2022-2023学年度吉林省长市省实验繁荣学校九年级上学期第一次月考数学试题

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吉林省实验中学繁荣学校2022—20203学年度上学期九年级第一次月考
数学试卷
一、选择题
1. 已知为锐角，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值直接求解即可．
【详解】解：为锐角，且，
．
故选：
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主，记住特殊角的三角函数值是解题关键．
2. 下列事件中，是必然事件的是（　　）
A. 从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球
B. 任意买一张电影票，座位号是3的倍数
C. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
D. 汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯
【答案】A
【解析】
【分析】根据概率事件定义理解逐一判断即可．
【详解】A：只有白球的盒子里摸出的球一定是白球，故此选项正确
B：任意买一张电影票，座位号是随机的，是随机事件，故此选项错误
C：掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，是随机事件，故此选项错误
D：汽车走过一个红绿灯路口时，绿灯的概率为，是随机事件，故此选项错误
故答案选A
【点睛】本题主要考查了概率的事件分类问题，根据必然事件，在一定条件下，事件必然会发生的定义判断是解题的关键．
3. 比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点．通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】确定所在直角三角形，找出直角，然后根据三角函数的定义求解；
【详解】由题可知，△ABD是直角三角形，，
，,．
选项B、C、D都是错误的，
故答案选A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形中三角函数的定义理解，准确理解是解题的关键．
4. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.25左右列出关于x的方程，求出x的值即可得答案．
【详解】解：设袋子中红球有x个，
根据题意，得：
解得
答：袋子中红球有5个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
5. 现有三张正面分别标有数字，，的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背而面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为，，则点在第二象限的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，利用第二象限内点的坐标特征确定点在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中点在第二象限的结果数为2，
所以点在第二象限的概率．
故选：D．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了点的坐标．
6. 如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在小正方形的顶点上，则∠AOB的正弦值是（　　）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点B作BC⊥OA于点C．先利用勾股定理求出BO、AO的长，再利用△AOB的面积求出BC的长，最后在直角△BCO中求出∠AOB的正弦值．
【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C．

BO ，
AO,
∵S△AOB×2×2＝2，
∴AO•BC＝2,
∴BC．
．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，利用△的面积求出OA边上的高是解决本题的关键．
7. 如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（　　）

A. 5米 B. 6米 C. 8米 D. （3+ ）米
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：根据CD：AD=1:2，AC=3米可得：CD=3米，AD=6米，根据AB=10米，∠D=90°可得：BD==8米，则BC=BD－CD=8－3=5米.
考点：直角三角形的勾股定理

8. 如图，将一块菱形ABCD硬纸片固定后进行投针训练．已知纸片上AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，sinD=．若随意投出一针命中了菱形纸片，则命中矩形区域的概率是（　　）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】【分析】根据题意可以分别求得矩形的面积和菱形的面积，然后根据概率公式进行求解即可得.
【详解】设CD=5a，
∵四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，sinD=，
∴CF=4a，DF=3a，
∴AF=2a，
∴命中矩形区域的概率是：，
故选B．
【点睛】本题考查几何概率、菱形的性质、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
二、填空题
9. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是_____.．
【答案】1
【解析】
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴∆=0，
∴4﹣4m=0，
∴m=1，
故答案为1．
10. 一个不透明的袋子中装有个小球，其中个红球，个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：∵一个不透明的袋子中装有个小球，其中个红球，个绿球，
∴从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为．
故答案为．
【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)＝．
11. 一只不透明袋子中装有个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
摸球的次数






