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2022-2023学年山东省东营市经开区八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年山东省东营市经开区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省东营市经开区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中，既是轴对称图形，叉是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 九年级一班有七个学习小组，每组人数如下：5，5，6，x，6，7，8，已知平均每个小组有6个，则这组数据的众数与中位数分别是( )
A. 5，6 B. 6，5 C. 6，7 D. 5，8
3. 抛物线y=3(x−1)2+2的顶点坐标为( )
A. (−1,2) B. (1,−2) C. (1,2) D. (2,1)
4. 如图，△ABC中，∠BAC=36°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转70°，得到△AB′C′，则∠BAC′的度数为( )
A. 34° B. 36° C. 44° D. 70°
5. 某商品原价200元，经连续两次降价后售价为162元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是( )
A. 200(1−x)2=162 B. 162(1−x)2=200
C. 200(1−2x)2=162 D. 162(1−2x)2=200
6. 如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若CD= 22，则AB的长为( )
A. 102
B. 10
C. 62
D. 6
7. 如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，∠P的度数为( )
A. 35° B. 45° C. 60° D. 70°
8. 如图，已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，若把Rt△ABC绕直线AC旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于( )
A. 6π
B. 9π
C. 12π
D. 15π
9. 如表中列出了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的一些对应值，则一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个近似解x1的范围是( )
x
…
−3
−2
−1
0
1
…
y
…
−11
−5
−1
1
1
…
A. −3
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（本大题共8小题，共28.0分）
11. 老师对甲、乙两人的五次数学测验成绩进行统计，得出两人五次测验成绩的平均分均为90分，方差分别是S甲2=51、S乙2=12.则成绩比较稳定的是______(填“甲”、“乙”中的一个)．
12. 已知A(a,1)与B(5,b)关于原点对称，则a−b=______．
13. 已知关于x的方程x2−3x+k=0有一个根为1，则它的另一个根为______．
14. 如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，矩形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度得矩形AB′C′D′，若点B的对应点B′落在边CD上，则B′C的长为______．
15. 如图，AB是⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在弧AC上，弧AD=2弧CD，点P是半径OC上一个动点，那么AP+PD的最小值等于______．
16. 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C的切线CD交AB的延长线于点D，连接AC，OC，若∠ACD=120°，AB=4，则阴影部分的面积为______ (结果保留π)．
17. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加_____m．
18. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，继续旋转至2023次得到正方形OA2023B2023C2023，则点B2023的坐标是______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
19. 解方程：
(1)4x(2x−1)=3(2x−1)；
(2)x2+2x−2=0．
四、解答题（本大题共6小题，共54.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题6.0分)
某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m名学生，并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图．
请结合以上信息解答下列问题：
(1)m=______；
(2)请补全上面的条形统计图；
(3)在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为______；
(4)已知该校共有1200名学生，请你估计该校约有______名学生最喜爱足球活动．
21. (本小题8.0分)
如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)，B(4,2)，C(3,4)．
(1)请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1并写出点C1的坐标；
(2)请画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后的△AB2C2；
(3)在△ABC旋转到△AB2C2的过程中，点C经过的路径长度为______．
