数．
21．（2022•资阳）若是一元二次方程的一个根，则的值是 ．
【考点】一元二次方程的解
【分析】将代入，即可得出，再把整体代入，即可得出答案．
【解答】解：是一元二次方程的一个根，
，
，
，
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想的应用是本题的关键．
22．（2022•衢州）将一个容积为的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中满足的一元二次方程： （不必化简）．

【考点】一元二次方程的定义；一元二次方程的解；几何体的展开图
【分析】根据题意表示出长方体的长与宽，进而表示出长方体的体积即可．
【解答】解：由题意可得：长方体的高为：，宽为：，
则根据题意，列出关于的方程为：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了有实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出长方体的棱长是解题关键．
23．（2022•广东）若是方程的根，则 ．
【考点】一元二次方程的解
【分析】把代入方程中，计算即可得出答案．
【解答】解：把代入方程中，
得，
解得．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，应用一元二次方程的解的定义进行求解是解决本题的关键．
24．（2022•荆州）一元二次方程配方为，则的值是 ．
【考点】解一元二次方程配方法
【分析】根据配方法可以将题目中方程变形，然后即可得到的值．
【解答】解：，
，
，
，
一元二次方程配方为，
，
故答案为：1．
【点评】本题考查解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是明确题意，会用配方法将方程变形．
25．（2022•梧州）一元二次方程的根是 ．
【考点】解一元二次方程因式分解法
【分析】利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：，
或，
，，
故答案为：，．
【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键．
26．（2022•云南）方程的解为 ．
【考点】解一元二次方程因式分解法
【分析】方程利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：，
，
，
解得：，．
故答案为：，．
【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：掌握十字相乘法解方程是本题的关键．
27．（2022•上海）已知有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
【考点】根的判别式
【分析】由根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
【解答】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
△，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据二次项系数非零及根的判别式△，找出关于的一元一次不等式是解题的关键．
28．（2022•安徽）若一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
【考点】根的判别式
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△，解之即可得出结论．
【解答】解：一元二次方程有两个相等的实数根，
△，
解得：．
．
故答案为：2．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，牢记“当△时，方程有两个相等实数根”是解题的关键．
29．（2022•江西）关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
【考点】根的判别式
【分析】根据根的判别式△，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值．
【解答】解：关于的方程有两个相等的实数根，
△，
解得：．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
30．（2022•鄂州）若实数、分别满足，，且，则的值为 ．
【考点】根与系数的关系
【分析】由实数、分别满足，，且，知、可看作方程的两个不相等的实数根，据此可得，，将其代入到原式即可得出答案．
【解答】解：实数、分别满足，，且，
、可看作方程的两个不相等的实数根，
则，，
则原式，
故答案为：．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是根据方程的特点得出、可看作方程的两个不相等的实数根及韦达定理．
31．（2022•绥化）设与为一元二次方程的两根，则的值为 ．
【考点】根与系数的关系
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：，，



，
故答案为：20．
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．
32．（2022•上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为 ．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】设平均每月的增长率为，根据5月份的营业额为25万元，7月份的营业额为36万元，表示出7月的营业额，即可列出方程解答．
【解答】解：设平均每月的增长率为，
由题意得，
解得，（不合题意，舍去）
所以平均每月的增长率为．
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于的一元二次方程是解题的关键．
33．（2022•齐齐哈尔）解方程：．
【考点】解一元二次方程直接开平方法
【分析】方程开方转化为一元一次方程，求出解即可．
【解答】解：方程：，
开方得：或，
解得：，．
【点评】此题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
34．（2022•徐州）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组；解一元二次方程配方法
【分析】（1）方程移项后，利用完全平方公式配方，开方即可求出解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：（1）方程移项得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，；
（2），
由①得：，
由②得：，
则不等式组的解集为．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及解一元二次方程配方法，熟练掌握不等式组的解法及方程的解法是解本题的关键．
35．（2022•无锡）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
【考点】解一元二次方程配方法；解一元一次不等式组
【分析】（1）根据配方法可以解答此方程；
（2）先解出每个不等式，然后即可得到不等式组的解集．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
解得，；
（2），
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
原不等式组的解集是．
【点评】本题考查解一元二次方程、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法和解一元一次不等式组的方法．
36．（2022•贵阳）（1），两个实数在数轴上的对应点如图所示．
用“”或“”填空：　　，　　0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法；它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①；②；③；④．

【考点】实数与数轴；解一元二次方程配方法；解一元二次方程公式法；解一元二次方程因式分解法
【分析】（1）先根据数轴确定、的正负，再利用乘法法则确定；
（2）根据方程的系数特点，选择配方法、公式法或因式分解法．
【解答】解：（1）由数轴上点的坐标知：，
，．
故答案为：，．
（2）①利用公式法：，
△

