中考数学专题21 圆（学案含解析）

这是一份中考数学专题21 圆（学案含解析），共70页。

中考数学一轮复习学案
21 圆

中考命题说明



考点
课标要求
考查角度
1
圆心角、圆周角
①理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系；②了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征．
常以选择题、填空题、解答题的形式考查圆心角、圆周角定理的简单运用．
2
圆的对称性
探索圆的性质，理解并会运用垂径定理及其推论．
常以选择题、填空题、解答题的形式考查垂径定理及其推论的综合运用．
3
点与圆、直线与圆的位置关系
①探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系；②了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；③了解三角形的内心和外心．
常以选择题、填空题、解答题的形式考查直线与圆的位置关系、圆的切线的性质、判定以及三角形的内心和外心．
4
圆与圆的位置关系
探索并了解圆与圆的位置关系．
常以选择题、填空题的形式考查圆与圆的位置关系．
5
弧长和扇形的面积
会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积．
常以选择题、填空题的形式考查弧长、扇形的面积和圆锥的侧面积、全面积．

知识点1：与圆有关的概念


知识点梳理

1. 圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．

2. 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．（如下图中的AB）．

3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
4. 直径：经过圆心的弦叫做直径（如上图中的CD）．直径等于半径的2倍．
5. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
6. 弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB” ．
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）．
7. 等弧：在 同圆 或 等圆 中，能够互相重合的弧叫做等弧．
8. 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．
9. 垂径定理及其推论：
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．
10. 圆的对称性：
（1）圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．
（2）圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．
典型例题

【例1】（2022•荆门）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为（ ）

A． B． C． D．
【考点】勾股定理；垂径定理
【分析】根据AB＝12，BE＝3，求出OE＝3，OC＝6，并利用勾股定理求出EC，根据垂径定理求出CD，即可求出四边形的面积．
【解答】解：如图，连接OC，

∵AB＝12，BE＝3，
∴OB＝OC＝6，OE＝3，
∵AB⊥CD，
在Rt△COE中，，
∴，
∴四边形ACBD的面积．
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理，解题的关键是熟练运用定理．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
【例2】（2022•青海）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4 m，CD＝6 m，则⊙O的半径长为 m．

【考点】勾股定理；垂径定理
【分析】连接OA，如图，设⊙O的半径为r m，根据垂径定理的推论得到CD⊥AB，在Rt△AOC中利用勾股定理得到22＋(6－r)2＝r2，然后解方程即可．
【解答】解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r m，

∵C是⊙O中弦AB的中点，CD过圆心，
∴CD⊥AB，，
在Rt△AOC中，∵OA＝r m，OC＝(6－r) m，
∴22＋(6－r)2＝r2，
解得，
即⊙O的半径长为．
故答案为：．
【点评】本题考查了垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
【例3】（3分）（2021•青海6/25）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（　　）

A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分
【考点】垂径定理的应用．
【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB于D，由垂径定理求出AD的长，再由勾股定理求出OD的长，然后计算出太阳在海平线以下部分的高度，即可求解．
【解答】解：设“图上”圆的圆心为O，连接OA，过点O作OD⊥AB于D，如图所示：

∵AB＝16厘米，
∴AD＝AB＝8（厘米），
∵OA＝10厘米，
∴OD（厘米），
∴海平线以下部分的高度＝OA+OD＝10+6＝16（厘米），
∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，
∴“图上”太阳升起的速度＝16÷16＝1.0（厘米/秒），
故选：A．
【点评】本题考查的是垂径定理的运用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
知识点2： 与圆有关的角


1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
2. 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
3. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
4. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
典型例题

【例4】（3分）（2021•广东7/25）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC=3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD=1，则⊙O的直径为（ ）

A． B． C．1 D．2
【考点】圆周角定理
【分析】如图，过点D作DT⊥AB于T．证明DT=DC=1，推出AD=2DT，推出∠A =30°，可得结论．
【解答】解：如图，过点D作DT⊥AB于T．

∵AB是直径，
∴∠ACB =90°，
∴DC⊥BC，
∵DB平分∠CBA，DC⊥BC，DT⊥AB，
∴DT=DC=1，
∵AC=3，
∴AD=AC-CD =2，
∴AD=2DT，
∴∠A =30°，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，角平分线的性质定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题．
【例5】（4分）（2021•重庆A卷5/26）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝80°，则∠C的度数是（　　）

A．80° B．100° C．110° D．120°
【考点】圆内接四边形的性质．
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C＝180°，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝80°，
∴∠C＝100°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，注意：圆内接四边形的对角互补．
【例6】（10分）（2021•安徽20/23）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．

【考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
【分析】（1）连接OD，由垂径定理推论可得∠OMD＝90°，在Rt△OMD中用勾股定理即可得半径；
（2）连接AC，延长AF交BD于G，由已知可证△ACF是等腰三角形，∠FAE＝∠CAE，又弧BC＝弧BC，有∠CAE＝∠CDB，故∠FAE＝∠CDB，即可由∠CDB+∠B＝90°，得∠AGB＝90°，从而得证AF⊥BD．
【解答】解：（1）连接OD，如图：

∵M是CD的中点，CD＝12，
∴DM＝CD＝6，OM⊥CD，∠OMD＝90°，
Rt△OMD中，，且OM＝3，
∴，即圆O的半径长为；
（2）连接AC，延长AF交BD于G，如图：

∵AB⊥CD，CE＝EF，
∴AB是CF的垂直平分线，
∴AF＝AC，即△ACF是等腰三角形，
∵CE＝EF，
∴∠FAE＝∠CAE，
∵，
∴∠CAE＝∠CDB，
∴∠FAE＝∠CDB，
Rt△BDE中，∠CDB+∠B＝90°，
∴∠FAE+∠B＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴AG⊥BD，即AF⊥BD．
【点评】本题考查垂径定理及推论，涉及勾股定理、等腰三角形的性质及判定，解题的关键是证明∠FAE＝∠CDB．
【例7】（10分）（2021•上海23/25）如图，在圆O中，弦AB等于弦CD，且相交于点P，其中E、F为AB、CD中点．
（1）证明：OP⊥EF；
（2）联结AF、AC、CE，若AF∥OP，证明：四边形AFEC为矩形．