22. (本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF．
(1)若∠BAC=40°.则∠BAF的度数为______；
(2)若AC=8，BC=6，求AF的长．
23. (本小题10.0分)
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
(1)若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
24. (本小题10.0分)
如图，在⊙O中，PA是直径，PC是弦，PH平分∠APB且与⊙O交于点H，过H作HB⊥PC交PC的延长线于点B．
(1)求证：HB是⊙O的切线；
(2)若HB=4，BC=2，求⊙O的直径．
25. (本小题12.0分)
如图1，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(2,0)，B(−4,0)两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.本选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B.本选项中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C.本选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D.本选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
根据轴对称和中心对称的知识得出结论即可．
本题主要考查轴对称和中心对称的知识，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵5，5，6，x，6，7，8，已知平均每个小组有6个，
∴5+5+x+6+6+7+8=6×7=42，
解得：x=5，
排序为：5，5，5，6，6，7，8，
∴众数为5，中位数为6，
故选：A．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
此题考查了中位数、众数的意义，解题的关键是正确理解各概念的含义．
3.【答案】C
【解析】解：∵抛物线y=3(x−1)2+2是顶点式，
∴顶点坐标是(1,2)．
故选：C．
已知抛物线顶点式y=a(x−h)2+k，顶点坐标是(h,k)．
本题考查了二次函数的性质，由抛物线的顶点式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．
4.【答案】A
【解析】解：∵∠CAC′=70°，∠CAB=36°，
∴∠BAC′=∠CAC′−∠CAB=70°−36°=34°，
故选：A．
根据∠BAC′=∠CAC′−∠CAB计算即可解决问题．
本题考查旋转变换，角的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5.【答案】A
【解析】解：由题意得：200(1−x)2=162．
故选：A．
设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是200(1−x)2，根据关键语句“连续两次降价后为162元”可得答案．
本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查垂径定理、勾股定理的应用，关键在于正确地作出辅助线构建直角三角形，认真地进行计算．连接OC，由题意即可推出OC的长度可得OA的长度，运用勾股定理即可推出AD的长度，然后，通过垂径定理即可推出AB的长度．
【解答】
解：连接OA，
∵⊙O的弦AB垂直平分半径OC，CD= 22，
∴OD=CD= 22，OC= 2，
∴OA= 2，
∵OC⊥AB，
∴AD= OA2−OD2= 62，
∵AB=2AD，
∴AD= 6．
故选D．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
此题综合运用了切线的性质定理和切线长定理.根据切线长定理得等腰△PAB，运用内角和定理求解．
【解答】
解：根据切线的性质定理得∠PAC=90°，
∴∠PAB=90°−∠BAC=90°−35°=55°．
根据切线长定理得PA=PB，
所以∠PBA=∠PAB=55°，
所以∠P=70°．
故选D．
8.【答案】D
【解析】解：∵AB=3，
∴底面的周长是：6π
∴圆锥的侧面积等12×6π×5=15π，故选D．
由勾股定理易得圆锥的底面半径长，那么圆锥的侧面积=12×2π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
本题考查圆锥侧面积的求法．注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形．
9.【答案】C
【解析】解：∵x=0时，y=1，x=1时，y=1，∴对称轴为x=12，又当x=−1时，y=−1，x=0时，y=1，函数在[−1,0]上y随x的增大而增大，得
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个近似解在
−1
根据函数的增减性：函数在[−1,0]上y随x的增大而增大，可得答案．
本题考查了图象求一元二次方程的近似根，两个函数值的积小于零时，方程的解在这两个函数值对应的自变量的中间．
10.【答案】C
【解析】解：由图象可知：a<0，c>0，−b2a>0，
∴b>0，
∴abc<0，故①正确；
由对称轴可知：−b2a=1，
∴2a+b=0，故②错误；
由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ=b2−4ac>0，故③正确；
当x=−1时，y<0，即a−b+c<0，
又∵2a+b=0，即−b=2a，
∴a+2a+c<0，
即3a+c<0，故④正确；
由图象可知：y=3时，
此时ax2+bx+c=3只有一个解x=1，
∴方程ax2+bx+c−3=0有两个相同的实数根，故⑤错误，
综上可得：正确的结论有3个．
故选：C．
根据题意，结合二次函数的图象与性质，解答即可得出答案．
本题考查了二次函数的图象与性质，充分利用数形结合思想是解本题的关键．
11.【答案】乙
【解析】解：由于S甲2>S乙2，故乙的方差小，波动小．
故填乙．
由于两人的平均分一样，因此两人成绩的水平相同；由于S甲2>S乙2，所以乙的成绩比甲的成绩稳定．