，



．
，；
②利用因式分解法：，
．
，；
③利用配方法：，
两边都加上4，得，
．
．
，；
④利用因式分解法：，
．
，．
【点评】本题考查了数轴、一元二次方程的解法，掌握数轴的意义、一元二次方程的解法是解决本题的关键．
37．（2022•凉山州）解方程：．
【考点】解一元二次方程因式分解法
【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答．
【解答】解：原方程可以变形为
或
，．
【点评】熟练运用因式分解法解一元二次方程．注意：常数项应分解成两个数的积，且这两个的和应等于一次项系数．
38．（2022•山西）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道，一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象（称为抛物线）与轴交点的横坐标．抛物线与轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与轴的交点个数确定一元二次方程根的情况．
下面根据抛物线的顶点坐标，和一元二次方程根的判别式△，分别分和两种情况进行分析：
（1）时，抛物线开口向上．
①当△时，有．，顶点纵坐标．
顶点在轴的下方，抛物线与轴有两个交点（如图．
②当△时，有．，顶点纵坐标．
顶点在轴上，抛物线与轴有一个交点（如图．
一元二次方程有两个相等的实数根．
③当△时，

（2）时，抛物线开口向下．

任务：（1）上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 　　（从下面选项中选出两个即可）；
．数形结合
．统计思想
．分类讨论
．转化思想
（2）请参照小论文中当时①②的分析过程，写出③中当，△时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；
（3）实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识．例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为 　　．

【考点】根的判别式
【分析】（1）根据上面小论文中的分析过程，体现的数学思想主要是数形结合和分类讨论的思想；
（2）参照小论文中的分析过程可得；
（3）除一元二次方程外，初中数学中，用函数观点还可以认识二元一次方程组的解，认识一元一次不等式的解集等．
【解答】解：（1）上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是；
故答案为：；
（2）时，抛物线开口向上，
当△时，有．
，
顶点纵坐标
顶点在轴的上方，抛物线与轴无交点，如图，

一元二次方程无实数根；
（3）可用函数观点认识二元一次方程组的解；
故答案为：可用函数观点认识二元一次方程组的解（答案不唯一）．
【点评】本题考查了根的判别式，用函数观点认识方程、方程组以及不等式的关系，体现了数形结合数学的思想．
39．（2022•黄石）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程的解为 　，，，　；
（2）间接应用：
已知实数，满足：，且，求的值；
（3）拓展应用：
已知实数，满足：，且，求的值．
【考点】根与系数的关系；幂的乘方与积的乘方
【分析】（1）利用换元法降次解决问题；
（2）模仿例题解决问题即可；
（3）令，，则，，再模仿例题解决问题．
【解答】解：（1）令，则有，
，
，，
或3，
，，，；
故答案为：，，，；
（2），
或，
①当时，令，．
，则，，
，是方程的两个不相等的实数根，
，
此时．
②当时，，此时，
综上所述，或．
（3）令，，则，，
，
，即，
，是方程的两个不相等的实数根，
，
故．
【点评】本题考查根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题．
40．（2022•德州）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为，．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．
（1）若扩充后的矩形绿地面积为，求新的矩形绿地的长与宽；
（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为．求新的矩形绿地面积．

【考点】一元一次方程的应用；一元二次方程的应用
【分析】（1）设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，根据扩充后的矩形绿地面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，将其正值分别代入及中，即可得出结论；
（2）设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，根据实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值，再利用矩形的面积计算公式，即可求出新的矩形绿地面积．
【解答】解：（1）设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，
根据题意得：，
整理得：
解得：，（不符合题意，舍去），
，．
答：新的矩形绿地的长为，宽为．
（2）设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，
根据题意得：，
即，
解得：，
．
答：新的矩形绿地面积为．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
41．（2022•泰州）如图，在长为、宽为的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为，道路的宽应为多少？

【考点】一元二次方程的应用
【分析】要求路宽，就要设路宽应为米，根据题意可知：矩形地面所修路面积草坪面积，利用平移更简单，依此列出等量关系解方程即可．
【解答】解：设路宽应为米
根据等量关系列方程得：，
解得：或40，
40不合题意，舍去，
所以，
答：道路的宽应为4米．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
42．（2022•毕节市）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进、两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润销售价进货价）
类别
价格
款钥匙扣
款钥匙扣
进货价（元件）
30
25
销售价（元件）
45
37
（1）网店第一次用850元购进、两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
（2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进、两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）冬奥会临近结束时，网店打算把款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
【考点】二元一次方程组的应用；一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用
【分析】（1）设购进款钥匙扣件，款钥匙扣件，利用总价单价数量，结合该网店第一次用850元购进、两款钥匙扣共30件，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进件款钥匙扣，则购进件款钥匙扣，利用总价单价数量，结合总价不超过2200元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设再次购进的、两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每件的销售利润销售数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；
（3）设款钥匙扣的售价定为元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，利用平均每天销售款钥匙扣获得的总利润每件的销售利润平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设购进款钥匙扣件，款钥匙扣件，
依题意得：，
解得：．
答：购进款钥匙扣20件，款钥匙扣10件．
（2）设购进件款钥匙扣，则购进件款钥匙扣，
依题意得：，
解得：．
设再次购进的、两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为元，则．
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值，此时．
答：当购进40件款钥匙扣，40件款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元．
（3）设款钥匙扣的售价定为元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为90元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
43．（2022•眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
【考点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的应用
【分析】（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，利用2021年投入资金金额年投入资金金额年平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设该市在2022年可以改造个老旧小区，根据2022年改造老旧小区所需资金不多于2022年投入资金金额，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为．
（2）设该市在2022年可以改造个老旧小区，
依题意得：，
解得：，
又为整数，
的最大值为18．
答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．