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人教版八年级上册12.1 全等三角形精品当堂检测题
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这是一份人教版八年级上册12.1 全等三角形精品当堂检测题，文件包含专题06全等三角形常见五种辅助线添法专训原卷版docx、专题06全等三角形常见五种辅助线添法专训解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共123页， 欢迎下载使用。
辅助线添法一倍长中线法
辅助线添法二截长补短法
辅助线添法三旋转法
辅助线添法四作平行线法
辅助线添法五作垂线法
【经典例题一倍长中线法】
【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．
【常见模型】
【例1】（2021春·辽宁大连·八年级大连市第三十四中学校考期中）如图，四边形、都是正方形，是的中点，连接、．
(1)当、、三点共线时，求证：，且．
(2)当、、三点不共线时，（1）中的结论是否成立，并加以证明．
【变式训练】
1．（2023·江苏·八年级假期作业）（1）阅读理解：
如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______；
（2）问题解决：
如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由．
2（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）已知中，
（1）如图1，点E为的中点，连并延长到点F，使，则与的数量关系是________．
（2）如图2，若，点E为边一点，过点C作的垂线交的延长线于点D，连接，若，求证：．
（3）如图3，点D在内部，且满足，，点M在的延长线上，连交的延长线于点N，若点N为的中点，求证：．
3．（2022秋·八年级课时练习）在中，点为边中点，直线绕顶点旋转，直线于点．直线于点，连接，．
（1）如图1，若点，在直线的异侧，延长交于点．求证：．
（2）若直线绕点旋转到图2的位置时，点，在直线的同侧，其它条件不变，此时，，，求的长度．
（3）若过点作直线于点．试探究线段、和的关系．
【经典例题二截长补短法】
【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系．截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）．
【模型图示】
（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段．
例：如图，求证BE＋DC＝AD
方法：①在AD上取一点F，使得AF＝BE，证DF＝DC；②在AD上取一点F，使DF＝DC，证AF＝BE
（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等
例：如图，求证BE＋DC＝AD
方法：①延长DC至点M处，使CM＝BE，证DM＝AD；②延长DC至点M处，使DM＝AD，证CM＝BE
【例2】（2023·全国·九年级专题练习）在四边形ABDE中，C是BD边的中点．
(1)如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为 ；（直接写出答案）
(2)如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读下面材料：
【原题呈现】如图1，在ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长．
【思考引导】因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到DEC≌DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．
【问题解答】（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；
（2）拓展提升：如图3，已知ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的长．
3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．
（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 ．
（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．
（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．
【经典例题三旋转法】
【模型分析】旋转：将包含一条短边的图形旋转，使两短边构成一条边，证与长边相等．
注：旋转需要特定条件（两个图形的短边共线），该方法常在半角模型中使用．
【模型图示】
例：如图，已知AB＝AC，∠ABM＝∠CAN＝90°，求证BM＋CN＝MN
方法：旋转△ABM至△ACF处，证NE＝MN
【例3】（2022秋·湖北孝感·八年级统考期中）已知：，，．
(1)如图1当点在上，______．
(2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的）
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
2．（2021秋·天津和平·八年级校考期中）在中，，，是过A的一条直线，于点D，于E，
（1）如图（1）所示，若B，C在的异侧，易得与，的关系是____________；
（2）若直线绕点A旋转到图（2）位置时，（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明；
（3）若直绕点A旋转到图（3）的位置，（），问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明．
3．（2021秋·河南周口·八年级统考期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．
（1）操作发现
如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为 ；线段BD、AB、EB的数量关系为 ；
（2）猜想论证
当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；
（3）拓展延伸
若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．
【经典例题四作平行线法】
【例4】（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点．
求让：
【变式训练】
1．（2022秋·江苏·八年级专题练习） P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D．
（1）证明：PD＝DQ．
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．
2．（2022秋·八年级课时练习）读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明．已知:如图,E是BC的中点,点A在DB上,且
∠BAE=∠CDE,求证:AB=CD
分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此,要证明AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中两种对原题进行证明．
图(1):延长DE到F使得EF=DE
图(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延长线于F
图(3):过C点作CF∥AB交DE的延长线于F.