【考点】圆的综合题
【分析】（1）利用全等三角形的性质证明OE=OF，PE=PF，可得结论．
（2）连接AC，设EF交OP于J，想办法证明PE=PF =PA=PC，可得结论．
【解答】（1）证明：连接OP，EF，OE，OF，OB=OD．

∵AE=EB，CF=FD，AB=CD，
∴OE⊥AB，OF⊥CD，BE=DF，
∴∠OEB=∠OFD=90°，
∵OB=OD，
∴Rt△OEB≌Rt△OFB（HL），
∴OE=OF，
∵∠OEP=∠OFD=90°，OP=OP，
∴Rt△OPE≌Rt△OPF（HL），
∴PE=PF，
∵OE=OF，
∴OP⊥EF．
（2）证明：连接AC，设EF交OP于J．

∵AE=EB，CF=FD，AB=CD，
∴AE=CF，BE=DF，
∵PE=PF，
∴PA=PC，
∵PE=PF，OE=OF，
∴OP垂直平分线段EF，
∴EJ=JF，
∵OP∥AF，
∴EP=PA，
∴PC=PF，PA=PE，
∴四边形AFEC是平行四边形，
∵EA=CF，
∴四边形AFEC是矩形．
【点评】本题属于圆综合题，考查了全等三角形的判定和性质，垂径定理，平行线分线段成比例定理，矩形的判定，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
知识点3：与圆有关的位置关系


知识点梳理

1．点与圆的位置关系：
（1）设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r；
②点P在圆内⇔d＜r；
③点P在圆上⇔d＝r．
（2）不在同一直线上的三点确定一个圆．
2．直线与圆的位置关系：
（1）直线和圆有三种位置关系，具体如下：
①相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点．
②相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线．
③相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
（2）如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：
①直线l与⊙O相交⇔d ②直线l与⊙O相切⇔d=r；
③直线l与⊙O相离⇔d>r；
（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（4）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
（5）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
（6）三角形的外心：三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点．
（7）三角形的内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点．
3．圆和圆的位置关系：
（1）圆和圆的位置关系：
①如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种．
②如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种．
③如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交．
（2）圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距．
（3）圆和圆位置关系的性质与判定：设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么
①两圆外离⇔d>R+r
②两圆外切⇔d=R+r
③两圆相交⇔R-r ④两圆内切⇔d=R-r（R>r）
⑤两圆内含⇔dr）
（4）两圆相切、相交的重要性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．
典型例题

【例8】（2分）（2021•青海16/25）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4 cm，最大距离是9 cm，则⊙O的半径是 ．
【考点】点与圆的位置关系．
【分析】点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点P在圆内时，直径＝最小距离+最大距离；②当点P在圆外时，直径＝最大距离﹣最小距离．
【解答】解：分为两种情况：

①当点在圆内时，如图1，
∵点到圆上的最小距离PB＝4 cm，最大距离PA＝9 cm，
∴直径AB＝4 cm +9 cm＝13 cm，
∴半径r＝6.5 cm；
②当点在圆外时，如图2，
∵点到圆上的最小距离PB＝4 cm，最大距离PA＝9 cm，
∴直径AB＝9 cm﹣4 cm＝5 cm，
∴半径r＝2.5 cm；
故答案为：6.5 cm或2.5 cm．
【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．
【例9】（5分）（2021•安徽13/23）如图，圆O的半径为1，△ABC内接于圆O．若∠A＝60°，∠B＝75°，则AB＝ ．

【考点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【分析】连接OA，OB，由三角形内角和可得出∠C＝45°，再根据圆周角定理可得∠AOB＝90°，即△OAB是等腰直角三角形，又圆半径为1，可得出结论．
【解答】解：如图，连接OA，OB，

在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴AB＝OA＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等内容，作出正确的辅助线是解题关键．
【例10】（4分）（2021•广东17/25）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=2，BC=3．点D为平面上一个动点，∠ADB＝45°，则线段CD长度的最小值为 ．
【考点】勾股定理；圆周角定理；点与圆的位置关系
【分析】根据∠ADB＝45°，AB=2，作△ABD的外接圆O，连接OC，当O、D、C三点共线时，CD的值最小．将问题转化为点圆最值．可证得△AOB为等腰直角三角形，，同样可证△OBE也为等腰直角三角形，OE=BE=1，由勾股定理可求得OC的长为，最后CD最小值为．
【解答】解：如图所示．

∵∠ADB＝45°，AB=2，作△ABD的外接圆O（因求CD最小值，故圆心O在AB的右侧），连接OC，
当O、D、C三点共线时，CD的值最小．
∵∠ADB＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴．
∵∠OBA＝45°，∠ABC＝90°，
∴∠OBE＝45°，作OE⊥BC于点E，
∴△OBE为等腰直角三角形．
∴OE=BE=sin45°·OB=1，
∴CE=BC-BE=3-1=2，
在Rt△OEC中，
．
当O、D、C三点共线时，
CD最小为．
故答案为：．
【点评】本题考查了动点与隐圆条件下的点圆最值，涉及到点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等基础知识点，难度较大，需要根据条件进行发散思维．解题关键在于确定出点D的运动轨迹为一段优弧．
【例11】（2分）（2021•北京13/28）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则∠AOB＝ ．

【考点】圆周角定理；切线的性质．
【分析】先根据切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，然后根据四边形的内角和计算∠AOB的度数．
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠OAP+∠AOB+∠OBP+∠P＝360°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°．
故答案为130°．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
【例12】（3分）（2021•山西7/23）如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B=50°，则∠OCD为（ ）

A．15° B．20° C．25° D．30°
【考点】切线的性质；圆周角定理
【分析】连接OA，如图，根据切线的性质得到∠OAB=90°，则利用互余可计算出∠AOB=40°，再利用圆周角定理得到∠ADC=20°，然后根据平行线的性质得到∠OCD的度数．
【解答】解：连接OA，如图，