摸到白球的频数






摸到白球的频率






该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是____（精确到）．
【答案】0.33
【解析】
【分析】通过表格中数据，随着次数的增多，摸到白球的频率越稳定在0.33左右，估计得出答案；
【详解】解：观察表格发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定在0.33附近，由此估出红球有2个．
故答案为：0.33，
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
12. 有三张大小、形状完全相同的卡片．卡片上分别写有数字4、5、6，搅匀后从这三张卡片中同时抽取两张，则抽取的两张卡片上数字之和为奇数的概率是______．
【答案】；
【解析】
【分析】利用树状图，第一次抽取为4或5或6，第二次从剩下的两张再抽一张，抽4，4+5=9一种，抽5，5+4=9，5+6=11两种，抽6，6+5=11，一种，共4种奇数，所有情况=3×2,=6种，利用概率公式计算即可．
【详解】和为奇数由4种，所有两数和的情况有3×2=6种，
P和为奇数的概率=，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查概率问题，关键是掌握画树状图，分析所有情况与满足条件的情况，会用公式计算．
13. 如图，在四边形中，．若将沿折叠,点与边的中点恰好重合，则四边形的周长为________．

【答案】20
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到DE=BE=AB=5，再根据折叠的性质，即可得到四边形BCDE的周长为5×4=20．
【详解】解：∵BD⊥AD，点E是AB的中点，
∴DE=BE=AB=5，
由折叠可得，CB=BE，CD=ED，
∴四边形BCDE的周长为5×4=20，
故答案为20．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质及折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
14. 如图，在中，，点E在边上．将沿直线翻折，点A落在点处，连接，交于点F．若，，则__________．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意设AC=4x，AB=5x，则BC=3x，再证明△BCE为等腰直角三角形，得到EC=3x，根据△A′EF∽△BCF，得到.
【详解】解：∵，，
∴，设AC=4x，AB=5x，则BC=3x，
∵，
∴∠AEA′=90°，A′E∥BC，
由于折叠，
∴∠A′EB=∠AEB=（360-90）÷2=135°，且△A′EF∽△BCF，
∴∠BEC=45°，即△BCE为等腰直角三角形，
∴EC=3x，
∴AE=AC-EC=x=A′E，
∴
故答案为：.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，三角函数，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是根据折叠得出△BCE为等腰直角三角形.
三、解答题
15. 计算：
【答案】5
【解析】
【分析】根据负指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的定义和30°的余弦值计算即可．
【详解】解：
=
=
=5
【点睛】此题考查的是实数的混合运算，掌握负指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的定义和30°的余弦值是解决此题的关键．
16. 现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为、，图案为“保卫和平”的卡片记为）

【答案】树状图见解析，
【解析】
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意画树状图如下：

共有9种等可能的情况数，其中两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的有1种，
∴（两次抽取的卡片上图案都是“保卫和平”）．
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17. 如图，为测量某建筑物的高度，在离该建筑物底部24米的点处，日测建筑物顶端处，视线与水平夹角为39°， 目高为1.5米，求建筑物的高度(结果精确到0.1米) [参考数据：，，]

【答案】20.9米
【解析】
【分析】过D作DE⊥AB于点E，继而可得出四边形BCDE为矩形，DE=BC=24米，CD=BE=1.5米，根据∠ADE=39°，在Rt△ADE中利用三角函数求出AE的长度，继而可求得AB的长度．
详解】过作于点，

则四边形为矩形，
∴米，米，
在中，∵，
∴，
∴ (米)，
∴ (米)．
答:建筑物的高度约为20．9米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．
18. 如图，在中，是对角线、的交点，，，垂足分别为点、．

（1）求证：．
（2）若，，求的值．
【答案】（1）见解析1；（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意由平行四边形性质得，由ASA证得，即可得出结论；
（2）根据题意由（1）得OE=OF，则OE=2，在Rt△OEB中，由三角函数定义即可得出结果．
【详解】解：（1）证明：在中，
∵，
∴
∴
又∵
∴
∴
（2）∵，
∴
∵
∴
在中，，.
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的性质与全等三角形的判定是解题的关键．
19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以AB为边的正方形，点E和点F均在小正方形的顶点上；
（2）在图中画出以CD为边的等腰三角形，点G在小正方形的顶点上，且的周长为，连接EG，请直接写出线段EG的长．