3．（2023春·全国·七年级专题练习）已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究：
(1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；
(3)如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系．
【经典例题五作垂直法】
【例5】（2022秋·湖北武汉·八年级统考期中）我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
(1)如图1，是中的遥望角．
①直接写出与的数量关系___________；
②连接AE，猜想与的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，四边形ABCD中，，点E在BD的延长线上，连CE，若已知，求证：是中的遥望角．
【变式训练】
1．（2022秋·八年级课时练习）如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G．
（1）求证：△EAF≌△DAF；
（2）如图2，连接CF，若EF＝FC，求∠DCF的度数．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．
①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．
（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．
3．（2022秋·八年级课时练习）如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明．
【重难点训练】
1．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，为中边上的中线．
（1）求证：；
（2）若，，求的取值范围．
2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．
（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．
①请证明△CED≌△ABD；
②中线BD的取值范围是 ．
（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连接．请根据小明的方法思考：
（1）如图2，由已知和作图能得到的理由是 ．
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
（2）如图2，长的取值范围是 ．
A． B． C． D．
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图3，是的中线，交于点E，交于F，且．求证：．
4．（2023·江苏·八年级假期作业）（1）如图1，已知中，AD是中线，求证：；
（2）如图2，在中，D，E是BC的三等分点，求证：；
（3）如图3，在中，D，E在边BC上，且．求证：．
5．（2023·江苏·八年级假期作业）课堂上，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明．
(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；
(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．
6．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在锐角中，，点D，E分别是边上一动点，连接BE交直线于点F．
(1)如图1，若，且，求的度数；
(2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转60°得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
7．（2023·江苏·八年级假期作业）问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；（直接写结论，不需证明）
探索延伸：
(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；
(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数量关系．
8．（2023·全国·九年级专题练习）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是；（不需要证明）
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
9．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，图1等腰△BAC与等腰△DEC，共点于C，且∠BCA＝∠ECD，连结BE、AD，若BC＝AC、EC＝DC．
（1）求证：BE＝AD；
（2）若将等腰△DEC绕点C旋转至图2、3、4情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么？（请你用图2证明你的猜想）
10．（2023春·全国·八年级专题练习）如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接MC．
(1)求证：BE＝AD；
(2)用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；
(3)当时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．
11．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在中，，点D在内，，，点E在外，．
(1)的度数为_______________；
(2)小华说是等腰三角形，小明说是等边三角形，___________的说法更准确，并说明理由；
(3)连接，若，求的长．
12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图1，已知△ABC、△ADE都是等边三角形，点E在直线BC上，F在直线AC上，且FE＝EA，DE与AB相交于点G，连接BD、EF．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，
①求证：∠BAE＝∠BDE；
②求证：BD＋CF＝BC．
（2）如图2，如果点E在线段BC的延长线上，其他条件不变，请直接写出线段BD、CF、BC三条线段之间的数量关系．
13．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）在内有一点，过点分别作，，垂足分别为，．且，点，分别在边和上．
（1）如图1，若，请说明；
（2）如图2，若，，猜想，，具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．
14．（2022秋·八年级课时练习）在中，，，点为直线上的一个动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连．
（1）如图1，当点在线段上时，
①与的位置关系是______；
②线段、、之间的数量关系是______．
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中的两个结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请写出正确的结论再给出证明．
15．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，将两块含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如图①摆放，连结AC，BD．
（1）如图①，猜想线段AC与BD存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并证明；
（2）将图①中的△COD绕点O顺时针旋转一定的角度（如图②），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD还存在（1）中的关系吗？请写出结论并说明理由．
（3）将图①中的△COD绕点O逆时针旋转一定的角度（如图③），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD存在怎样的关系？请直接写出结论．
16．（2021秋·山东济南·八年级统考期末）[发现]：（1）如图1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A作AH⊥BC于点H，求证：AH=BC．