∵AB切⊙O于点A，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
∵∠B=50°，
∴∠AOB=90°-50°=40°，
∴，
∵AD∥OB，
∴∠OCD=∠ADC=20°．
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
【例13】（3分）（2021•陕西13/26）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 ．

【考点】正方形的性质；直线与圆的位置关系；切线的性质；平移的性质．
【分析】当⊙O与CB、CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，如图，过O点作OE⊥BC于E，OF⊥CD于F，根据切线的性质得到OE＝OF＝1，利用正方形的性质得到点O在AC上，然后计算出AQ的长即可．
【解答】解：当⊙O与CB、CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大．
如图，过O点作OE⊥BC于E，OF⊥CD于F，

∴OE＝OF＝1，
∴OC平分∠BCD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴点O在AC上，
∵AC， OC，
∴AQ＝OA+OQ，
即点A到⊙O上的点的距离的最大值为，
故答案为．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了正方形的性质．
【例14】（4分）（2021•上海6/25）如图，长方形ABCD中，AB=4，AD=3，圆B半径为1，圆A与圆B内切，则点C、D与圆A的位置关系是（ ）

A．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外
【考点】点与圆的位置关系；矩形的性质；圆与圆的位置关系
【分析】两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，得圆A的半径等于5，由勾股定理得AC=5，由点与圆的位置关系，可得结论．
【解答】解：两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，
设圆A的半径为R，
则：AB=R-1，
∵AB=4，圆B半径为1，
∴R=5，即圆A的半径等于5，
∵AB=4，BC=AD=3，由勾股定理可知AC=5，
∴AC=5=R，AD=3＜R，
∴点C在圆上，点D在圆内，
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置．
【例15】（8分）（2021•呼伦贝尔•兴安盟24/26）如图，AB是⊙O的直径，，连接AC、CD、AD．CD交AB于点F，过点B作⊙O的切线BM交AD的延长线于点E．
（1）求证：AC=CD；
（2）连接OE，若DE=2，求OE的长．

【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；切线的性质
【分析】（1）根据圆心角、弧、弦之间的关系及垂径定理进行证明即可；
（2）根据等边三角形的性质及三角形的内角和得到，再由BM⊥AB，CD⊥AB，得到BM∥CD，利用平行线的性质得到∠AEB=∠ADC=60°，进而利用含30°角的直角三角形的性质及勾股定理进行求解即可．
【解答】证明：（1）∵，
∴AD=CD，B是CD的中点，
∵AB是直径，
∴AD=AC，
∴AD=CD；
（2）如图，连接BD，

∵AD=CD=AC，
∴∠ADC=∠DAC=60°，
∵CD⊥AB，
∴，
∵BM切⊙O于点B，AB是直径，
∴BM⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴BM∥CD，
∴∠AEB=∠ADC=60°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△BDE中，
∵∠DBE=90°-∠DEB=30°，
∴BE=2DE=4，
∴，
在Rt△BDA中，
∵∠DAB=30°，
∴，
∴，
在Rt△OBE中，．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系、垂径定理及切线的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线BD，从而构造相关的直角三角形，利用其各边或各角之间的关系进行求解，注意运用数形结合的思想方法．
知识点4：与圆有关的计算


知识点梳理

1．弧长及扇形的面积：
（1）半径为r，n°的圆心角所对的弧长公式： ．
（2）半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积公式： （l是扇形的弧长）．
2．圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l，底面半径为r，那么这个扇形的半径为圆锥的母线长l，扇形的弧长为圆锥的底面圆周长2πr．
（1）圆锥的侧面积公式： （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）．
（2）圆锥的全面积公式：S圆锥全＝侧面积＋底面圆面积=πrl＋πr2．
3．求阴影部分面积的几种常见方法：
（1）公式法；
（2）割补法；
（3）拼凑法；
（4）等积变形构造方程法；
（5）去重法．
典型例题

【例16（4分）（2021•云南7/23）如图，等边△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径．若OA=3，则劣弧BD的长是（ ）

A． B．π C． D．2π
【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质
【分析】连接OB、BD，由等边△ABC，可得∠D=∠C=60°，且OB=OD，故△BOD是等边三角形，∠BOD=60°，又半径OA=3，根据弧长公式即可得劣弧BD的长．
【解答】解：连接OB、BD，如图：

∵等边△ABC，
∴∠C=60°，
∵弧AB=弧AB，
∴∠D=∠C=60°，
∵OB=OD，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∵半径OA=3，
∴劣弧BD的长为，
故选：B．
【点评】本题考查等边三角形及圆的弧长，解题的关键是掌握弧长公式并能熟练应用．
【例17】（3分）（2021•青海7/25）如图，一根5 m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（　　）

A．m2 B．m2 C．m2 D．m2
【考点】扇形面积的计算．
【分析】小羊的最大活动区域是一个半径为5、圆心角为90°和一个半径为1、圆心角为60°的小扇形的面积和．所以根据扇形的面积公式即可求得小羊的最大活动范围．
【解答】解：大扇形的圆心角是90度，半径是5，

所以面积（m2）；
小扇形的圆心角是180°﹣120°＝60°，半径是1 m，
则面积（m2），
则小羊A在草地上的最大活动区域面积（m2）．
故选：B．
【点评】本题考查了扇形的面积的计算，本题的关键是从图中找到小羊的活动区域是由哪几个图形组成的，然后分别计算即可．
【例18】（3分）（2021•西藏15/27）已知一个圆锥的底面圆半径是2，母线长是6．则圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数是 ．
【考点】圆锥的计算
【分析】利用圆锥侧面展开扇形圆心角与母线和底面圆半径的关系计算．
【解答】解：设圆心角为n，
底面半径是2，母线长是6，
则底面周长，
解得：n=120，
故答案为：120°．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是根据圆锥的底面周长得到扇形圆心角的表达式子．
【例19】（4分）（2021•重庆A卷16/26）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD=4，∠CAB=36°，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）

