中考数学专题09 分式方程（学案含解析）

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中考数学一轮复习学案
09 分式方程

中考命题说明



考点
课标要求
考查角度
1
分式方程的定义和相关概念
会解可化为一元一次方程的分式方程．
常以选择题、填空题、解答题的形式考查分式方程的定义和解法．
2
分式方程的实际应用
会解决分式方程的实际应用问题，能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
常以选择题、填空题的形式考查分式方程的列法，以列方程解应用题的形式考查解分式方程的基本思想和列方程解应用题的意识．

思维导图



知识点1：分式方程及其解法

知识点梳理


1．分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程．
2．解分式方程的一般方法：
（1）解分式方程的基本思想：
把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解．
（2）解分式方程的一般方法和步骤：
①去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；
②解整式方程：去括号、移项、合并同类项等；
③检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．
简称为一化，二解，三检验．

3．分式方程的特殊解法——换元法：
换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法．
4．增根：使分式方程的最简公分母为0的根． 
（1）产生增根的原因：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，将其转化为整式方程后没有此条件限制了．
（2）分式方程的增根与无解的区别：分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．
典型例题

【例1】下列各式中为分式方程的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】分式方程的定义
【分析】逐项判断即可.
【解答】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．
A、不是方程，故本选项错误；
B、方程的分母中含未知数x，所以它是分式方程．故本选项正确；
C、方程分母中不含未知数，所以它不是分式方程．故本选项错误；
D、方程的分母中不含未知数，所以它不是分式方程．故本选项错误；
故选B．
【点评】本题考查分式方程的定义，理解分式方程的定义是求解本题的关键．
【例2】（2022•牡丹江）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3
【考点】分式方程的解
【分析】先去分母，再根据条件求m．
【解答】解：两边同乘以(x－1)得：mx－1＝3x－3，
∴(m－3) x＝－2．
当m－3＝0时，即m＝3时，原方程无解，符合题意．
当m－3≠0时，，
∵方程无解，
∴x－1＝0，
∴x＝1，
∴m－3＝－2，
∴m＝1，
综上：当m＝1或3时，原方程无解．
故选：B．
【点评】本题考查分式方程的解，理解分式方程无解的含义是求解本题的关键．
【例3】（2022•通辽）若关于x的分式方程：的解为正数，则k的取值范围为（ ）
A．k＜2 B．k＜2且k≠0 C．k＞－1 D．k＞－1且k≠0
【考点】分式方程的解
【分析】先解分式方程可得x＝2－k，再由题意可得2－k＞0且2－k≠2，从而求出k的取值范围．
【解答】解：，
2(x－2)－(1－2k)＝－1，
2x－4－1＋2k＝－1，
2x＝4－2k，
x＝2－k，
∵方程的解为正数，
∴2－k＞0，
∴k＜2，
∵x≠2，
∴2－k≠2，
∴k≠0，
∴k＜2且k≠0，
故选：B．
【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程得到解法，注意对方程增根的讨论是解题的关键．
【例4】（2022•齐齐哈尔）若关于x的分式方程的解大于1，则m的取值范围是 ．
【考点】分式方程的解
【分析】先解分式方程，再应用分式方程的解进行计算即可得出答案．
【解答】解：，
给分式方程两边同时乘以最简公分母(x＋2)(x－2)，
得(x＋2)＋2(x－2)＝x＋2m，
去括号，得x＋2＋2x－4＝x＋2m，
解方程，得x＝m＋1，
检验：当m＋1≠2，m＋1≠－2，
即m≠1且m≠－3时，x＝m＋1是原分式方程的解，
根据题意可得，
m＋1＞1，
∴m＞0且m≠1．
故答案为：m＞0且m≠1．
【点评】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式的解的定义进行求解是解决本题的关键．
【例5】（2022•毕节市）小明解分式方程的过程如下．
解：去分母，得3＝2x－(3x＋3)．①
去括号，得3＝2x－3x＋3．②
移项、合并同类项，得－x＝6．③
化系数为1，得x＝－6．④
以上步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【考点】解分式方程
【分析】按照解分式方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．
【解答】解：去分母得：3＝2x－(3x＋3)①，
去括号得：3＝2x－3x－3②，
∴开始出错的一步是②，
故选：B．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解决问题的关键．
【例6】（2022•营口）分式方程的解是（ ）
A．x＝2 B．x＝－6 C．x＝6 D．x＝－2
【考点】解分式方程
【分析】方程两边都乘x(x－2)得出3(x－2)＝2x，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：，
方程两边都乘x(x－2)，得3(x－2)＝2x，
解得：x＝6，
检验：当x＝6时，x(x－2)≠0，
所以x＝6是原方程的解，
即原方程的解是x＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
【例7】（2022•青海）解方程：．
【考点】解分式方程
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
x(x－2)－(x－2)2＝4，
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，(x－2)2≠0，
∴x＝4是原方程的根．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
【例8】（4分）（2020•上海2/25）用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于y的方程是（ ）
A．y2-2y+1=0 B．y2+2y+1=0 C．y2+y+2=0 D．y2+y-2=0
【考点】换元法解分式方程．
【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设，则原方程化为，再转化为整式方程y2-2y+1=0即可求解．
【解答】解：把代入原方程得：，转化为整式方程为y2-2y+1=0．
故选：A．
【点评】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
【例9】（2022•济南）代数式与代数式的值相等，则x＝ ．
【考点】解分式方程
【分析】根据题意列方程，再根据解分式方程的步骤和方法进行计算即可．
【解答】解：由题意得，
，
去分母得，3(x－1)＝2(x＋2)，
去括号得，3x－3＝2x＋4，
移项得，3x－2x＝4＋3，
解得x＝7，
经检验x＝7是原方程的解，
所以原方程的解为x＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤和方法是正确解答的前提，注意解分式方程要检验．
知识点2：分式方程的应用


