2022-2023学年度吉林省长市长高新第二实验学校九年级上学期第三次月考数学试题

这是一份2022-2023学年度吉林省长市长高新第二实验学校九年级上学期第三次月考数学试题，文件包含吉林省长市长高新第二实验学校九年级上学期第三次月考数学试题原卷版docx、吉林省长市长高新第二实验学校九年级上学期第三次月考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
2022-2023学年（上）学期九年级月考
数学试卷
（满分：120分，时间：120分钟）
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分4分）
1. 二次根式中的x的取值范围是（　　）
A. x＜﹣2 B. x≤﹣2 C. x＞﹣2 D. x≥﹣2
【答案】D
【解析】
【分析】根据“二次根式有意义满足条件是被开方数是非负数”，可得答案．
【详解】由题意，得
2x+4≥0，
解得x≥-2，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
2. 下列根式中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：  (1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【详解】A、，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，不符合题意；
D、不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查最简二次根式的条件，解题的关键是熟练掌握最简二次根式：  (1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
3. 将二次函数y=(x﹣1)2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的拋物线相应的函数表达式为(　　)
A. y=(x+2)2﹣2 B. y=(x﹣4)2+2
C. y=(x﹣1)2﹣1 D. y=(x﹣1)2+5
【答案】D
【解析】
【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】由“上加下减”的原则可知，将二次函数的图象向上平移3个单位长度，
所得抛物线的解析式为：，即；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由再把已知条件代入即可得到答案．
【详解】解：


故选：
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的含义，掌握利用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键．
5. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（ ）

A. B. 2 C. 4 D.
【答案】D
【解析】
【分析】把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF的长．
【详解】解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，
而A（1，2），C（3，1），
∴D（2，4），F（6，2），
∴DF＝=，
故选：D．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
6. 已知二次函数y＝x2－2ax+a2－2a－4（a为常数）的图象与x轴有交点，则a的取值范围是（ ）
A. a＞－2 B. a≥－2 C. a＜－2 D. a≤－2
【答案】B
【解析】
【分析】根据判别式，函数图像与x轴有交点，则，计算求解选出正确答案．
【详解】根据题意可得：，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数与x轴交点问题，抛物线与x轴交点个数由D决定，当时，抛物线与x轴有2个交点；当时，抛物线与x轴有1个交点；当时，抛物线与x轴没有交点．
7. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可．
【详解】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴.
∵AB=5，BC=6，EF=4，
∴.
∴DE=.
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
8. 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（　　）

A. b2＜4ac B. ac＞0 C. 2a﹣b=0 D. a﹣b+c=0
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的图像与性质逐项进行判断即可.
【详解】∵抛物线与x轴有两个交点，∴，即，所以A选项错误；
∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴ac＜0，所以B选项错误；
∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，∴，∴，所以C选项错误；
∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴，所以D选项正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 关于的一元二次方程的根的判别式的值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据根的判别式公式直接代入计算即可．
【详解】原方程中，，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式计算，能够找准各项系数代入计算是解决这类题目的关键．
10. 如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】由抛物线的开口向下，可得：＜，解不等式可得答案．
【详解】解： 抛物线的开口向下，
＜，
＜
故答案为：．
【点睛】本题考查的是抛物线的开口方向，掌握＞，抛物线的开口向上，＜，抛物线的开口向下，是解题的关键．
11. 在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由前年的12000元/平方米下降到今年的10000元/平方米，每年下降的百分率相同，求这两年平均每年降价的百分率，设平均每年下降的百分率为，则可列方程为____________．
【答案】
【解析】
【分析】此题利用基本数量关系：商品原价×（1-平均每次降价的百分率）=现在的价格，列方程即可.
【详解】设平均每年下降的百分率位，
由题意可得方程：，
故答案为：.
【点睛】此题考查一元二次方程的应用—增长率问题：商品原价×（1-平均每次降价的百分率）=现在的价格
12. 长春高新第二实验学校在设计图上记大门的坐标为，旗杆的坐标为，则食堂的坐标为____________．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意建立直角坐标系即可．
【详解】由题意，建立直角坐标系如图：

故答案为：．
【点睛】本题考查了根据已知点进行直角坐标系的建立，能够根据题意建立合适的直角坐标系是解决这类题目的关键．
13. 如图，在平行四边形中，点为边上一点，，点，点分别是中点，若，则的长为__________．

【答案】8
【解析】
【分析】先根据三角形中位线定理可得BC的长，再根据平行四边形的性质可得AD的长，然后根据即可得．
【详解】点，点分别是中点
是的中位线

四边形ABCD是平行四边形

又

故答案为：8．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质等知识点，解题的关键是熟记三角形中位线定理．
14. 已知直线和抛物线的图象大致位置如上图所示，若，则的取值范围是_________．