【考点】矩形的性质；扇形面积的计算
【分析】由图可知，阴影部分的面积是扇形AEO和扇形CFO的面积之和．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=4，OA=OC=OB=OD，AB∥CE
∴OA=OC=2，∠ACD=∠CAB=36°，
∴图中阴影部分的面积为：，
故答案为：．
【点评】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【例20】（3分）（2021•呼伦贝尔•兴安盟12/26）如图，两个半径长均为的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFD的圆心C是的中点，且扇形CFD绕着点C旋转，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H，则图中阴影面积等于（ ）

A． B． C．π-1 D．π-2
【考点】全等三角形的判定与性质；扇形面积的计算；旋转的性质
【分析】根据扇形的面积公式求出面积，再过点C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分别为M、N，然后证明△CMG与△CNH全等，从而得到中间空白区域的面积等于以为对角线的正方形的面积，从而得出阴影部分的面积．
【解答】解：两扇形的面积和为：，
过点C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分别为M、N，

则四边形EMCN是矩形，
∵点C是的中点，
∴EC平分∠AEB，
∴CM=CN，
∴矩形EMCN是正方形，
∵∠MCG+∠FCN=90°，∠NCH+∠FCN=90°，
∴∠MCG=∠NCH，
在△CMG与△CNH中，
，
∴△CMG≌△CNH（ASA），
∴中间空白区域面积相当于对角线是的正方形面积，
∴空白区域的面积为：，
∴图中阴影部分的面积=两个扇形面积和-2个空白区域面积的和=π-2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了扇形的面积求法，正方形的面积的计算，全等三角形的判定和性质，得出四边形EGCH的面积是解决问题的关键．
巩固训练

1.（3分）（2021•赤峰10/26）如图，点，在以为直径的半圆上，且，点是上任意一点，连接、．则的度数为（ ）

A． B． C． D．
2.（3分）（2021•鄂尔多斯16/24）如图，已知正方形的边长为6，点是正方形内一点，连接，，且，点是边上一动点，连接，，则长度的最小值为 　　．

3.（2分）（2021•吉林5/26）如图，四边形内接于⊙O，点为边上任意一点（点不与点，重合）连接．若，则的度数可能为（ ）

A． B． C． D．
4.（3分）（2021•海南10/22）如图，四边形是⊙O的内接四边形，是⊙O的直径，连接．若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
5.（4分）（2021•重庆B卷5/26）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若∠A=20°，则∠B的度数为（ ）

A． B． C． D．
6.（4分）（2021•安徽10/23）在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME．则下列结论错误的是（　　）
A．CD＝2ME B．ME∥AB C．BD＝CD D．ME＝MD
7.（3分）（2021•天津18/25）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点，均落在格点上，点在网格线上．
（Ⅰ）线段的长等于 　　；
（Ⅱ）以为直径的半圆的圆心为，在线段上有一点，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） 　　 ．

8.（8分）（2021•重庆A卷26/26）在△ABC中，，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得．
（1）如图1，当时，连接，交于点．若平分，，求的长；
（2）如图2，连接，取的中点，连接．猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，．若，当，时，请直接写出的值．

9.（8分）（2021•重庆B卷26/26）在等边△ABC中，，，垂足为，点为边上一点，点为直线上一点，连接．
（1）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
①如图1，当点与点重合，且的延长线过点时，连接，求线段的长；
②如图2，点不与点，重合，的延长线交边于点，连接，求证：；
（2）如图3，当点为中点时，点为中点，点在边上，且，点从中点沿射线运动，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当最小时，直接写出△DPN的面积．

10.（3分）（2021•西藏8/27）如图，△BCD内接于⊙O，，交⊙O于点，连接，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
11.（7分）（2021•北京28/28）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．
（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是 　B2C2　；
（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；
（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．

12.（3分）（2021•包头18/26）如图，在□ABCD中，，以为直径的⊙O与相切于点，连接．若，则□ABCD的周长为 　　．

13.（8分）（2021•通辽24/26）如图，是⊙O的直径，过点作⊙O的切线，点是射线上的动点，连接，过点作BD∥OP，交⊙O于点，连接．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）当四边形是平行四边形时，求的度数．

14.（10分）（2021•天津21/25）已知△ABC内接于⊙O，，，点是⊙O上一点．
（Ⅰ）如图①，若为⊙O的直径，连接，求和的大小；
（Ⅱ）如图②，若CD∥BA，连接，过点作⊙O的切线，与的延长线交于点，求的大小．

15.（10分）（2021•广东24/25）如图，在四边形中，AB∥CD，，，点、分别在线段、上，且EF∥CD，，．
（1）求证：；
（2）求证：以为直径的圆与相切；
（3）若，，求△ADE的面积．

16.（3分）（2021•包头5/26）如图，在Rt△ABC中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
17.（3分）（2021•赤峰13/26）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是（ ）

A． B． C． D．
18.（3分）（2021•呼伦贝尔•兴安盟15/26）将圆心角为的扇形围成底面圆的半径为的圆锥，则圆锥的母线长为 　　．
19.（3分）（2021•呼和浩特13/24）已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 　　．（用含的代数式表示），圆心角为 　　度．
20.（3分）（2021•鄂尔多斯13/24）如图，小梅把一顶底面半径为的圆锥形小丑纸帽沿一条母线剪开并展平，得到一个圆心角为的扇形纸片，那么扇形纸片的半径为 　30　．

21.（2分）（2021•河北16/26）如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：
①以O为圆心，OA为半径画圆；
②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；
③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；
④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F．
结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（　　）

A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
22.（3分）（2021•山西9/23）如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
23.（3分）（2021•吉林14/26）如图，在Rt△ABC中，，，．以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，，则图中阴影部分的面积为 　　（结果保留．

24.（4分）（2021•重庆B卷16/26）如图，在菱形中，对角线，，分别以点，，，为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为　　．（结果保留

25.（4分）（2021•广东13/25）如图，等腰直角三角形中，，．分别以点、点为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、于点、、，则图中阴影部分的面积为 　　．

26.（3分）（2021•河南14/23）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，均在小正方形的顶点上，且点，在上，，则的长为 　　．

27.（9分）（2021•江西21/23）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC．
（1）求证：∠CAD＝∠ECB；
（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB＝2时，求AD，AC与围成阴影部分的面积．