知识点梳理


1．分式方程实际应用的基本思路：

2．方法：一审：审清题意，弄清已知量和未知量；
二找：找出等量关系；
三设：设未知数；
四列：列出分式方程；
五解：解这个方程；
六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求（双检验）；
七答：写出答案．
在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义．
典型例题

【例10】（2022•辽宁）小明和小强两人在公路上匀速骑行，小强骑行28 km所用时间与小明骑行24 km所用时间相等，已知小强每小时比小明多骑行2 km，小强每小时骑行多少千米？设小强每小时骑行x km，所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程
【分析】根据小强与小明骑行速度间的关系可得出小明每小时骑行(x－2) km，利用时间＝路程÷速度，结合小强骑行28 km所用时间与小明骑行24 km所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵小强每小时比小明多骑行2 km，小强每小时骑行x km，
∴小明每小时骑行(x－2) km．
依题意得：．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【例11】（2022•吉林）刘芳和李婷进行跳绳比赛．已知刘芳每分钟比李婷多跳20个，刘芳跳135个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等．求李婷每分钟跳绳的个数．
【考点】分式方程的应用
【分析】设李婷每分钟跳绳x个，则刘芳每分钟跳绳(x＋20)个，根据时间相等列方程求解即可．
【解答】解：设李婷每分钟跳绳x个，则刘芳每分钟跳绳(x＋20)个，
根据题意列方程，得，
即135x＝120(x＋20)，
解得x＝160，
经检验x＝160是原方程的解，
答：李婷每分钟跳绳160个．
【点评】本题主要考查分式方程，根据时间相等列方程求解是解题的关键．
【例12】（2022•桂林）今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用500元在甲商店租用服装的数量与用400元在乙商店租用服装的数量相等．
（1）求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？
（2）若租用10套以上服装，甲商店给以每套九折优惠．该参赛队伍准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少，并说明理由．
【考点】分式方程的应用
【分析】（1）设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套(x＋10)元，由题意列，解分式方程并检验即可得出答案；
（2）分别计算甲、乙商店的费用，比较即可得出答案．
【解答】解：（1）设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套(x＋10)元，
由题意可得：，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是该分式方程的解，并符合题意，
∴x＋10＝50，
∴甲，乙两个商店租用的服装每套各50元，40元．
（2）在乙商店租用服装的费用较少．
理由：该参赛队伍准备租用20套服装时，
甲商店的费用为：50×20×0.9＝900（元），
乙商店的费用为：40×20＝800（元），
∵900＞800，
∴乙商店租用服装的费用较少．
【点评】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解决问题的关键．
【例13】（2022•宁夏）某校购进一批篮球和排球，篮球的单价比排球的单价多30元．已知330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．
（1）篮球和排球的单价各是多少元？
（2）现要购买篮球和排球共20个，总费用不超过1800元．篮球最多购买多少个？
【考点】一元一次不等式的应用；分式方程的应用
【分析】（1）设排球的单价为x元，则篮球的单价为(x＋30)元，由题意：330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买排球y个，则购买篮球(20－y)个，由题意：购买篮球和排球的总费用不超过1800元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设排球的单价为x元，则篮球的单价为(x＋30)元，
根据题意得：，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意，
∴x＋30＝110．
∴篮球的单价为110元，排球的单价为80元．
（2）设购买篮球y个，则购买排球(20－y)个，
依题意得：110y＋80(20－y)≤1800，
解得，
即y的最大值为6，
∴最多购买6个篮球．
【点评】此题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次不等式．
巩固训练

1．（2022•黑龙江）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是　　
A． B． C．且 D．且
2．（2022•德阳）如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是　　
A． B．且 C． D．且
3．（2022•重庆）关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的值之和是　　
A．13 B．15 C．18 D．20
4．（2022•重庆）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数的值之和是　　
A． B． C． D．
5．（2022•遂宁）若关于的方程无解，则的值为　　
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
6．（2022•哈尔滨）方程的解为　　
A． B． C． D．
7．（2022•海南）分式方程的解是　　
A． B． C． D．
8．（2022•无锡）分式方程的解是　　
A． B． C． D．
9．（2022•内蒙古）某班学生去距学校的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生的速度为，下列方程正确的是　　
A． B． C． D．
10．（2022•广西）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为米，根据题意可列方程　　