平均数是用来衡量一组数据的一般水平，而方差则用了反映一组数据的波动情况，方差越大，这组数据的波动就越大．
12.【答案】−4
【解析】解：∵A(a,1)与B(5,b)关于原点对称，
∴a=−5，b=−1，
∴a−b=−5−(−1)=−4，
故答案为：−4．
根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a、b的值，再进一步计算即可得到答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标变化规律．
13.【答案】2
【解析】解：设x1，x2是方程的两根，
由题意知x1+x2=1+x2=3，
∴x2=2．
故填空答案：2．
首先根据根与系数的关系可以得到两根之和，然后利用两根之和，可以求出另一个根．
此题比较简单，主要利用了根与系数的关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca．
14.【答案】2
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质，矩形的性质．解题时，根据旋转的性质得到AB=AB′=10是解题的关键．
B′C=10−B′D.在直角△AB′D中，利用勾股定理求得B′D的长度即可．
【解答】解：
由旋转的性质得到AB=AB′=10，
在直角△AB′D中，∠D=90°，AD=6，AB′=AB=10，
所以B′D= AB′2−AD2= 102−62=8，
所以B′C=10−B′D=2．
故答案为：2．
15.【答案】 3
【解析】解：如图，连接BD
根据已知得B是A关于OC的对称点
所以BD就是AP+PD的最小值
∵弧AD是弧CD的两倍，而弧AC的度数是90°的弧
∴弧AD的度数是60°
所以∠B=30°
连接AD
∵AB是直径
∴∠ADB=90°
而AB=2
∴BD= 3
∴AP+PD的最小值是 3．
B是A关于OC的对称点，连接BD则就是AP+PD的最小值．根据已知条件可以知道∠B=30°，由于AB是直径，所以∠ADB=90°，解直角三角形就可以求出题目结论了．
此题首先考查了何求两相等之和的最小值--利用轴对称，然后考查了解直角三角形的知识．
16.【答案】23π
【解析】解：∵CD切⊙O于C，
∴∠OCD=90°，
∵∠ACD=120°，
∴∠OCA=30°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=30°，
∵∠BOC=60°，
∵AB=4，
∴OB=2，
∴S阴影=60π×22360=23π．
故答案为：23π．
由切线的性质可得∠OCD=90°，从而可得∠OCA=∠OAC=30°，再求出∠BOC=60°，最后根据扇形面积公式可得答案．
本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键．
17.【答案】(4 2−4)
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=−2代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【解答】
解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA=OB=12AB，抛物线顶点C坐标为(0,2)，
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2a≠0，代入A点坐标(−2,0)到抛物线解析式得出：a=−0.5，所以抛物线解析式为y=−0.5x2+2，
当水面下降2m，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=−2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=−2与抛物线相交的两点之间的距离，
把y=−2代入抛物线解析式得出：−2=−0.5x2+2，
解得：x=±2 2，
所以水面宽度增加到4 2m，比原先的宽度增加了(4 2−4)m，
故答案为：(4 2−4)．
18.【答案】( 2,0)
【解析】解：由题意可得：B1(0, 2)，B2(−1,1)，B3(− 2,0)，B4(−1,−1)，B5(0,− 2)，B6(1,−1)，B7( 2,0)，B8(1,1)，B9(0, 2)…
故周期为8，
∵2023÷8=252…7，
∴B2023=B37，
∴B2023( 2,0)．
故答案为：( 2,0)．
由题意依次写出前几个，找到规律，根据规律求即可．
本题考查的是坐标与图形变化−旋转，准确计算出每个点变化之后的坐标是解题关键．
19.【答案】解：(1)∵4x(2x−1)=3(2x−1)，
∴8x2−10x+3=0，
∴(2x−1)(4x−3)=0，
则2x−1=0或4x−3=0，
解得x=12或x=34；
(2)∵x2+2x−2=0，
∴a=1，b=2，c=−2，
则△=22−4×1×(−2)=12>0，
∴x=−2± 122=−1± 3．
【解析】(1)整理成一般式，再利用因式分解法求解可得；
(2)利用公式法求解可得答案．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20.【答案】(1)150 ；
(2)“足球“的人数=150×20%=30人，
补全上面的条形统计图如图所示；
(3) 36°；
(4) 240
【解析】解：(1)m=21÷14%=150，
故答案为：150；
(2)见答案；
(3)在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为360°×15150=36°；
故答案为：36°；
(4)1200×20%=240人，
答：估计该校约有240名学生最喜爱足球活动．
故答案为：240．
(1)根据图中信息列式计算即可；
(2)求得“足球“的人数=150×20%=30人，补全上面的条形统计图即可；
(3)360°×“乒乓球”所占的百分比即可得到结论；
(4)根据题意计算即可．
本题考查了条形统计图，观察条形统计图、扇形统计图获得有效信息是解题关键．
21.【答案】 132π
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标(−3,−4)；
(2)如图，△AB2C2即为所求；
(3)∵AC= 22+32= 13
∴点C经过的路径长度=90π⋅ 13190= 132π.
故答案为： 132π.