28.（9分）（2021•河北24/26）如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为An（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11延长线于点P．
（1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；
（2）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；
（3）求切线长PA7的值．

巩固训练解析

1.（3分）（2021•赤峰10/26）如图，点，在以为直径的半圆上，且，点是上任意一点，连接、．则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【考点】圆周角定理
【分析】连接，如图，根据圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理得到，则可计算出，然后根据圆周角定理得到的度数．
【解答】解：连接，如图，

四边形为的内接四边形，
，
，
为直径，
，
，
．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理：求出的度数是解决问题的关键．
2.（3分）（2021•鄂尔多斯16/24）如图，已知正方形的边长为6，点是正方形内一点，连接，，且，点是边上一动点，连接，，则长度的最小值为 　　．

【考点】正方形的性质；轴对称最短路线问题
【分析】根据正方形的性质得到，推出，得到点在以为直径的半圆上移动，如图，设的中点为，作正方形关于直线对称的正方形，则点的对应点是，连接交于，交于，则线段的长即为的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：

四边形是正方形，
，
，
，
，
，
点在以为直径的半圆上移动，
如图，设的中点为，作正方形关于直线对称的正方形，则点的对应点是，
连接交于，交半圆于，则线段的长即为的长度最小值，，
，，
，
，
，
的长度最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，正方形的性质，勾股定理的综合运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
3.（2分）（2021•吉林5/26）如图，四边形内接于⊙O，点为边上任意一点（点不与点，重合）连接．若，则的度数可能为（ ）

A． B． C． D．
【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【分析】由圆内接四边形的性质得度数为，再由为△PCD的外角求解．
【解答】解：四边形内接于⊙O，
，
，
，
为△PCD的外角，
，只有D满足题意．
故选：D．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补．
4.（3分）（2021•海南10/22）如图，四边形是⊙O的内接四边形，是⊙O的直径，连接．若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理
【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：四边形是⊙O的内接四边形，
，
，
，，
是⊙O的直径，
，
，
故选：A．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
5.（4分）（2021•重庆B卷5/26）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若∠A=20°，则∠B的度数为（ ）

A． B． C． D．
【考点】圆周角定理
【分析】根据直径所对的圆周角为90°，即可求解．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°．
∵∠A=20°，
∴∠B=90°-∠A=70°．
故选：A．
【点评】本题考查圆周角定理，关键在于知道直径所对的圆周角为直角．
6.（4分）（2021•安徽10/23）在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME．则下列结论错误的是（　　）
A．CD＝2ME B．ME∥AB C．BD＝CD D．ME＝MD
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据题意作出图形，可知点A，C，D，B四点共圆，再结合点M是中点，可得DM⊥BC，又CE⊥AD，BD⊥AD，可得△CEM≌△BFM，可得EM＝FM＝DM，延长DM交AB于点N，可得MN是△ACB的中位线，再结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得DN＝AN，得到角之间的关系，可得ME∥AB．
【解答】解：根据题意可作出图形，如图所示，并延长EM交BD于点F，延长DM交AB于点N，

在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，
由此可得点A，C，D，B四点共圆，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴CD＝DB，（故选项C正确）
∵点M是BC的中点，
∴DM⊥BC，
又∵∠ACB＝90°，
∴AC∥DN，
∴点N是线段AB的中点，
∴AN＝DN，
∴∠DAB＝∠ADN，
∵CE⊥AD，BD⊥AD，
∴CE∥BD，
∴∠ECM＝∠FBM，∠CEM＝∠BFM，
∵点M是BC的中点，
∴CM＝BM，
∴△CEM≌△BFM（AAS），
∴EM＝FM，
∴EM＝FM＝DM（故选项D正确），
∴∠FEM＝∠MDE＝∠DAB，
∴EM∥AB（故选项B正确），
综上，可知选项A的结论不正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线定理，全等三角形的性质与判定等，根据题中条件，作出正确的辅助线是解题关键．
7.（3分）（2021•天津18/25）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点，均落在格点上，点在网格线上．
（Ⅰ）线段的长等于 　　；
（Ⅱ）以为直径的半圆的圆心为，在线段上有一点，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） 　　 ．

【考点】勾股定理；圆周角定理
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可．
（Ⅱ）取与网格线的交点，连接延长交于点，连接交于点，连接，延长交的延长线于，连接延长交于点，点即为所求．
【解答】解：（Ⅰ）．
故答案为：．
（Ⅱ）如图，取与网格线的交点，连接延长交于点，连接交于点，连接，延长交的的延长线于，连接延长交于点，点即为所求．

故答案为：取与网格线的交点，连接延长交于点，连接交于点，连接，延长交的的延长线于，连接延长交于点，点即为所求．
【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8.（8分）（2021•重庆A卷26/26）在△ABC中，，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得．
（1）如图1，当时，连接，交于点．若平分，，求的长；
（2）如图2，连接，取的中点，连接．猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，．若，当，时，请直接写出的值．

【考点】几何变换综合题
【分析】（1）连接，过点作于，判断出，再判断出，进而得出△ABD≌△ACE（SAS），得出，，再判断出，即可得出结论；
（2）延长至点，使，连接，得出，再判断出△ADC≌△AEM（SAS），得出，即可得出结论；
（3）如图3，连接，与的交点记作点，先判断出△ADE是等边三角形，得出，，，进而判断出点，，，四点共圆，得出，再判断出是的垂直平分线，也是的角平分线，设，则，进而得出，，，再构造直角三角形求出，即可得出结论．
【解答】解：（1）连接，过点作于，

平分，，
，
，
，
，
，
，
，
由旋转知，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2），
理由：延长至点，使，连接，