A． B．
C． D．
11．（2022•云南）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树棵，则下列方程正确的是　　
A． B． C． D．
12．（2022•黄石）已知关于的方程的解为负数，则的取值范围是 ．
13．（2022•泸州）若方程的解使关于的不等式成立，则实数的取值范围是 ．
14．（2022•淮安）方程的解是 ．
15．（2022•绵阳）方程的解是 ．
16．（2022•大连）方程的解是 ．
17．（2022•广州）分式方程的解是 ．
18．（2022•北京）方程的解为 ．
19．（2022•黑龙江）某玩具厂生产一种玩具，甲车间计划生产500个，乙车间计划生产400个，甲车间每天比乙车间多生产10个，两车间同时开始生产且同时完成任务．设乙车间每天生产个，可列方程为 ．
20．（2022•江西）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样人，则可列分式方程为 ．
21．（2022•宿迁）解方程：．
22．（2022•眉山）解方程：．
23．（2022•苏州）解方程：．
24．（2022•衢州）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车
油箱容积：40升
油价：9元升
续航里程：千米
每千米行驶费用：元
新能源车
电池电量：60千瓦时
电价：0.6元千瓦时
续航里程：千米
每千米行驶费用：_____元
（1）用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用）
25．（2022•呼和浩特）今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍．
（1）问去年每吨土豆的平均价格是多少元？
（2）该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元，由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？
26．（2022•辽宁）麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排，两种型号的收割机进行小麦收割作业．已知一台型收割机比一台型收割机平均每天多收割2公顷小麦，一台型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台型收割机收割9公顷小麦所用时间相同．
（1）一台型收割机和一台型收割机平均每天各收割小麦多少公顷？
（2）该农场安排两种型号的收割机共12台同时进行小麦收割作业，为确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务，至少要安排多少台型收割机？
27．（2022•河南）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．
（1）求菜苗基地每捆种菜苗的价格．
（2）菜苗基地每捆种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买，两种菜苗共100捆，且种菜苗的捆数不超过种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对，两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．
28．（2022•山西）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．

29．（2022•常德）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时．某天，他们以平常的速度行驶了的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
30．（2022•乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办．为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆．已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．
31．（2022•怀化）去年防汛期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元．
（1）求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？
（2）为支持今年防汛工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售．优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折；若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了套，购买费用为元，请写出关于的函数关系式．
（3）在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？
32．（2022•扬州）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？
33．（2022•达州）某商场进货员预测一种应季恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元．
（1）该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是多少元？
（2）如果两批恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件恤衫按七折优惠售出，要使两批恤衫全部售完后利润率不低于（不考虑其他因素），那么每件恤衫的标价至少是多少元？
34．（2022•重庆）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．
（1）计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
（2）因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？
35．（2022•自贡）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学旅行活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．
36．（2022•贵阳）国发号文发布后，贵州迎来了高质量快速发展，货运量持续增加．某物流公司有两种货车，已知每辆大货车的货运量比每辆小货车的货运量多4吨，且用大货车运送80吨货物所需车辆数与小货车运送60吨货物所需车辆数相同．每辆大、小货车货运量分别是多少吨？
37．（2022•聊城）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．
（1）求实际施工时，每天改造管网的长度；
（2）施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？
38．（2022•铜仁市）科学规范戴口罩是阻断新冠病毒传播的有效措施之一，某口罩生产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩280万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前提高了．结果刚好提前2天完成订单任务．求该厂家更换设备前和更换设备后每天各生产多少万个口罩？
39．（2022•百色）金鹰酒店有140间客房需安装空调，承包给甲、乙两个工程队合作安装，每间客房都安装同一品牌同样规格的一台空调，已知甲工程队每天比乙工程队多安装5台，甲工程队的安装任务有80台，两队同时安装．问：
（1）甲、乙两个工程队每天各安装多少台空调，才能同时完成任务？
（2）金鹰酒店响应“绿色环保”要求，空调的最低温度设定不低于，每台空调每小时耗电1.5度；据预估，每天至少有100间客房有旅客住宿，旅客住宿时平均每天开空调约8小时．若电费0.8元度，请你估计该酒店每天所有客房空调所用电费（单位：元）的范围？
40．（2022•大庆）某工厂生产某种零件，由于技术上的改进，现在平均每天比原计划多生产20个零件，现在生产800个零件所需时间与原计划生产600个零件所需时间相同．求现在平均每天生产多少个零件？
41．（2022•黔东南州）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买、两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天少搬运10吨，且型机器人每天搬运540吨货物与型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
（1）求每台型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台型机器人售价1.2万元，每台型机器人售价2万元，该公司计划采购、两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．
请根据以上要求，完成如下问题：
①设购买型机器人台，购买总金额为万元，请写出与的函数关系式；
②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
42．（2022•菏泽）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．
（1）篮球、排球的进价分别为每个多少元？
（2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球？
43．（2022•丹东）为推动家乡学校篮球运动的发展，某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的学校．实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了20元，结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球，每个篮球的原价是多少元？
44．（2022•锦州）2022年3月23日“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入、两款物理实验套装，其中款套装单价是款套装单价的1.2倍，用9900元购买的款套装数量比用7500元购买的款套装数量多5套．求、两款套装的单价分别是多少元．
45．（2022•益阳）在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控、两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为，．
（1）甲、乙两人操控、型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？
（2）某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过，则最多安排甲收割多少小时？
46．（2022•柳州）习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同．
（1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过46万元，则甲种农机具最多能购买多少件？
47．（2022•长春）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？
48．（2022•贵港）为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球．已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同．
（1）绳子和实心球的单价各是多少元？
（2）如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？
49．（2022•烟台）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了，两种型号扫地机器人．已知型每个进价比型的2倍少400元．采购相同数量的，两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问，两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？
巩固训练解析