(1)利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点B2，C2即可；
(3)利用弧长公式求解．
本题考查作图−旋转变换，弧长公式等知识，解题关键是掌握旋转变换的性质，记住弧长公式l=nπr180．
22.【答案】65°
【解析】解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=40°，
∴∠ABC=50°，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴∠EBF=∠ABC=50°，AB=BF，
∴∠BAF=∠BFA=12(180°−50°)=65°，
故答案为：65°；
(2)∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴BE=BC=6，EF=AC=8，
∴AE=AB−BE=10−6=4，
∴AF= AE2+EF2=4 5．
(1)根据三角形的内角和定理得到∠ABC=50°，根据旋转的性质得到∠EBF=∠ABC=50°，AB=BF，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
(2)根据勾股定理得到AB=10，根据旋转的性质得到BE=BC=6，EF=AC=8，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，
则y=(40−x)(20+2x)=800+80x−20x−2x2=−2x2+60x+800，
当y=1200时，1200=(40−x)(20+2x)，
解得x1=10，x2=20，
经检验，x1=10，x2=20都是原方程的解，但要尽快减少库存，
所以x=20，
答：每件衬衫应降价20元；
(2)∵y=−2x2+60x+800=−2(x−15)2+1250，
∴当x=15时，y的最大值为1250，
答：当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元．
【解析】(1)设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，可得每件盈利40−x元，每天可以售出20+2x件，进而得到商场平均每天盈利(40−x)(20+2x)元，依据方程1200=(40−x)(20+2x)即可得到x的值；
(2)用“配方法”即可求出y的最大值，即可得到每件衬衫降价多少元．
此题主要考查了二次函数的应用以及“配方法”在求函数的最大值的问题中的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．
24.【答案】证明：(1)如图，连接OH，
∵PH平分∠APB，
∴∠HPA=∠HPB，
∵OP=OH，
∴∠OHP=∠HPA，
∴∠HPB=∠OHP，
∴OH//BP，
∵BP⊥BH，
∴OH⊥BH，
∴HB是⊙O的切线；
(2)如图，过点O作OE⊥PC，垂足为E，
∵OE⊥PC，OH⊥BH，BP⊥BH，
∴四边形EOHB是矩形，
∴OE=BH=4，OH=BE，
∴CE=OH−2，
∵OE⊥PC
∴PE=EC=OH−2=OP−2，
在Rt△POE中，OP2=PE2+OE2，
∴OP2=(OP−2)2+16
∴OP=5，
∴AP=2OP=10，
∴⊙O的直径是10．
【解析】(1)连接OH，由题意可得∠OHP=∠HPA=∠HPB，可证OH//BP，则可得OH⊥BH，根据切线的判定可证HB是⊙O的切线；
(2)过点O作OE⊥PC，垂足为E，可证四边形EOHB是矩形，可得OE=BH=4，OH=BE，再根据勾股定理可求OP的长，即可求⊙O的直径．
本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，垂径定理，角平分线的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
25.【答案】解：(1)将A(2,0)，B(−4,0)代入得：
−4+2b+c=0−16−4b+c=0，
解得：b=−2c=8，
则该抛物线的解析式为：y=−x2−2x+8；
(2)存在；
当x=0时，y=−x2−2x+8=8，
∴C(0,8)，
y=−x2−2x+8=−(x+1)2+9，
∴抛物线的对称轴为直线x=−1，
如图1，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，设直线BC的解析式为：
y=kx+d，
将点B(−4,0)、C(0,8)代入得：
d=8−4k+d=0，
解得：k=2d=8，
故直线BC解析式为：y=2x+8，
直线BC与抛物线对称轴 x=−1的交点为Q，此时△QAC的周长最小．
解方程组y=2x+8x=−1得，x=−1y=6
则点Q(−1,6)即为所求；
(3)存在；
如图2，过点P作PE⊥x轴于点E，
P点(x,−x2−2x+8)(−4
∵S△BPC=S四边形BPCO−S△BOC=S四边形BPCO−16
若S四边形BPCO有最大值，则S△BPC就最大
∵S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC
=12BE⋅PE+12OE(PE+OC)
=12(x+4)(−x2−2x+8)+12(−x)(−x2−2x+8+8)
=−2(x+2)2+24，
当x=−2时，S四边形BPCO最大值=24，
∴S△BPC最大=24−16=8，
当x=−2时，−x2−2x+8=8，
∴点P的坐标为(−2,8)．
【解析】(1)直接利用待定系数求出二次函数解析式即可；
(2)首先求出直线BC的解析式，再利用轴对称求最短路线的方法得出答案；
(3)根据S△BPC=S四边形BPCO−S△BOC=S四边形BPCO−16，得出函数最值，进而求出P点坐标即可．
此题主要考查了二次函数综合应用以及待定系数法求一次函数、二次函数解析式和图形的面积求法、二次函数最值求法等知识，根据题意正确表示出四边形BPCO的面积是解题关键．
2022-2023学年山东省东营市经开区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中，既是轴对称图形，叉是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 九年级一班有七个学习小组，每组人数如下：5，5，6，x，6，7，8，已知平均每个小组有6个，则这组数据的众数与中位数分别是( )