[拓展]：（2）如图2．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，点D、B、C在同一条直线上，AH为△ABC中BC边上的高，连接CE．则∠DCE的度数为________，同时猜想线段AH、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．
[应用]：（3）在图3、图4中．在△ABC中，AB=AC，且∠BAC=90°，在同一平面内有一点P，满足PC=1，PB=6，且∠BPC=90°，请求出点A到BP的距离．
17．（2023春·全国·八年级专题练习）在中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．
（1）如图，当点在线段上，如果，则______度．
（2）设，．
①如图，当点在线段上移动时，、之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
②如图，当点在线段的反向延长线上移动时，、之间有怎样的数量关系？请说明理由．
18．（2022秋·八年级课时练习）（1）操作发现：将等腰与等腰按如图1方式叠放，其中，点，分别在，边上，为的中点，连结，．小明发现，你认为正确吗？请说明理由．
（2）思考探究：小明想：若将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转一定的角度，上述结论会如何呢？为此进行以下探究：
探究一：将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转（如图2），其他条件不变，发现结论依然成立．请你给出证明．
探究二：将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转（如图3），其他条件不变，则结论还成立吗？请说明理由．
辅助线添法一倍长中线法
辅助线添法二截长补短法
辅助线添法三旋转法
辅助线添法四作平行线法
辅助线添法五作垂线法
【经典例题一倍长中线法】
【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．
【常见模型】
【例1】（2021春·辽宁大连·八年级大连市第三十四中学校考期中）如图，四边形、都是正方形，是的中点，连接、．
(1)当、、三点共线时，求证：，且．
(2)当、、三点不共线时，（1）中的结论是否成立，并加以证明．
【变式训练】
1．（2023·江苏·八年级假期作业）（1）阅读理解：
如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______；
（2）问题解决：
如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由．
2（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）已知中，
（1）如图1，点E为的中点，连并延长到点F，使，则与的数量关系是________．
（2）如图2，若，点E为边一点，过点C作的垂线交的延长线于点D，连接，若，求证：．
（3）如图3，点D在内部，且满足，，点M在的延长线上，连交的延长线于点N，若点N为的中点，求证：．
3．（2022秋·八年级课时练习）在中，点为边中点，直线绕顶点旋转，直线于点．直线于点，连接，．
（1）如图1，若点，在直线的异侧，延长交于点．求证：．
（2）若直线绕点旋转到图2的位置时，点，在直线的同侧，其它条件不变，此时，，，求的长度．
（3）若过点作直线于点．试探究线段、和的关系．
【经典例题二截长补短法】
【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系．截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）．
【模型图示】
（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段．
例：如图，求证BE＋DC＝AD
方法：①在AD上取一点F，使得AF＝BE，证DF＝DC；②在AD上取一点F，使DF＝DC，证AF＝BE
（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等
例：如图，求证BE＋DC＝AD
方法：①延长DC至点M处，使CM＝BE，证DM＝AD；②延长DC至点M处，使DM＝AD，证CM＝BE
【例2】（2023·全国·九年级专题练习）在四边形ABDE中，C是BD边的中点．
(1)如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为 ；（直接写出答案）
(2)如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读下面材料：
【原题呈现】如图1，在ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长．
【思考引导】因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到DEC≌DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．
【问题解答】（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；
（2）拓展提升：如图3，已知ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的长．
3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．
（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 ．
（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．
（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．
【经典例题三旋转法】
【模型分析】旋转：将包含一条短边的图形旋转，使两短边构成一条边，证与长边相等．
注：旋转需要特定条件（两个图形的短边共线），该方法常在半角模型中使用．
【模型图示】
例：如图，已知AB＝AC，∠ABM＝∠CAN＝90°，求证BM＋CN＝MN
方法：旋转△ABM至△ACF处，证NE＝MN
【例3】（2022秋·湖北孝感·八年级统考期中）已知：，，．
(1)如图1当点在上，______．
(2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的）
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
2．（2021秋·天津和平·八年级校考期中）在中，，，是过A的一条直线，于点D，于E，
（1）如图（1）所示，若B，C在的异侧，易得与，的关系是____________；
（2）若直线绕点A旋转到图（2）位置时，（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明；
（3）若直绕点A旋转到图（3）的位置，（），问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明．
3．（2021秋·河南周口·八年级统考期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．
（1）操作发现
如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为 ；线段BD、AB、EB的数量关系为 ；
（2）猜想论证
当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；
（3）拓展延伸
若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．
【经典例题四作平行线法】
【例4】（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点．
求让：
【变式训练】
1．（2022秋·江苏·八年级专题练习） P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D．
（1）证明：PD＝DQ．
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．
2．（2022秋·八年级课时练习）读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明．已知:如图,E是BC的中点,点A在DB上,且
∠BAE=∠CDE,求证:AB=CD
分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此,要证明AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中两种对原题进行证明．
图(1):延长DE到F使得EF=DE
图(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延长线于F
图(3):过C点作CF∥AB交DE的延长线于F.