1．（2022•黑龙江）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是　　
A． B． C．且 D．且
【考点】分式方程的解
【分析】先利用表示出的值，再由为正数求出的取值范围即可．
【解答】解：方程两边同时乘以得，，
解得．
为正数，
，解得，
，
，即，
的取值范围是且．
故选：．
【点评】本题考查了分式方程的解，掌握求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解题的关键．
2．（2022•德阳）如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是　　
A． B．且 C． D．且
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式
【分析】先去分母将分式方程化成整式方程，再求出方程的解，利用和得出不等式组，解不等式组即可求出的范围．
【解答】解：两边同时乘得，
，
解得：，
又方程的解是正数，且，
，即，
解得：，
的取值范围为：且．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式，正确求得分式方程的解并考虑产生增根的情形是解题的关键．
3．（2022•重庆）关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的值之和是　　
A．13 B．15 C．18 D．20
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解
【分析】解分式方程得得出，结合题意及分式方程的意义求出且，解不等式组得出，结合题意得出，进而得出且，继而得出所有满足条件的整数的值之和，即可得出答案．
【解答】解：解分式方程得：，
且，
且，
且，
解不等式组得：，
不等式组的解集为，
，
，
且，
所有满足条件的整数的值之和为，
故选：．
【点评】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，正确求解分式方程，一元一次不等式组，一元一次不等式是解决问题的关键．
4．（2022•重庆）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数的值之和是　　
A． B． C． D．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组
【分析】解不等式组得出，结合题意得出，解分式方程得出，结合题意得出或，进而得出所有满足条件的整数的值之和是，即可得出答案．
【解答】解：解不等式组得：，
不等式组的解集为，
，
，
解分式方程得：，
是负整数且，
是负整数且，
或，
所有满足条件的整数的值之和是，
故选：．
【点评】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，正确求解分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键．
5．（2022•遂宁）若关于的方程无解，则的值为　　
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
【考点】分式方程的解
【分析】解分式方程可得，根据题意可知，或，求出的值即可．
【解答】解：，
，
，
，
方程无解，
或，
即或，
或，
故选：．
【点评】本题考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法，分式方程无解的条件是解题的关键．
6．（2022•哈尔滨）方程的解为　　
A． B． C． D．
【考点】解分式方程
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根，
故选：．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
7．（2022•海南）分式方程的解是　　
A． B． C． D．
【考点】解分式方程
【分析】方程两边同时乘以，把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．
【解答】解：去分母得：，
解得：，
当时，，
是分式方程的根，
故选：．
【点评】本题考查了解分式方程，正确把分式方程化成整式方程是解决问题的关键．
8．（2022•无锡）分式方程的解是　　
A． B． C． D．
【考点】解分式方程
【分析】将分式方程转化为整式方程，求出的值，检验即可得出答案．
【解答】解：，
方程两边都乘得：，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的解．
故选：．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论是解题的关键．
9．（2022•内蒙古）某班学生去距学校的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生的速度为，下列方程正确的是　　
A． B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程
【分析】根据汽车的速度和骑车学生速度之间的关系，可得出汽车的速度为，利用时间路程速度，结合汽车比骑车学生少用，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【解答】解：骑车学生的速度为，且汽车的速度是骑车学生速度的2倍，
汽车的速度为．
依题意得：，
即．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10．（2022•广西）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为米，根据题意可列方程　　