A. 5，6 B. 6，5 C. 6，7 D. 5，8
3. 抛物线y=3(x−1)2+2的顶点坐标为( )
A. (−1,2) B. (1,−2) C. (1,2) D. (2,1)
4. 如图，△ABC中，∠BAC=36°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转70°，得到△AB′C′，则∠BAC′的度数为( )
A. 34° B. 36° C. 44° D. 70°
5. 某商品原价200元，经连续两次降价后售价为162元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是( )
A. 200(1−x)2=162 B. 162(1−x)2=200
C. 200(1−2x)2=162 D. 162(1−2x)2=200
6. 如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若CD= 22，则AB的长为( )
A. 102
B. 10
C. 62
D. 6
7. 如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，∠P的度数为( )
A. 35° B. 45° C. 60° D. 70°
8. 如图，已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，若把Rt△ABC绕直线AC旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于( )
A. 6π
B. 9π
C. 12π
D. 15π
9. 如表中列出了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的一些对应值，则一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个近似解x1的范围是( )
x
…
−3
−2
−1
0
1
…
y
…
−11
−5
−1
1
1
…
A. −3
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（本大题共8小题，共28.0分）
11. 老师对甲、乙两人的五次数学测验成绩进行统计，得出两人五次测验成绩的平均分均为90分，方差分别是S甲2=51、S乙2=12.则成绩比较稳定的是______(填“甲”、“乙”中的一个)．
12. 已知A(a,1)与B(5,b)关于原点对称，则a−b=______．
13. 已知关于x的方程x2−3x+k=0有一个根为1，则它的另一个根为______．
14. 如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，矩形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度得矩形AB′C′D′，若点B的对应点B′落在边CD上，则B′C的长为______．
15. 如图，AB是⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在弧AC上，弧AD=2弧CD，点P是半径OC上一个动点，那么AP+PD的最小值等于______．
16. 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C的切线CD交AB的延长线于点D，连接AC，OC，若∠ACD=120°，AB=4，则阴影部分的面积为______ (结果保留π)．
17. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加_____m．
18. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，继续旋转至2023次得到正方形OA2023B2023C2023，则点B2023的坐标是______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
19. 解方程：
(1)4x(2x−1)=3(2x−1)；
(2)x2+2x−2=0．
四、解答题（本大题共6小题，共54.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题6.0分)
某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m名学生，并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图．
请结合以上信息解答下列问题：
(1)m=______；
(2)请补全上面的条形统计图；
(3)在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为______；
(4)已知该校共有1200名学生，请你估计该校约有______名学生最喜爱足球活动．
21. (本小题8.0分)
如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)，B(4,2)，C(3,4)．
(1)请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1并写出点C1的坐标；
(2)请画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后的△AB2C2；
(3)在△ABC旋转到△AB2C2的过程中，点C经过的路径长度为______．
22. (本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF．
(1)若∠BAC=40°.则∠BAF的度数为______；
(2)若AC=8，BC=6，求AF的长．
23. (本小题10.0分)
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