是的中点，
，
，
，
，
，，
，
，
∴△ADC≌△AEM（SAS），
，
；
（3）如图3，连接，与的交点记作点，

，，
，
，
∴△ADE是等边三角形，
，，
，
，
在△ABC中，，，
，
，
，
点，，，四点共圆，
，
，
，
，
，
是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
由（2）知，，
，
，
，
，
过点作于，
在Rt△AHC中，，，
，
根据勾股定理得，，
在Rt△AHD中，根据勾股定理得，，
，
，
．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，判断出点，，，四点共圆是解本题的关键．
9.（8分）（2021•重庆B卷26/26）在等边△ABC中，，，垂足为，点为边上一点，点为直线上一点，连接．
（1）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
①如图1，当点与点重合，且的延长线过点时，连接，求线段的长；
②如图2，点不与点，重合，的延长线交边于点，连接，求证：；
（2）如图3，当点为中点时，点为中点，点在边上，且，点从中点沿射线运动，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当最小时，直接写出△DPN的面积．

【考点】几何变换综合题
【分析】（1）①过作于，先证明△BGF是等边三角形，求出长度，再证明，从而在Rt△BDC中，求出，即得，在Rt△CDH中，求出和，可得，Rt△GHD中，即可得到；
②过作交于，过作交于，连接，作中点，连接，由，得、、、共圆，可得，从而可证，由、、、共圆可得，故△GFP≌△HFM，，可得，，在Rt△BEP中，，Rt△MHB中，，即可得到；
（2）以为顶点，为一边，作，交于，过作于，设交于，Rt△PMH中，，最小即是最小，此时、、共线，而将线段绕点顺时针旋转得到线段，可得，从而可证ML∥AC，四边形是矩形，由，得，由等边△ABC中，，点为中点时，点为中点，可得，，Rt△BGM中，，，可求，，Rt△MHP中，可得，从而可得，故．
【解答】解：（1）①过作于，如图：

线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合，且的延长线过点，
，，
∴△BGF是等边三角形，
，，
等边，，，
，，，
，
，
，
，
Rt△BDC中，，
，
Rt△CDH中，，，
，
，
Rt△GHD中，；
②过作交于，过作交于，连接，作中点，连接，如图：

绕点逆时针旋转得到线段，
∴△EGF是等边三角形，
，，，
∵△ABC是等边三角形，
，
，
、、、共圆，
，
而△ABC是等边三角形，，
，即，
，
，
①，
，，
，，
，
、、、共圆，
，
，，
，
②，
而③，
由①②③得△GFP≌△HFM（AAS），
，
，中点，，
，
，
，
Rt△MHB中，，
，
，即，
Rt△BEP中，，
Rt△MHB中，，
，
；
（2）以为顶点，为一边，作，交于，过作于，设交于，如图：

Rt△PMH中，，
最小即是最小，此时、、共线，
将线段绕点顺时针旋转得到线段，
在射线上运动，则在射线上运动，根据“瓜豆原理”， 为主动点，是从动点，为定点，，则、轨迹的夹角，
，
，
，
，
，
，
∴ML∥AC，
，
而，
，
四边形是矩形，
，
在△ABC中，，，
，
又，
，
等边△ABC中，，点为中点时，点为中点，
，，
Rt△BGM中，，，
，，
Rt△MHP中，，
，
．
【点评】本题考查等边三角形性质及应用，涉及旋转变换、解直角三角形、三角形全等的判定及性质、矩形的判定及性质等知识，难度较大，解题的关键是构造辅助线．
10.（3分）（2021•西藏8/27）如图，△BCD内接于⊙O，，交⊙O于点，连接，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；三角形的外接圆与外心
【分析】连接，，根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接，，

，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
11.（7分）（2021•北京28/28）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．
（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是 　B2C2　；
（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；
（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．

【考点】圆的综合题．
【分析】（1）利用旋转的性质以及点A到圆上一点距离的范围，结合图形判断，即可求出答案．
（2）利用旋转的性质，“关联线段”的定义以及等边三角形的性质，求出B′C′的位置，从而求出t的值．
（3）利用旋转的性质以及“关联线段”的定义，可知四边形AB′OC′的各边长，利用四边形的不稳定性，画出OA最小和最大时的图形，利用等腰三角形的性质以及勾股定理求出答案．
【解答】解：（1）由旋转的旋转可知：AB＝AB′，AC＝AC′，∠BAB′＝∠CAC′，
由图可知点A到圆上一点的距离d的范围为1≤d≤1，
∵AC1＝3＞d，
∴点 C1′不可能在圆上，
∴B1C1不是⊙O的以A为中心的“关联线段”，
∵AC2＝1，AB2，
∴C2′（0，1），B2′（1，0），
∴B2C2是⊙O的以A为中心的“关联线段”，
∵AC3＝2，AB3，
当B3′在圆上时，B3′（1，0）或（0，﹣1），
由图可知此时C3′不在圆上，
∴B3C3不是⊙O的以A为中心的“关联线段”．
故答案为；B2C2．
（2）∵△ABC是边长为1的等边三角形，
根据旋转的性质可知△AB′C′也是边长为1的等边三角形，
∵A（0，t），
∴B′C′⊥y轴，且B′C′＝1，
∴AO为B′C′边上的高，且此高的长为，
∴t或．
（3）由旋转的性质和“关联线段”的定义，
可知AB′＝AB＝OB′＝OC′＝1，AC′＝AC＝2，如图1，

利用四边形的不稳定性可知，
当A，O，C′在同一直线上时，OA最小，最小值为1，如图2，

此时OA＝OB′＝OC′，
∴∠AB′C＝90°，
∴B′C′．
当A，B′，O在同一直线上时，OA最大，如图3，

此时OA＝2，过点A作AE⊥OC′于E，过点C′作C′F⊥OA于F．
∵AO＝AC′＝2，AE⊥O C′，
∴OE＝EC′，
∴AE，
∵S△AOC′•AO•C′F•OC′•AE，
∴C′F，
∴OF，
∴FB′＝OB′﹣OF，
∴B′C′．
综上OA的最小值为1时，此时BC的长为，OA的最大值为2，此时BC的长为．

【点评】此题属于圆综合题，考查了旋转有关的新定义题，利用旋转的性质，等腰三角形，等边三角形，勾股定理等知识点，本题的关键画出OA最小和最大时的图形，属于中考压轴题．
12.（3分）（2021•包头18/26）如图，在□ABCD中，，以为直径的⊙O与相切于点，连接．若，则□ABCD的周长为 　　．