A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程
【分析】根据题意可知，装裱后的长为，宽为，再根据整幅图画宽与长的比是，即可得到相应的方程．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
11．（2022•云南）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树棵，则下列方程正确的是　　
A． B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程
【分析】根据实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
12．（2022•黄石）已知关于的方程的解为负数，则的取值范围是 　且　．
【考点】解一元一次不等式；分式方程的解
【分析】先求整式方程的解，然后再解不等式组即可，需要注意分式方程的分母不为0．
【解答】解：去分母得：，
解得：，
分式方程的解为负数，
且且，
且，
的取值范围是且，
故答案为：且．
【点评】本题主要考查的是解分式方程、解一元一次不等式，明确分式的分母不为0是解题的关键．
13．（2022•泸州）若方程的解使关于的不等式成立，则实数的取值范围是 　　．
【考点】分式方程的解；不等式的解集
【分析】先解分式方程，再将代入不等式中即可求解．
【解答】解：，
，
，
解得：，
，，
是分式方程的解，
将代入不等式，得：
，
解得：，
实数的取值范围是，
故答案为：．
【点评】本题考查分式方程的解，不等式的解集，解题的关键是正确求出分式方程的解，要注意分母不能为0．
14．（2022•淮安）方程的解是 　　．
【考点】解分式方程
【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即原方程的解是，
故答案为：．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
15．（2022•绵阳）方程的解是 　　．
【考点】解分式方程
【分析】先在方程两边乘最简公分母去分母，然后解整式方程即可．
【解答】解：，
方程两边同乘，得
，
解得，
检验：当时，，
方程的解为．
故答案为：．
【点评】本题考查了分式方程的解法，熟记解分式方程的步骤是解题的关键，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
16．（2022•大连）方程的解是 　　．
【考点】解分式方程
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根，
故答案为：．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
17．（2022•广州）分式方程的解是 　　．
【考点】解分式方程
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根，
故答案为：．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
18．（2022•北京）方程的解为 　　．
【考点】解分式方程
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
故答案为：．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
19．（2022•黑龙江）某玩具厂生产一种玩具，甲车间计划生产500个，乙车间计划生产400个，甲车间每天比乙车间多生产10个，两车间同时开始生产且同时完成任务．设乙车间每天生产个，可列方程为 　　．
【考点】由实际问题抽象出分式方程
【分析】根据甲车间生产500个玩具所用的时间乙车间生产400个玩具所用的时间，列出方程即可解答．
【解答】解：设乙车间每天生产个，则甲车间每天生产个，
由题意得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了分式方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．
20．（2022•江西）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样人，则可列分式方程为 　　．
【考点】由实际问题抽象出分式方程
【分析】由实际问题找到合适的等量关系即可抽象出分式方程．
【解答】解：设甲每小时采样人，则乙每小时采样人，根据题意得：
．
故答案为：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
21．（2022•宿迁）解方程：．
【考点】解分式方程
【分析】根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后进行检验即可．
【解答】解：，
，
，
经检验是原方程的解，
则原方程的解是．
【点评】此题考查了解分式方程，用到的知识点是解分式方程的步骤：去分母化整式方程，解整式方程，最后要把整式方程的解代入最简公分母进行检验．
22．（2022•眉山）解方程：．
【考点】解分式方程
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
方程两边同乘得：
，
解这个整式方程得：
，
检验：当时，，
是原方程的解．
【点评】本题考查了解分式方程，熟记解分式方程的步骤是解题的关键，需要特别注意解分式方程需要检验．
23．（2022•苏州）解方程：．
【考点】解分式方程
【分析】先两边同乘以化为整式方程：，解整式方程得，再检验即可得答案．
【解答】解：方程两边同乘以得：
，
解整式方程得：，
经检验，是原方程的解，
原方程的解为．
【点评】本题考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的一般步骤，特别注意解分式方程必须检验．
24．（2022•衢州）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车
油箱容积：40升
油价：9元升
续航里程：千米
每千米行驶费用：元
新能源车
电池电量：60千瓦时
电价：0.6元千瓦时
续航里程：千米
每千米行驶费用：_____元
（1）用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用）
【考点】一元一次不等式的应用；分式方程的应用
【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用；
（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
【解答】解：（1）由表格可得，
新能源车的每千米行驶费用为：（元，
即新能源车的每千米行驶费用为元；
（2）①燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
，，
答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元；
②设每年行驶里程为，
由题意得：，
解得，
答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低．
【点评】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式．
25．（2022•呼和浩特）今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍．
（1）问去年每吨土豆的平均价格是多少元？
（2）该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元，由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？
【考点】一元一次不等式组的应用；分式方程的应用
【分析】（1）设去年每吨土豆的平均价格是元，则第一次采购每吨土豆的平均价格为元，第二次采购每吨土豆的平均价格为元，根据第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍，据此列出分式方程求解即可；
（2）先求出今年采购的土豆数，根据采购的土豆需不超过60天加工完毕，加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的，据此列出不等式组并求解，然后由一次函数的性质求出最大利润即可．
【解答】解：（1）设去年每吨土豆的平均价格是元，则今年第一次采购每吨土豆的平均价格为元，第二次采购每吨土豆的平均价格为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
答：去年每吨土豆的平均价格是2200元；
（2）由（1）得：今年采购的土豆数为：（吨，
设应将吨土豆加工成薯片，则应将吨加工成淀粉，
由题意得：，
解得：，
设总利润为元，
则，
，
随的增大而增大，
当时，的值最大，
答：为获得最大利润，应将175吨土豆加工成薯片，最大利润是202500元．
【点评】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准数量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．
26．（2022•辽宁）麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排，两种型号的收割机进行小麦收割作业．已知一台型收割机比一台型收割机平均每天多收割2公顷小麦，一台型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台型收割机收割9公顷小麦所用时间相同．
（1）一台型收割机和一台型收割机平均每天各收割小麦多少公顷？
（2）该农场安排两种型号的收割机共12台同时进行小麦收割作业，为确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务，至少要安排多少台型收割机？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用
【分析】（1）设一台型收割机平均每天收割小麦公顷，则一台型收割机平均每天收割小麦公顷，利用工作时间工作总量工作效率，结合一台型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台型收割机收割9公顷小麦所用时间相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设安排台型收割机，则安排台型收割机，根据要确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设一台型收割机平均每天收割小麦公顷，则一台型收割机平均每天收割小麦公顷，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：一台型收割机平均每天收割小麦5公顷，一台型收割机平均每天收割小麦3公顷．
（2）设安排台型收割机，则安排台型收割机，
依题意得：，
解得：．
答：至少要安排7台型收割机．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
27．（2022•河南）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．
（1）求菜苗基地每捆种菜苗的价格．
（2）菜苗基地每捆种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买，两种菜苗共100捆，且种菜苗的捆数不超过种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对，两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用
【分析】（1）设菜苗基地每捆种菜苗的价格是元，根据用300元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆，列方程可得菜苗基地每捆种菜苗的价格是20元；
（2）设购买种菜苗捆，则购买种菜苗捆，根据种菜苗的捆数不超过种菜苗的捆数，得，设本次购买花费元，有，由一次函数性质可得本次购买最少花费2250元．
【解答】解：（1）设菜苗基地每捆种菜苗的价格是元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：菜苗基地每捆种菜苗的价格是20元；
（2）设购买种菜苗捆，则购买种菜苗捆，
种菜苗的捆数不超过种菜苗的捆数，
，
解得，
设本次购买花费元，
，
，
随的增大而减小，
时，取最小值，最小值为（元，
答：本次购买最少花费2250元．
【点评】本题考查分式方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．
28．（2022•山西）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．