(1)若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
24. (本小题10.0分)
如图，在⊙O中，PA是直径，PC是弦，PH平分∠APB且与⊙O交于点H，过H作HB⊥PC交PC的延长线于点B．
(1)求证：HB是⊙O的切线；
(2)若HB=4，BC=2，求⊙O的直径．
25. (本小题12.0分)
如图1，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(2,0)，B(−4,0)两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.本选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B.本选项中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C.本选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D.本选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
根据轴对称和中心对称的知识得出结论即可．
本题主要考查轴对称和中心对称的知识，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵5，5，6，x，6，7，8，已知平均每个小组有6个，
∴5+5+x+6+6+7+8=6×7=42，
解得：x=5，
排序为：5，5，5，6，6，7，8，
∴众数为5，中位数为6，
故选：A．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
此题考查了中位数、众数的意义，解题的关键是正确理解各概念的含义．
3.【答案】C
【解析】解：∵抛物线y=3(x−1)2+2是顶点式，
∴顶点坐标是(1,2)．
故选：C．
已知抛物线顶点式y=a(x−h)2+k，顶点坐标是(h,k)．
本题考查了二次函数的性质，由抛物线的顶点式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．
4.【答案】A
【解析】解：∵∠CAC′=70°，∠CAB=36°，
∴∠BAC′=∠CAC′−∠CAB=70°−36°=34°，
故选：A．
根据∠BAC′=∠CAC′−∠CAB计算即可解决问题．
本题考查旋转变换，角的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5.【答案】A
【解析】解：由题意得：200(1−x)2=162．
故选：A．
设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是200(1−x)2，根据关键语句“连续两次降价后为162元”可得答案．
本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查垂径定理、勾股定理的应用，关键在于正确地作出辅助线构建直角三角形，认真地进行计算．连接OC，由题意即可推出OC的长度可得OA的长度，运用勾股定理即可推出AD的长度，然后，通过垂径定理即可推出AB的长度．
【解答】
解：连接OA，
∵⊙O的弦AB垂直平分半径OC，CD= 22，
∴OD=CD= 22，OC= 2，
∴OA= 2，
∵OC⊥AB，
∴AD= OA2−OD2= 62，
∵AB=2AD，
∴AD= 6．
故选D．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
此题综合运用了切线的性质定理和切线长定理.根据切线长定理得等腰△PAB，运用内角和定理求解．
【解答】
解：根据切线的性质定理得∠PAC=90°，
∴∠PAB=90°−∠BAC=90°−35°=55°．
根据切线长定理得PA=PB，
所以∠PBA=∠PAB=55°，
所以∠P=70°．
故选D．
8.【答案】D
【解析】解：∵AB=3，
∴底面的周长是：6π
∴圆锥的侧面积等12×6π×5=15π，故选D．
由勾股定理易得圆锥的底面半径长，那么圆锥的侧面积=12×2π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
本题考查圆锥侧面积的求法．注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形．
9.【答案】C
【解析】解：∵x=0时，y=1，x=1时，y=1，∴对称轴为x=12，又当x=−1时，y=−1，x=0时，y=1，函数在[−1,0]上y随x的增大而增大，得
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个近似解在
−1
根据函数的增减性：函数在[−1,0]上y随x的增大而增大，可得答案．
本题考查了图象求一元二次方程的近似根，两个函数值的积小于零时，方程的解在这两个函数值对应的自变量的中间．
10.【答案】C
【解析】解：由图象可知：a<0，c>0，−b2a>0，
∴b>0，
∴abc<0，故①正确；
由对称轴可知：−b2a=1，
∴2a+b=0，故②错误；
由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ=b2−4ac>0，故③正确；
当x=−1时，y<0，即a−b+c<0，
又∵2a+b=0，即−b=2a，
∴a+2a+c<0，
即3a+c<0，故④正确；
由图象可知：y=3时，
此时ax2+bx+c=3只有一个解x=1，
∴方程ax2+bx+c−3=0有两个相同的实数根，故⑤错误，
综上可得：正确的结论有3个．
故选：C．
根据题意，结合二次函数的图象与性质，解答即可得出答案．
本题考查了二次函数的图象与性质，充分利用数形结合思想是解本题的关键．
11.【答案】乙
【解析】解：由于S甲2>S乙2，故乙的方差小，波动小．
故填乙．
由于两人的平均分一样，因此两人成绩的水平相同；由于S甲2>S乙2，所以乙的成绩比甲的成绩稳定．
平均数是用来衡量一组数据的一般水平，而方差则用了反映一组数据的波动情况，方差越大，这组数据的波动就越大．
12.【答案】−4
【解析】解：∵A(a,1)与B(5,b)关于原点对称，
∴a=−5，b=−1，
