数学九年级上册22.1 一元二次方程教学设计

第22章  一元二次方程

22.1  一元二次方程

※教学目标※

【知识与技能】

1.理解一元二次方程的概念.

2.掌握一元二次方程的一般形式，能分清一元二次方程的二次项及系数、一次项及系数、常数项.

【过程与方法】

通过观察,归纳一元二次方程的概念.

【情态态度】

进一步感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义.

【教学重点】

一元二次方程的概念及其一般形式.

【教学难点】

正确认识一元二次方程中二次项系数、一次项系数，常数项和列一元二次方程.

※教学过程※

一、情境导入

问题1：绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块矩形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？（只列方程）

分析：我们已经知道可以运用方程解决实际问题.

设绿地的宽为x米，不难列出方程：

x(x+10)=900.

整理，得+10x-900=0.①

问题2：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率.（只列方程）

分析：设这两年的年平均增长率为x.

已知去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册.同样，明年年底的图书数又是今年年底图书数的(1+x)倍，即5(1+x)(1+x)=5(万册).

可得出方程：5=7.2.

整理可得5+10x-2.2=0.     ②

二、探索新知

1.请回答下面问题：

（1）上面两个方程整理后是整式方程吗？含有几个未知数？

（2）按照整式中的多项式的规定，它们的最高次数是几？（学生分组讨论，然后各组交流）

答：这两个方程（1）都是整式方程；（2）都只含一个未知数；（3）含未知数的项的最高次数都是2.

2.一元二次方程的定义：

一个整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.

【例1】  下列方程哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程？

（1）3x+2=5x-3;

(2)=4;

(3)(x-1)(x-2)=+8;

(4)(x+3)(3x-4)=;

(5)+2-3=0;

(6)+2x=x(+x)+3.

分析：（1）、（3）、（4）、（6）需要先整理成最简形式再进行判断.

解：其中（1）、（3）是一元一次方程；（2）、（4）、（6）是一元二次方程.

3.一元二次方程的一般形式：a+bx+c=0(a、b、c是已知数，a≠0).其中a叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项.

【例2】  把方程3x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数及常数项.

解：去括号，得3-3x=2x+4+8.

化简，得3-5x-12=0.

二次项系数是3，一次项系数是-5，常数项是-12.

【说明】通过例题的讲解，让学生明确一元二次方程的一般形式具有的两个特征：一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0.此外二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的，不同的一元二次方程的差异实质上是系数的差异.但同一个一元二次方程写出的一般形式可能不同（只是符号不同），一般我们写二次项的系数为正的那个.

三、巩固练习

1.下列方程中哪些是关于x的一元二次方程？

（1）-4x+2=0;

(2)+x-=0;

(3)=0(x,y都是未知数);

（4）+x=0;

(5)=(x-1)(x+1);

(6)=+2.

2.将下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项：

;



答案：1.(1)(6)

2.（1）原方程变形为=0.二次项系数为3，一次项系数为-1,常数项为-2.

(2)原方程变形为+3=0.二次项系数为2，一次项系数为-7,常数项为3.

(3)整理，得=0.二次项系数为1，一次项系数为-5,常数项为0.

(4)整理，得-11=0.二次项系数为2，一次项系数为-5,常数项为-11.

四、应用拓展

【例3】  方程在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？

解：当a≠2时是一元二次方程；当a=2，b≠0时是一元一次方程.

【例4】 已知关于x的一元二次方程有一根为2，求m.

分析：一根为2即x=2,只需把x=2代入原方程.

解：将x=2代入原方程，得4(m-1)+6-5m+4=0.解得m=6.

五、归纳小结

1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式为，一元二次方程的项及系数都是根据一般形式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的.

3.在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性.

※课后作业※

1. 教材习题22.1第1、2、3题.