【考点】分式方程的应用
【分析】原来的燃油汽车行驶1千米所需的油费元，根据题意可得等量关系：燃油汽车所需油费200元所行驶的路程电动汽车所需电费200元所行驶的路程，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费用为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
答：这款电动汽车平均每公里的充电费用为0.2元．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中等量关系，设出未知数，列出方程，注意不要忘记检验．
29．（2022•常德）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时．某天，他们以平常的速度行驶了的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
【考点】分式方程的应用
【分析】设平常的速度是千米小时，根据“到达奶奶家时共用了5小时”列分式方程，求解即可．
【解答】解：设平常的速度是千米小时，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
（千米），
答：小强家到他奶奶家的距离是240千米．
【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
30．（2022•乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办．为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆．已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．
【考点】分式方程的应用
【分析】设摩托车的速度为千米小时，则抢修车的速度为千米小时，根据时间路程速度结合骑摩托车的维修工人比乘抢修车的工人多用10分钟到达，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设摩托车的速度为千米小时，则抢修车的速度为千米小时，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：摩托车的速度为40千米小时．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
31．（2022•怀化）去年防汛期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元．
（1）求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？
（2）为支持今年防汛工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售．优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折；若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了套，购买费用为元，请写出关于的函数关系式．
（3）在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用
【分析】（1）设每件雨衣元，则每双雨鞋元，根据购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双）列出方程并解答；
（2）根据题意求出的取值范围，并求出与的关系式解答即可；
（3）根据题意列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设每件雨衣元，则每双雨鞋元，
根据题意，得，
解得，
经检验是所列方程的根，并符合题意．
所以，
答：每件雨衣40元，则每双雨鞋35元；
（2）由题意知，一套雨衣雨鞋的单价为：（元，
当购买套雨衣和雨鞋时，费用为；
当购买套雨衣和雨鞋时，费用为，
关于的函数关系式为：；
（3）由题意得：，解得，
答：最多可购买6套．
【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
32．（2022•扬州）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？
【考点】分式方程的应用
【分析】设每个小组有学生名，由题意得：，解分式方程并检验后即可得出答案．
【解答】解：设每个小组有学生名，
由题意得：，
解得：，
当时，，
是分式方程的根，
答：每个小组有学生10名．
【点评】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解决问题的关键．
33．（2022•达州）某商场进货员预测一种应季恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元．
（1）该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是多少元？
（2）如果两批恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件恤衫按七折优惠售出，要使两批恤衫全部售完后利润率不低于（不考虑其他因素），那么每件恤衫的标价至少是多少元？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用
【分析】（1）设该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是元和元，根据所购数量是第一批购进量的2倍列出方程解答即可；
（2）设每件恤衫的标价至少是元，根据题意列出不等式解答即可．
【解答】（1）解：设该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是元和元，根据题意可得：
，
解得：，
经检验是方程的解，
，
答：该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是40元和44元；
（2）解：（件，
设每件恤衫的标价是元，根据题意可得：，
解得：，
答：每件恤衫的标价至少是80元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
34．（2022•重庆）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．
（1）计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
（2）因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？
【考点】一元一次方程的应用；分式方程的应用
【分析】（1）根据题意可知：甲原来工作5天的工作量后来2天的工作量，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（2）根据题意可知：甲、乙施工的长度都是900米，再根据题意可知，两个工程队施工天数相同，即可列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验．
【解答】解：（1）设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠米，则原计划每天施工米，
由题意可得：，
解得，
答：甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米；
（2）设乙施工队原来每天修建灌溉水渠米，则技术更新后每天修建水渠米，
由题意可得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
答：乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．
【点评】本题考查一元一次方程的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程和一元一次方程．
35．（2022•自贡）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学旅行活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．
【考点】分式方程的应用
【分析】根据题意可知：张老师骑车用的时间汽车用的时间，即可列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验．
【解答】解：设张老师骑车的速度为千米小时，则汽车的速度为千米小时，
由题意可得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
答：张老师骑车的速度是15千米小时．
【点评】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程．