【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析，EG=.
【解析】
【分析】（1）根据正方形的判定作图可得；
（2）根据等腰三角形与勾股定理可得答案．
【详解】解：（1）如图所示，正方形ABEF即为所求；

（2）如图所示，△CDG即为所求，由勾股定理，得EG=.
【点睛】本题考查作图-应用与设计、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用思想结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
20. 小明和小亮玩一个游戏，游戏规则是：在三张完全相同的卡片上分别标记、、三个数字，一人先从三张卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，另一人再从中随机抽出一张，记下数字，若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则小明获胜，若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则小亮获胜．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】不公平，理由见解析．
【解析】
【分析】首先根据题意列表，然后根据表求得所有等可能的结果与和为奇数、偶数的情况，再利用概率公式求解即可．
【详解】解：不公平，
列表如下：

4
5
6
4
8
9
10
5
9
10
11
6
10
11
12
由表可知，共有9种等可能结果，其中和为偶数的有5种结果，和为奇数的有4种结果，
所以按照游戏规则，小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为，
由知这个游戏不公平；
【点睛】此题考查了列表法求概率．注意树状图与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的情况．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
21. 如图，在中，，为上一点，，．

（1）求的长；（2）求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据，可设，得，再由勾股定理列出的方程求得，进而由勾股定理求；
（2）过点作于点，解直角三角形求得与，进而求得结果．
【详解】解：（1）∵，可设，得，
∵，
∴，
解得，（舍去），或，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）过点作于点，

∵，可设，则，
∵，
∴，
解得，（舍），或，
∴，
∴．
【点睛】考核知识点：解直角三角形.理解三角函数的定义是关键.
22. 某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中油量为．在整个过程中，油箱里的油量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示．

（1）机器每分钟加油量为_____，机器工作的过程中每分钟耗油量为_____．
（2）求机器工作时关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时的值．
【答案】（1）3，；（2），；（3）5或40．
【解析】
【分析】（1）根据加油量为即可得；根据时剩余油量为即可得；
（2）根据函数图象，直接利用待定系数法即可得；
（3）先求出机器加油过程中的关于的函数解析式，再求出时，两个函数对应的x的值即可．
【详解】（1）由函数图象得：机器每分钟加油量为
机器工作的过程中每分钟耗油量为
故答案为：3，；
（2）由函数图象得：当时，机器油箱加满，并开始工作；当时，机器停止工作
则自变量取值范围为，且机器工作时的函数图象经过点
设机器工作时关于的函数解析式
将点代入得：
解得
则机器工作时关于的函数解析式；
（3）设机器加油过程中的关于的函数解析式
将点代入得：
解得
则机器加油过程中的关于的函数解析式
油箱中油量为油箱容积的一半时，有以下两种情况：
①在机器加油过程中
当时，，解得
②在机器工作过程中
当时，，解得
综上，油箱中油量为油箱容积的一半时的值为5或40．
【点睛】本题考查了函数图象、利用待定系数法求一次函数和正比例函数的解析式等知识点，从函数图象中正确获取信息是解题关键．
23. 【问题情境】如图①，在中，，，点为中点，连结，点为的延长线上一点，过点且垂直于的直线交的延长线于点.易知BE与CF的数量关系 ．
【探索发现】如图②，在中，，，点为中点，连结，点为的延长线上一点，过点且垂直于的直线交的延长线于点.【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由．
【类比迁移】如图③，在等边中，，点是中点，点是射线上一点（不与点、重合），将射线绕点逆时针旋转交于点．当时，______．

【答案】问题情境：；探索发现：成立，见解析；类比迁移：或
【解析】
【分析】问题情境：根据等腰直角三角形的性质，证明即可得；
探索发现：与图①类似，证明即可；
类比迁移：根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=60°，求得∠BDF=∠AED，设CE=x，则CF=2x，分两种情况讨论：点E在线段AC上，点E在AC的延长线上，证明，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】问题情境：，证明如下：
∵在中，，，点为中点，
∴，
∴
∵
∴
∴
在和中，