∴a−b=−5−(−1)=−4，
故答案为：−4．
根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a、b的值，再进一步计算即可得到答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标变化规律．
13.【答案】2
【解析】解：设x1，x2是方程的两根，
由题意知x1+x2=1+x2=3，
∴x2=2．
故填空答案：2．
首先根据根与系数的关系可以得到两根之和，然后利用两根之和，可以求出另一个根．
此题比较简单，主要利用了根与系数的关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca．
14.【答案】2
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质，矩形的性质．解题时，根据旋转的性质得到AB=AB′=10是解题的关键．
B′C=10−B′D.在直角△AB′D中，利用勾股定理求得B′D的长度即可．
【解答】解：
由旋转的性质得到AB=AB′=10，
在直角△AB′D中，∠D=90°，AD=6，AB′=AB=10，
所以B′D= AB′2−AD2= 102−62=8，
所以B′C=10−B′D=2．
故答案为：2．
15.【答案】 3
【解析】解：如图，连接BD
根据已知得B是A关于OC的对称点
所以BD就是AP+PD的最小值
∵弧AD是弧CD的两倍，而弧AC的度数是90°的弧
∴弧AD的度数是60°
所以∠B=30°
连接AD
∵AB是直径
∴∠ADB=90°
而AB=2
∴BD= 3
∴AP+PD的最小值是 3．
B是A关于OC的对称点，连接BD则就是AP+PD的最小值．根据已知条件可以知道∠B=30°，由于AB是直径，所以∠ADB=90°，解直角三角形就可以求出题目结论了．
此题首先考查了何求两相等之和的最小值--利用轴对称，然后考查了解直角三角形的知识．
16.【答案】23π
【解析】解：∵CD切⊙O于C，
∴∠OCD=90°，
∵∠ACD=120°，
∴∠OCA=30°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=30°，
∵∠BOC=60°，
∵AB=4，
∴OB=2，
∴S阴影=60π×22360=23π．
故答案为：23π．
由切线的性质可得∠OCD=90°，从而可得∠OCA=∠OAC=30°，再求出∠BOC=60°，最后根据扇形面积公式可得答案．
本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键．
17.【答案】(4 2−4)
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=−2代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【解答】
解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA=OB=12AB，抛物线顶点C坐标为(0,2)，
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2a≠0，代入A点坐标(−2,0)到抛物线解析式得出：a=−0.5，所以抛物线解析式为y=−0.5x2+2，
当水面下降2m，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=−2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=−2与抛物线相交的两点之间的距离，
把y=−2代入抛物线解析式得出：−2=−0.5x2+2，
解得：x=±2 2，
所以水面宽度增加到4 2m，比原先的宽度增加了(4 2−4)m，
故答案为：(4 2−4)．
18.【答案】( 2,0)
【解析】解：由题意可得：B1(0, 2)，B2(−1,1)，B3(− 2,0)，B4(−1,−1)，B5(0,− 2)，B6(1,−1)，B7( 2,0)，B8(1,1)，B9(0, 2)…
故周期为8，
∵2023÷8=252…7，
∴B2023=B37，
∴B2023( 2,0)．
故答案为：( 2,0)．
由题意依次写出前几个，找到规律，根据规律求即可．
本题考查的是坐标与图形变化−旋转，准确计算出每个点变化之后的坐标是解题关键．
19.【答案】解：(1)∵4x(2x−1)=3(2x−1)，
∴8x2−10x+3=0，
∴(2x−1)(4x−3)=0，
则2x−1=0或4x−3=0，
解得x=12或x=34；
(2)∵x2+2x−2=0，
∴a=1，b=2，c=−2，
则△=22−4×1×(−2)=12>0，
∴x=−2± 122=−1± 3．
【解析】(1)整理成一般式，再利用因式分解法求解可得；
(2)利用公式法求解可得答案．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20.【答案】(1)150 ；
(2)“足球“的人数=150×20%=30人，
补全上面的条形统计图如图所示；
(3) 36°；
(4) 240
【解析】解：(1)m=21÷14%=150，
故答案为：150；
(2)见答案；
(3)在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为360°×15150=36°；
故答案为：36°；
(4)1200×20%=240人，
答：估计该校约有240名学生最喜爱足球活动．
故答案为：240．
(1)根据图中信息列式计算即可；
(2)求得“足球“的人数=150×20%=30人，补全上面的条形统计图即可；
(3)360°×“乒乓球”所占的百分比即可得到结论；
(4)根据题意计算即可．
本题考查了条形统计图，观察条形统计图、扇形统计图获得有效信息是解题关键．
21.【答案】 132π
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标(−3,−4)；
(2)如图，△AB2C2即为所求；
(3)∵AC= 22+32= 13
∴点C经过的路径长度=90π⋅ 13190= 132π.
故答案为： 132π.