36．（2022•贵阳）国发号文发布后，贵州迎来了高质量快速发展，货运量持续增加．某物流公司有两种货车，已知每辆大货车的货运量比每辆小货车的货运量多4吨，且用大货车运送80吨货物所需车辆数与小货车运送60吨货物所需车辆数相同．每辆大、小货车货运量分别是多少吨？
【考点】分式方程的应用
【分析】设每辆小货车的货运量是吨，则每辆大货车的货运量是吨，根据用大货车运送80吨货物所需车辆数与小货车运送60吨货物所需车辆数相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设每辆小货车的货运量是吨，则每辆大货车的货运量是吨，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：每辆大货车的货运量是16吨，每辆小货车的货运量是12吨．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
37．（2022•聊城）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．
（1）求实际施工时，每天改造管网的长度；
（2）施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用
【分析】（1）设原计划每天改造管网米，则实际施工时每天改造管网米，根据比原计划提前10天完成任务建立方程求出其解就可以了；
（2）设以后每天改造管网还要增加米，根据总工期不超过40天建立不等式求出其解即可．
【解答】解：（1）设原计划每天改造管网米，则实际施工时每天改造管网米，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
此时，（米．
答：实际施工时，每天改造管网的长度是72米；
（2）设以后每天改造管网还要增加米，
由题意得：，
解得：．
答：以后每天改造管网至少还要增加36米．
【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，在解答时找到相等关系和不相等关系建立方程和不等式是关键．
38．（2022•铜仁市）科学规范戴口罩是阻断新冠病毒传播的有效措施之一，某口罩生产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩280万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前提高了．结果刚好提前2天完成订单任务．求该厂家更换设备前和更换设备后每天各生产多少万个口罩？
【考点】分式方程的应用
【分析】设该厂家更换设备前每天生产口罩万个，则该厂家更换设备后每天生产口罩万个，利用工作时间工作总量工作效率，结合提前2天完成订单任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设该厂家更换设备前每天生产口罩万个，则该厂家更换设备后每天生产口罩万个，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：该厂家更换设备前每天生产口罩40万个，更换设备后每天生产口罩56万个．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
39．（2022•百色）金鹰酒店有140间客房需安装空调，承包给甲、乙两个工程队合作安装，每间客房都安装同一品牌同样规格的一台空调，已知甲工程队每天比乙工程队多安装5台，甲工程队的安装任务有80台，两队同时安装．问：
（1）甲、乙两个工程队每天各安装多少台空调，才能同时完成任务？
（2）金鹰酒店响应“绿色环保”要求，空调的最低温度设定不低于，每台空调每小时耗电1.5度；据预估，每天至少有100间客房有旅客住宿，旅客住宿时平均每天开空调约8小时．若电费0.8元度，请你估计该酒店每天所有客房空调所用电费（单位：元）的范围？
【考点】一次函数的应用；分式方程的应用
【分析】（1）设乙工程队每天安装台空调，则甲工程队每天安装台空调，根据甲、乙两个工程队同时完成安装任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设每天有间客房有旅客住宿，利用每天所有客房空调所用电费电费的单价每天旅客住宿耗电总数，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数上点的坐标特征，即可求出的取值范围．
【解答】解：（1）设乙工程队每天安装台空调，则甲工程队每天安装台空调，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲工程队每天安装20台空调，乙工程队每天安装15台空调，才能同时完成任务．
（2）设每天有间客房有旅客住宿，则．
，
随的增大而增大，
，
即．
答：该酒店每天所有客房空调所用电费（单位：元）的范围为不少于960元且不超过1344元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
40．（2022•大庆）某工厂生产某种零件，由于技术上的改进，现在平均每天比原计划多生产20个零件，现在生产800个零件所需时间与原计划生产600个零件所需时间相同．求现在平均每天生产多少个零件？
【考点】分式方程的应用
【分析】设现在平均每天生产个零件，根据现在生产800个零件所需时间与原计划生产600个零件所需时间相同得：，解方程并检验，即可得答案．
【解答】解：设现在平均每天生产个零件，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：现在平均每天生产80个零件．
【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
41．（2022•黔东南州）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买、两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天少搬运10吨，且型机器人每天搬运540吨货物与型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
（1）求每台型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台型机器人售价1.2万元，每台型机器人售价2万元，该公司计划采购、两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．
请根据以上要求，完成如下问题：
①设购买型机器人台，购买总金额为万元，请写出与的函数关系式；
②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的性质
【分析】（1）设每台型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物吨，根据题意列出分式方程，解方程检验后即可得出答案；
（2）①根据题意列出一次函数解析式即可；
②先根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求出答案．
【解答】解：（1）设每台型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物吨，
由题意得：，
解得：，
当时，，
是分式方程的根，
（吨，
答：每台型机器人每天搬运货物90吨，则每台型机器人每天搬运货物100吨；
（2）①由题意得：；
②由题意得：，
解得：，
，
随的增大而减小，
当时，最小，此时，
购买型机器人17台，型机器人13台时，购买总金额最低是46.4万元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意找出题目中的相等关系，不等关系列出分式方程，一元一次不等式组及列出一次函数关系式是解决问题的关键．
42．（2022•菏泽）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．
（1）篮球、排球的进价分别为每个多少元？
（2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用
【分析】（1）设排球的进价为每个元，则篮球的进价为每个元，由等量关系：用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个列出方程，解方程即可；
（2）设购买个篮球，则购买个排球，由题意：购买篮球和排球的总费用不多于28000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设排球的进价为每个元，则篮球的进价为每个元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是方程的解，
．
答：篮球的进价为每个120元，排球的进价为每个80元；
（2）设购买个篮球，则购买个排球，
依题意得：，
解得：，