∴
∴
探索发现：成立，
理由：∵在中，为中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，

∴
∴
类比迁移：
当点E在线段AC上时，如图③，

∵是等边三角形，，点是中点，
∴，，
设，则，，
∵是的外角，，
∴
即
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
解得，（大于4，不符合题意，舍去）
当点E在线段AC的延长线时，如图：

设，则，，
同理可得
∴
解得，（不符合题意，舍去）
综上所述，或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查全等三角形与相似三角形的综合问题，运用等腰直角三角形的性质寻找全等条件，熟练掌握相似三角形中的一线三等角模型是解题的关键．
24. 如图，在矩形中，，．、两点分别从，同时出发，点沿折线运动，在上的速度是，在上的速度是；点在上以的速度向终点运动，过点作，垂足为点．连接，以，为邻边作．设运动的时间为，与矩形重叠部分的图形面积为．

（1）当时， ．
（2）若直线与交于点，当时，求的长；
（3）求关于的函数解析式，并写出取值范围；
（4）直线将矩形的面积分成两部分时，直接写出的值．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或
【解析】
【分析】（1）根据30°所对的直角边是斜边的一半可得，从而列出方程即可求出结论；
（2）根据题意，画出图形，求出DQ的长，再根据30°所对的直角边是斜边的一半即可求出结论；
（3）根据点P、Q的相对位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用锐角三角函数和图形的面积公式即可分别求出结论；
（4）分别对当直线AM过BC的中点E时和当直线AM过CD的中点E时分类讨论，分别画出对应的图形，利用等角的正切值相等即可列出方程，从而求出结论．
【详解】解：(1)当时，如图所示

∴PQ∥AD，
∴∠PQB=∠ADB=30°
∴，
由题意可得AP=2x，BQ=2x
∴BP=AB－AP=2－2x


故答案为：．
（2）当时，如下图所示

∴BQ=2×=cm
在Rt△ABD中，∠ADB=30°
∴BD=2AB=4cm
∴DQ=BD－BQ=
∴EQ=；
（3）①如图1中，当时，重叠部分是平行四边形．
过点Q作QH⊥AB于点H

∴∠BQH=∠ADB=30°
∴QH=BQ·cos30°
由题意可得AP=2x，BQ=2x
∴QH=
∴．
②如图2中，当时，重叠部分是梯形．
过点Q作QH⊥AB于H

此时QH=BQ·cos30°=，EQ=，AP=2x

③如图3中，当时，重叠部分是梯形．如下图所示

由题意可得BP=，BQ=2x，PN=AB=2
∴AN=BP=，DQ=4－2x，AD=BD·cos30°=
∴EQ=，DE=DQ·cos30°=
∴EN=AD－DE－AN=

综上所述
（4）当或时，直线将矩形的面积分成两部分．理由如下
①当直线AM过BC的中点E时，此时直线将矩形的面积分成两部分
过点Q作QH⊥AB于H，如图所示

∴BE=，QH= BQ·cos30°=，BH= BQ·sin30°=x
∴PH=AB－AP－BH=2－3x
∵PQ∥AE
∴∠EAB=∠QPH
∴tan∠EAB =tan∠QPH
∴
即
解得：；
②当直线AM过CD的中点E时，此时直线将矩形的面积分成两部分
过点Q作QH⊥AB于H，如图所示

∴DE=1，QH= BQ·cos30°=，BH= BQ·sin30°=x
∴PH=AB－AP－BH=2－3x
∵PQ∥AE，CD∥AB
∴∠EAB=∠QPH，∠EAB=∠DEA
∴∠DEA=∠QPH
∴tan∠DEA =tan∠QPH
∴
即
解得：；
综上：当或时，直线将矩形的面积分成两部分．
【点睛】此题考查的是四边形与动点问题，掌握矩形的性质、平行四边形的性质、直角三角形的性质和锐角三角函数是解题关键．