3．（2023春·全国·七年级专题练习）已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究：
(1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；
(3)如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系．
【经典例题五作垂直法】
【例5】（2022秋·湖北武汉·八年级统考期中）我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
(1)如图1，是中的遥望角．
①直接写出与的数量关系___________；
②连接AE，猜想与的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，四边形ABCD中，，点E在BD的延长线上，连CE，若已知，求证：是中的遥望角．
【变式训练】
1．（2022秋·八年级课时练习）如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G．
（1）求证：△EAF≌△DAF；
（2）如图2，连接CF，若EF＝FC，求∠DCF的度数．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．
①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．
（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．
3．（2022秋·八年级课时练习）如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明．
【重难点训练】
1．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，为中边上的中线．
（1）求证：；
（2）若，，求的取值范围．
2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．
（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．
①请证明△CED≌△ABD；
②中线BD的取值范围是 ．
（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连接．请根据小明的方法思考：
（1）如图2，由已知和作图能得到的理由是 ．
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
（2）如图2，长的取值范围是 ．
A． B． C． D．
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图3，是的中线，交于点E，交于F，且．求证：．
4．（2023·江苏·八年级假期作业）（1）如图1，已知中，AD是中线，求证：；
（2）如图2，在中，D，E是BC的三等分点，求证：；
（3）如图3，在中，D，E在边BC上，且．求证：．
5．（2023·江苏·八年级假期作业）课堂上，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明．
(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；
(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．
6．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在锐角中，，点D，E分别是边上一动点，连接BE交直线于点F．
(1)如图1，若，且，求的度数；
(2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转60°得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
7．（2023·江苏·八年级假期作业）问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；（直接写结论，不需证明）
探索延伸：
(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；
(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数量关系．
8．（2023·全国·九年级专题练习）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是；（不需要证明）
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
9．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，图1等腰△BAC与等腰△DEC，共点于C，且∠BCA＝∠ECD，连结BE、AD，若BC＝AC、EC＝DC．
（1）求证：BE＝AD；
（2）若将等腰△DEC绕点C旋转至图2、3、4情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么？（请你用图2证明你的猜想）
10．（2023春·全国·八年级专题练习）如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接MC．
(1)求证：BE＝AD；
(2)用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；
(3)当时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．
11．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在中，，点D在内，，，点E在外，．
(1)的度数为_______________；
(2)小华说是等腰三角形，小明说是等边三角形，___________的说法更准确，并说明理由；
(3)连接，若，求的长．
12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图1，已知△ABC、△ADE都是等边三角形，点E在直线BC上，F在直线AC上，且FE＝EA，DE与AB相交于点G，连接BD、EF．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，
①求证：∠BAE＝∠BDE；
②求证：BD＋CF＝BC．
（2）如图2，如果点E在线段BC的延长线上，其他条件不变，请直接写出线段BD、CF、BC三条线段之间的数量关系．
13．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）在内有一点，过点分别作，，垂足分别为，．且，点，分别在边和上．
（1）如图1，若，请说明；
（2）如图2，若，，猜想，，具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．
14．（2022秋·八年级课时练习）在中，，，点为直线上的一个动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连．
（1）如图1，当点在线段上时，
①与的位置关系是______；
②线段、、之间的数量关系是______．
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中的两个结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请写出正确的结论再给出证明．
15．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，将两块含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如图①摆放，连结AC，BD．
（1）如图①，猜想线段AC与BD存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并证明；
（2）将图①中的△COD绕点O顺时针旋转一定的角度（如图②），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD还存在（1）中的关系吗？请写出结论并说明理由．
（3）将图①中的△COD绕点O逆时针旋转一定的角度（如图③），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD存在怎样的关系？请直接写出结论．
16．（2021秋·山东济南·八年级统考期末）[发现]：（1）如图1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A作AH⊥BC于点H，求证：AH=BC．
[拓展]：（2）如图2．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，点D、B、C在同一条直线上，AH为△ABC中BC边上的高，连接CE．则∠DCE的度数为________，同时猜想线段AH、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．
[应用]：（3）在图3、图4中．在△ABC中，AB=AC，且∠BAC=90°，在同一平面内有一点P，满足PC=1，PB=6，且∠BPC=90°，请求出点A到BP的距离．
17．（2023春·全国·八年级专题练习）在中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．
（1）如图，当点在线段上，如果，则______度．
（2）设，．
①如图，当点在线段上移动时，、之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
②如图，当点在线段的反向延长线上移动时，、之间有怎样的数量关系？请说明理由．
18．（2022秋·八年级课时练习）（1）操作发现：将等腰与等腰按如图1方式叠放，其中，点，分别在，边上，为的中点，连结，．小明发现，你认为正确吗？请说明理由．
（2）思考探究：小明想：若将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转一定的角度，上述结论会如何呢？为此进行以下探究：
探究一：将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转（如图2），其他条件不变，发现结论依然成立．请你给出证明．
探究二：将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转（如图3），其他条件不变，则结论还成立吗？请说明理由．
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