答：最多可以购买100个篮球．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
43．（2022•丹东）为推动家乡学校篮球运动的发展，某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的学校．实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了20元，结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球，每个篮球的原价是多少元？
【考点】分式方程的应用
【分析】设每个篮球的原价是元，则每个篮球的实际价格是元，根据“该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球”列出方程并解答．
【解答】解：设每个篮球的原价是元，则每个篮球的实际价格是元，
根据题意，得．
解得．
经检验是原方程的解．
答：每个篮球的原价是120元．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
44．（2022•锦州）2022年3月23日“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入、两款物理实验套装，其中款套装单价是款套装单价的1.2倍，用9900元购买的款套装数量比用7500元购买的款套装数量多5套．求、两款套装的单价分别是多少元．
【考点】分式方程的应用
【分析】设款套装的单价是元，则款套装的单价是元，利用数量总价单价，结合用9900元购买的款套装数量比用7500元购买的款套装数量多5套，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出款套装的单价，再将其代入中即可求出款套装的单价．
【解答】解：设款套装的单价是元，则款套装的单价是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：款套装的单价是180元，款套装的单价是150元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
45．（2022•益阳）在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控、两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为，．
（1）甲、乙两人操控、型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？
（2）某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过，则最多安排甲收割多少小时？
【考点】一元一次不等式的应用；分式方程的应用
【分析】（1）设甲操控型号收割机每小时收割亩水稻，则乙操控型号收割机每小时收割亩水稻，利用工作时间工作总量工作效率，结合乙比甲多用0.4小时完成任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出甲操控型号收割机每小时收割水稻的亩数，再将其代入中即可求出乙操控型号收割机每小时收割水稻的亩数；
（2）设安排甲收割小时，则安排乙收割小时，根据要求平均损失率不超过，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲操控型号收割机每小时收割亩水稻，则乙操控型号收割机每小时收割亩水稻，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲操控型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控型号收割机每小时收割6亩水稻．
（2）设安排甲收割小时，则安排乙收割小时，
依题意得：，
解得：．
答：最多安排甲收割4小时．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
46．（2022•柳州）习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同．
（1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过46万元，则甲种农机具最多能购买多少件？
【考点】一元一次不等式的应用；分式方程的应用
【分析】（1）设购买1件乙种农机具需要万元，则购买1件甲种农机具需要万元，利用数量总价单价，结合用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出购买1件乙种农机具所需费用，再将其代入中即可求出购买1件甲种农机具所需费用；
（2）设购买件甲种农机具，则购买件乙种农机具，利用总价单价数量，结合总价不超过46万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设购买1件乙种农机具需要万元，则购买1件甲种农机具需要万元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：购买1件甲种农机具需要3万元，1件乙种农机具需要2万元．
（2）设购买件甲种农机具，则购买件乙种农机具，
依题意得：，
解得：．
答：甲种农机具最多能购买6件．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
47．（2022•长春）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？
【考点】分式方程的应用
【分析】设乙班平均每小时挖千克土豆，根据“甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同”列分式方程，求解即可．
【解答】解：设乙班平均每小时挖千克土豆，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，且符合题意；
答：乙班平均每小时挖400千克土豆．
【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
48．（2022•贵港）为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球．已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同．
（1）绳子和实心球的单价各是多少元？
（2）如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？
【考点】一元一次方程的应用；分式方程的应用
【分析】（1）设绳子的单价为元，则实心球的单价为元，根据数量总价单价且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同，列出分式方程并解答即可；
（2）设购买实心球的数量为个，则购买绳子的数量为条，根据费用等于单价数量列出方程解答即可．
【解答】解：（1）设绳子的单价为元，则实心球的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验可知是所列分式方程的解，且满足实际意义，
，
答：绳子的单价为7元，实心球的单价为30元．
（2）设购买实心球的数量为个，则购买绳子的数量为条，
根据题意，得，
解得，
，
答：购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个．
【点评】本题考查了分式方程和一元一次方程．，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元一次方程．
49．（2022•烟台）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了，两种型号扫地机器人．已知型每个进价比型的2倍少400元．采购相同数量的，两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问，两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？

【考点】分式方程的应用
【分析】设每个型扫地机器人的进价为元，则每个型扫地机器人的进价为元，利用数量总价单价，结合用96000元购进型扫地机器人的数量等于用168000元购进型扫地机器人的数量，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出每个型扫地机器人的进价，再将其代入中即可求出每个型扫地机器人的进价．
【解答】解：设每个型扫地机器人的进价为元，则每个型扫地机器人的进价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：每个型扫地机器人的进价为1600元，每个型扫地机器人的进价为2800元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键