【答案】
【解析】
【分析】由可知：一次函数值大于二次函数值，从而可得：一次函数图像上的点的纵坐标大于二次函数图像上点的纵坐标，再结合二次函数与一次函数的图像可得答案．
【详解】解： ，
一次函数值大于二次函数值，
一次函数图像上的点的纵坐标大于二次函数图像上点的纵坐标，
结合函数的图像可得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数与不等式的关系，掌握利用二次函数与一次函数的图像解不等式是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. （1）计算：．
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的混合运算计算即可；
（2）运用公式法求解一元二次方程即可；
【详解】（1）原式=；
（2）∵，，
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、一元二次方程公式法运用，准确计算是解题的关键．
16. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】先算乘方，再算乘法，最后算加减，按照运算法则计算得数．
【详解】解：




【点睛】本题考查实数的运算，正确化简各数，牢固掌握运算法则是解题关键．
17. 如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．

【答案】2m．
【解析】
【分析】设小路宽为xm，将4块种植地平移为一个长方形，长为（40﹣x）m，宽为（32﹣x）m．根据长方形面积公式即可求出小路的宽．
【详解】设小路的宽为xm，依题意有
（40﹣x）（32﹣x）=1140，
整理，得x2﹣72x+140=0．
解得x1=2，x2=70（不合题意，舍去）．
答：小路的宽应是2m．
【点睛】考核知识点：二元一次方程的运用.理解题意，列出方程是关键.
18. 小明和小亮玩一个游戏，游戏规则是：在三张完全相同的卡片上分别标记、、三个数字，一人先从三张卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，另一人再从中随机抽出一张，记下数字，若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则小明获胜，若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则小亮获胜．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】不公平，理由见解析．
【解析】
【分析】首先根据题意列表，然后根据表求得所有等可能的结果与和为奇数、偶数的情况，再利用概率公式求解即可．
【详解】解：不公平，
列表如下：

4
5
6
4
8
9
10
5
9
10
11
6
10
11
12
由表可知，共有9种等可能结果，其中和为偶数的有5种结果，和为奇数的有4种结果，
所以按照游戏规则，小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为，
由知这个游戏不公平；
【点睛】此题考查了列表法求概率．注意树状图与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的情况．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
19. 如图，在平行四边形中，为的三等分点，，连结，交于点，，求的长．

【答案】
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质，推出，结合相似比即可求解．
【详解】四边形为平行四边形，
，，则，
，
又，
，
，，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，能够准确判断相似三角形，并找准相似比，是解决本题的关键．
20. 如图，在中，，为上一点，，．

（1）求的长；（2）求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据，可设，得，再由勾股定理列出的方程求得，进而由勾股定理求；
（2）过点作于点，解直角三角形求得与，进而求得结果．
【详解】解：（1）∵，可设，得，
∵，
∴，
解得，（舍去），或，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）过点作于点，

∵，可设，则，
∵，
∴，
解得，（舍），或，
∴，
∴．
【点睛】考核知识点：解直角三角形.理解三角函数的定义是关键.
21. 小明推铅球的出手高度为1.6m，如图所示的直角坐标系中，铅球的运行路线近似为抛物线y＝﹣0.1（x﹣k）2＋2.5．
（1）求铅球落点与小明的距离；
（2）一个身高为1.5m的小朋友跑到离原点O的水平距离为7米的地方（如图），他会受到伤害吗？

【答案】（1）铅球的落点与小明的距离为8m；（2）会受到伤害
【解析】
【分析】（1）将点(0，1.6)代入y=﹣0.1（x﹣k）2＋2.5，解得k的值并根据题意作出取舍，从而可得抛物线的解析式，然后令y=0，解得x的值并作出取舍即可；
（2）将x=7代入（1）中的抛物线解析式，求得y值，再与1.5比较即可得出结论．
【详解】（1）由题意知，点(0，1.6)在抛物线y=﹣0.1（x﹣k）2＋2.5上，
∴1.6=﹣0.1（0﹣k）2＋2.5，
解得：k=3或k=﹣3（舍去），
∴抛物线的解析式为y=﹣0.1（x﹣3）2＋2.5，
当y=0时，﹣0.1（x﹣3）2＋2.5=0，
解得x1=8，x2=﹣2（舍去），
∴铅球的落点与小明的距离为8m；
（2）∵抛物线的解析式为y=﹣0.1（x﹣3）2＋2.5，
∴当x=7时，y=﹣0.1（7﹣3）2＋2.5=0.9，
∵0.9＜1.5，
∴一个身高为1.5m的小朋友会受到伤害．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，数形结合并熟练掌握二次函数解析式的求法、二次函数与一元二次方程的关系及求二次函数的值等知识点是解题的关键．
22. 图①、图②、图③均是边长为1的小正方形组成的5×5的网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段AB的端点均在格点上．分别在图①、图②、图③按下列要求画图．要求用无刻度直尺画图，保留画图痕迹，标好字母．
（1）在图①中画线段AB 的中点C．
（2）在图②中画线段PQ垂直平分AB，垂足点D．
（3）在图③中取线段AB上一点O，使得BO=AB．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据矩形的判定与性质画图即可；
（2）根据根据正方形的判定与性质画图即可；
（3）由相似三角形的判定与性质，构造相似三角形即可．
【详解】
【点睛】此题主要考查了作图-应用与设计作图，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，关键是熟练掌握图形的判定与性质．
23. 【教材呈现】下图是华师版数学教材的部分内容