【考点】圆周角定理；切线的性质；平行四边形的性质
【分析】连接，过点作交于点，利用平行四边形的性质和切线的性质证明四边形为矩形，利用勾股定理求得，进而求得平行四边形的周长．
【解答】解：连接，过点作交于点，

四边形为平行四边形，
，，，
，
∵⊙O与相切于点，
，

，
，
，
四边形为矩形，
，
为直径，，
，
，，
，
在Rt△OFC中，由勾股定理得，
，
，
∴□ABCD的周长为，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，切线的性质，解题的关键是利用辅助线构造矩形，通过矩形的性质求出平行四边形的边长．
13.（8分）（2021•通辽24/26）如图，是⊙O的直径，过点作⊙O的切线，点是射线上的动点，连接，过点作BD∥OP，交⊙O于点，连接．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）当四边形是平行四边形时，求的度数．

【考点】平行四边形的性质；切线的判定与性质；圆周角定理
【分析】（1）连接，根据切线的性质求出，根据平行线的性质和等腰三角形的性质求出，根据全等三角形的判定推出△AOP≌△DOP，根据全等三角形的性质得出，再根据切线的判定得出即可；
（2）根据全等得出，根据平行四边形的性质得出，求出，再求出答案即可．
【解答】（1）证明：连接，

切⊙O于，
，
即，
∵BD∥OP，
，，
，
，
，
在△AOP和△DOP中
，
∴△AOP≌△DOP（SAS），
，
，
，
即，
过，
是⊙O的切线；
（2）解：如下图，

由（1）知：△AOP≌△DOP，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形等知识点，能熟记圆的切线垂直于过切点的半径是解此题的关键．
14.（10分）（2021•天津21/25）已知△ABC内接于⊙O，，，点是⊙O上一点．
（Ⅰ）如图①，若为⊙O的直径，连接，求和的大小；
（Ⅱ）如图②，若CD∥BA，连接，过点作⊙O的切线，与的延长线交于点，求的大小．

【考点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的性质
【分析】（Ⅰ）如图①，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，再根据圆周角定理得到，，利用互余计算出的度数，利用圆周角定理计算的度数，从而得到的度数；
（Ⅱ）如图②，连接，利用平行线的性质得到，利用圆内接四边形的性质计算出，再根据三角形内角和计算出，接着利用圆周角定理得到，然后根据切线的性质得到，最后利用互余计算出的度数．
【解答】解：（Ⅰ）如图①，

，
，
为直径，
，
，
；
；
（Ⅱ）如图②，连接，

∵CD∥BA，
，
四边形为⊙O的内接四边形，
，
，
，
，
为切线，
，
，
．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
15.（10分）（2021•广东24/25）如图，在四边形中，AB∥CD，，，点、分别在线段、上，且EF∥CD，，．
（1）求证：；
（2）求证：以为直径的圆与相切；
（3）若，，求△ADE的面积．

【考点】圆的综合题
【分析】（1）先判断出，同理判断出，进而判断出，即可得出结论；
（2）取的中点，过点作于，先判断出，进而判断出，即可得出结论；
（3）先求出，，再判断出四边形是矩形，得出，过点作于，同理求出，即可得出结论．
【解答】（1）证明：，
，
∵EF∥CD，
，
，
，
，
，
∵CD∥EF，CD∥AB，
∴AB∥EF，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图1，取的中点，过点作于，

，
，
∵AB∥CD，
∴OH∥AB∥CD，
∵AB∥CD，，
四边形是梯形，
点是的中点，即是梯形的中位线，
，
，，
，
，
以为直径的圆与相切；
（3）如图2，

由（1）知，，
，
，
在Rt△CEF中，，，
，
，
∵AB∥EF∥CD，，
，
过点作，交的延长线于，
，
，
四边形是矩形，
，
过点作于，
四边形是矩形，
，
由（1）知，，
，
，
在Rt△BEF中，，
，
，




．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了平行线的性质，切线的判定，锐角三角函数，矩形的判定，作出辅助线求出是解本题的关键．
16.（3分）（2021•包头5/26）如图，在Rt△ABC中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
【考点】扇形面积的计算；勾股定理
【分析】先根据直角三角形中的勾股定理求得，再将求不规则的阴影部分面积转化为求规则图形的面积：，将相关量代入求解即可．
【解答】解：根据题意可知，则，
设，，
，
，即，
，
故选：D．
【点评】本题考查扇形面积的计算及勾股定理，通常需要将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来进行求解．
17.（3分）（2021•赤峰13/26）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是（ ）

A． B． C． D．
【考点】圆锥的计算；由三视图判断几何体
【分析】首先判断该几何体的形状，然后根据其尺寸求得其侧面积即可．
【解答】解：观察三视图发现该几何体为圆锥，其底面直径为，母线长为，
所以其侧面积为：，
故选：A．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体，圆锥的有关计算，由该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和母线长是解本题的关键．
18.（3分）（2021•呼伦贝尔•兴安盟15/26）将圆心角为的扇形围成底面圆的半径为的圆锥，则圆锥的母线长为 　　．
【考点】圆锥的计算
【分析】利用底面周长展开图的弧长可得．
【解答】解：设圆锥的母线长为，
根据题意得：
解得．
故答案为：．
【点评】此题考查圆锥的问题，解答本题的关键是先确定底面周长展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．
19.（3分）（2021•呼和浩特13/24）已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 　　．（用含的代数式表示），圆心角为 　　度．
【考点】圆锥的计算；列代数式
【分析】根据圆锥的展开图为扇形，结合圆周长公式的求解．
【解答】解：设底面圆的半径为，
由勾股定理得：，
，
根据题意得，
解得，
即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为．
故答案为：，216．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
20.（3分）（2021•鄂尔多斯13/24）如图，小梅把一顶底面半径为的圆锥形小丑纸帽沿一条母线剪开并展平，得到一个圆心角为的扇形纸片，那么扇形纸片的半径为 　30　．