探索
如图24.2.1，画，并画出斜边上的中线，量一量，看看与有什么关系．
相信你与你的伙伴一定会发现：恰好是的一半，下面让我们演绎推理证明这一猜想．
已知：如图24.2.2，在，，是斜边上的中线．
求证：．

【证明】请根据教材图24.2.2的提示，完成直角三角形的性质“直角三角形斜边中线等于斜边一半”
的证明
【延伸】如图①，在四边形中，，，点、分别为，的中点，连结、，则线段与的数量关系是___________．
【应用】（1）如图②，在【延伸】的条件下，当平分，时，则的大小为______．
（2）如图③，在【延伸】的条件下，当，四边形是菱形时，直接写出四边形的面积．
【答案】证明：见解析；延伸：DE=EF；应用:（1）60°，（2）.
【解析】
【分析】证明：延长CD至点E，使DE=CD,连结AE、BE．证明四边形ACBE是平行四边形，再证明四边形ACBE是矩形，得出CE=AB,即可得出结论;
延伸：利用直角三角形斜边的中线性质和三角形的中位线性质可得结论;
应用：（1）先证明，根据∠DEF = 90°列方程得:∠BAD的度数;
(2)先证明四边形ABCD为直角梯形，再求出AD的值，根据梯形计算公式计算即可.
【详解】证明：如图，延长CD至点E，使DE=CD，连结AE、BE
∵CD是斜边AB上的中线,
∴AD=BD，
又∵DE=CD,
∴四边形ACBE平行四边形
又∴∠ACB = 90°，
∴四边形ACBE是矩形，
∴CE=AB，
∴.
延伸：在中,
∵∠ADC=90°，点E是AC的中点，
∴,
∴点E、F分别为AC、BC的中点，
∴,
∵
∴,
故答案为：DE=EF
应用：（1）在延伸的条件下，∵AC平分∠BAD
∴
∵EF//AB，
∴
∵
∴
∴
又∵，
∴,
∴,
∴,
故答案为：；
（2）∵，
∴EF=1
又∵四边形CDEF是菱形，
∴，,
∵
∴
又∵,
∴四边形ABCD为直角梯形，
∴，
∴，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了四边形的综合问题，解题的关键是掌握三角形的中位线定理、直角三角形斜边的中线的性质、菱形的性质及直角梯形的面积等知识.由题目原型到探究再到结论，步步深入，符合认知规律．
24. 如图，在中，，点从点出发沿以每秒2个单位的速度向终点运动；同时，点从点出发以每秒1个单位的速度向终点运动，运动时间为，连结．

（1）求的长（用含有的代数式表示）；
（2）当点在上运动时，过点作于点，求的长（用含有的代数式表示）；
（3）当点运动到上且的面积为12时，求的值．
（4）直接写出运动过程中以为一边的三角形与相似时的值．
【答案】（1）；（2）；（3）t=6；（4）.
【解析】
【分析】（1）先求得P到A、C点的时间，再分类讨论AP的长度；
（2）通过证明，表示PH长度；
（3）由，列方程解出即可；
（4）分类讨论P在AB上时，，以PQ为一边的，①当时，②当时；P在AC上时，，以PQ为一边的,①当时，②当时，根据相似的性质解出时间t.
【详解】（1）当P到A时，BP=2t，
∴，
∴，
当P到C时，

∴
∴当时，
当时，;
（2）∵，
∴
∴PH//AC

∴
∴，
即，
∴，（）；
（3）
解得：（舍）或，
（4）P在AB上时，，以PQ为一边的,
①当时，
，即
解得：
②当时，
，即，
解得：，
P在AC上时，，以PQ为一边的,
①当时，
，即，
解得：，
②当时，
，即，
解得：（舍）
综上所述：t的取值为
【点睛】本题考查三角形中的动点以及相似问题，利用分类讨论思想正确理解题意是解题的关键.