【考点】圆锥的计算；剪纸问题
【分析】设扇形纸片的半径为，根据圆锥底面圆的周长是展开扇形的弧长列方程即可解得答案．
【解答】解：设扇形纸片的半径为，由圆锥底面圆的周长是展开扇形的弧长可得：
，
解得，
故答案为：30．
【点评】本题考查弧长的计算，解题的关键是找出等量关系：圆锥底面圆的周长是展开扇形的弧长．
21.（2分）（2021•河北16/26）如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：
①以O为圆心，OA为半径画圆；
②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；
③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；
④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F．
结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（　　）

A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；矩形的性质；点与圆的位置关系；扇形面积的计算；作图—复杂作图．
【分析】如图，连接EM，EN，MF．NF．根据矩形的判定证明四边形MENF是矩形，再说明∠MOF＝∠AOB时，S扇形FOM＝S扇形AOB，观察图象可知，这样的点P不唯一，可知（Ⅱ）错误．
【解答】解：如图，连接EM，EN，MF．NF．

∵OM＝ON，OE＝OF，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵EF＝MN，
∴四边形MENF是矩形，故（Ⅰ）正确，
观察图象可知当∠MOF＝∠AOB，
∴S扇形FOM＝S扇形AOB，
观察图象可知，这样的点P不唯一，故（Ⅱ）错误，
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，矩形的判定，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
22.（3分）（2021•山西9/23）如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算
【分析】由正六边形的边长为2，可得，，进而求出，，过作于，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，，在中，由勾股定理求得，得到，根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积．
【解答】解：正六边形的边长为2，
，，
，
，
过作于，

，，
在Rt△ABH中，
，
，
同理可证，，
，
，
图中阴影部分的面积为，
故选：A．
【点评】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．
23.（3分）（2021•吉林14/26）如图，在Rt△ABC中，，，．以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，，则图中阴影部分的面积为 　　（结果保留．

【考点】含30度角的直角三角形；扇形面积的计算
【分析】连接，由扇形面积-三角形面积求解．
【解答】解：连接，

，
，
，
∴△CBE为等边三角形，
，，

，
阴影部分的面积为．
故答案为：．
【点评】本题考查扇形的面积与解直角三角形，解题关键是判断出三角形为等边三角形与扇形面积的计算．
24.（4分）（2021•重庆B卷16/26）如图，在菱形中，对角线，，分别以点，，，为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为　　．（结果保留

【考点】菱形的性质；扇形面积的计算
【分析】先求出菱形面积，再计算四个扇形的面积即可求解．
【解答】解：在菱形中，有：，．
．
．
四个扇形的面积，是一个以的长为半径的圆．
图中阴影部分的面积．
故答案为：．
【点评】本题考查菱形的性质、扇形面积计算．关键在于图中四个扇形的面积实际上是一个圆的面积．
25.（4分）（2021•广东13/25）如图，等腰直角三角形中，，．分别以点、点为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、于点、、，则图中阴影部分的面积为 　　．

【考点】扇形面积的计算；等腰直角三角形
【分析】阴影部分的面积等于的面积减去空白处的面积即可得出答案．
【解答】解：等腰直角三角形中，，，
，

，
阴影部分的面积，
故答案为．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，正确熟记扇形的面积公式是解此题的关键，题目比较好，难度适中．
26.（3分）（2021•河南14/23）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，均在小正方形的顶点上，且点，在上，，则的长为 　　．

【考点】弧长的计算
【分析】如图，圆心为，连接，，，．利用弧长公式求解即可．
【解答】解：如图，圆心为，连接，，，．

，，
的长．
故答案为：．
【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是正确寻找圆心的位置，属于中考常考题型．
27.（9分）（2021•江西21/23）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC．
（1）求证：∠CAD＝∠ECB；
（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB＝2时，求AD，AC与围成阴影部分的面积．

【考点】圆的综合题．
【分析】（1）先判断出∠CBE＝∠D，再用等角的余角相等，即可得出结论；
（2）①先判断出OC∥AB，再判断出BC∥OA，进而得出四边形ABCO是平行四边形，即可得出结论；
②先求出AC，BC，再用面积的和，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠CBE＝∠D，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠D+∠CAD＝90°，
∴∠CBE+∠CAD＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CBE+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE；
（2）①四边形ABCO是菱形，理由：
∵∠CAD＝30°，
∴∠COD＝2∠CAD＝60°，∠D＝90°﹣∠CAD＝60°，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴CE⊥AB，
∴OC∥AB，
∴∠DAB＝∠COD＝60°，
由（1）知，∠CBE+∠CAD＝90°，
∴∠CBE＝90°﹣∠CAD＝60°＝∠DAB，
∴BC∥OA，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OA＝OC，
∴□ABCO是菱形；
②由①知，四边形ABCO是菱形，
∴OA＝OC＝AB＝2，
∴AD＝2OA＝4，
由①知，∠COD＝60°，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
∴CD＝2，AC＝23，
∴AD，AC与围成阴影部分的面积为：
S△AOC+S扇形COD


．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了同角的余角相等，切线的性质，菱形的判定，扇形的面积公式，判断出BC∥OA是解本题的关键．
28.（9分）（2021•河北24/26）如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为An（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11延长线于点P．
（1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；
（2）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；
（3）求切线长PA7的值．

【考点】切线的性质；正多边形和圆；弧长的计算．
【分析】（1）利用弧长公式求解即可．
（2）利用圆周角定理证明即可．
（3）解直角三角形求出PA7即可．
【解答】解：（1）由题意，∠A7OA11＝120°，
∴的长＞12，
∴比直径长．
（2）结论：PA1⊥A7A11．
理由：连接A1A7．

∵A1A7是⊙O的直径，
∴∠A7A11A1＝90°，
∴PA1⊥A7A11．
（3）∵PA7是⊙O的切线，
∴PA7⊥A1A7，
∴∠PA7A1＝90°，
∵∠PA1A7＝60°，A1A7＝12，
∴PA7＝A1A7•tan60°＝．
【点评】本题考查正多边形与圆，切线的性质，圆周角定理，弧长公式，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握正多边形与圆的关系，属于中考常考题型