(1)利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点B2，C2即可；
(3)利用弧长公式求解．
本题考查作图−旋转变换，弧长公式等知识，解题关键是掌握旋转变换的性质，记住弧长公式l=nπr180．
22.【答案】65°
【解析】解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=40°，
∴∠ABC=50°，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴∠EBF=∠ABC=50°，AB=BF，
∴∠BAF=∠BFA=12(180°−50°)=65°，
故答案为：65°；
(2)∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴BE=BC=6，EF=AC=8，
∴AE=AB−BE=10−6=4，
∴AF= AE2+EF2=4 5．
(1)根据三角形的内角和定理得到∠ABC=50°，根据旋转的性质得到∠EBF=∠ABC=50°，AB=BF，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
(2)根据勾股定理得到AB=10，根据旋转的性质得到BE=BC=6，EF=AC=8，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，
则y=(40−x)(20+2x)=800+80x−20x−2x2=−2x2+60x+800，
当y=1200时，1200=(40−x)(20+2x)，
解得x1=10，x2=20，
经检验，x1=10，x2=20都是原方程的解，但要尽快减少库存，
所以x=20，
答：每件衬衫应降价20元；
(2)∵y=−2x2+60x+800=−2(x−15)2+1250，
∴当x=15时，y的最大值为1250，
答：当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元．
【解析】(1)设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，可得每件盈利40−x元，每天可以售出20+2x件，进而得到商场平均每天盈利(40−x)(20+2x)元，依据方程1200=(40−x)(20+2x)即可得到x的值；
(2)用“配方法”即可求出y的最大值，即可得到每件衬衫降价多少元．
此题主要考查了二次函数的应用以及“配方法”在求函数的最大值的问题中的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．
24.【答案】证明：(1)如图，连接OH，
∵PH平分∠APB，
∴∠HPA=∠HPB，
∵OP=OH，
∴∠OHP=∠HPA，
∴∠HPB=∠OHP，
∴OH//BP，
∵BP⊥BH，
∴OH⊥BH，
∴HB是⊙O的切线；
(2)如图，过点O作OE⊥PC，垂足为E，
∵OE⊥PC，OH⊥BH，BP⊥BH，
∴四边形EOHB是矩形，
∴OE=BH=4，OH=BE，
∴CE=OH−2，
∵OE⊥PC
∴PE=EC=OH−2=OP−2，
在Rt△POE中，OP2=PE2+OE2，
∴OP2=(OP−2)2+16
∴OP=5，
∴AP=2OP=10，
∴⊙O的直径是10．
【解析】(1)连接OH，由题意可得∠OHP=∠HPA=∠HPB，可证OH//BP，则可得OH⊥BH，根据切线的判定可证HB是⊙O的切线；
(2)过点O作OE⊥PC，垂足为E，可证四边形EOHB是矩形，可得OE=BH=4，OH=BE，再根据勾股定理可求OP的长，即可求⊙O的直径．
本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，垂径定理，角平分线的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
25.【答案】解：(1)将A(2,0)，B(−4,0)代入得：
−4+2b+c=0−16−4b+c=0，
解得：b=−2c=8，
则该抛物线的解析式为：y=−x2−2x+8；
(2)存在；
当x=0时，y=−x2−2x+8=8，
∴C(0,8)，
y=−x2−2x+8=−(x+1)2+9，
∴抛物线的对称轴为直线x=−1，
如图1，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，设直线BC的解析式为：
y=kx+d，
将点B(−4,0)、C(0,8)代入得：
d=8−4k+d=0，
解得：k=2d=8，
故直线BC解析式为：y=2x+8，
直线BC与抛物线对称轴 x=−1的交点为Q，此时△QAC的周长最小．
解方程组y=2x+8x=−1得，x=−1y=6
则点Q(−1,6)即为所求；
(3)存在；
如图2，过点P作PE⊥x轴于点E，
P点(x,−x2−2x+8)(−4
∵S△BPC=S四边形BPCO−S△BOC=S四边形BPCO−16
若S四边形BPCO有最大值，则S△BPC就最大
∵S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC
=12BE⋅PE+12OE(PE+OC)
=12(x+4)(−x2−2x+8)+12(−x)(−x2−2x+8+8)
=−2(x+2)2+24，
当x=−2时，S四边形BPCO最大值=24，
∴S△BPC最大=24−16=8，
当x=−2时，−x2−2x+8=8，
∴点P的坐标为(−2,8)．
【解析】(1)直接利用待定系数求出二次函数解析式即可；
(2)首先求出直线BC的解析式，再利用轴对称求最短路线的方法得出答案；
(3)根据S△BPC=S四边形BPCO−S△BOC=S四边形BPCO−16，得出函数最值，进而求出P点坐标即可．
此题主要考查了二次函数综合应用以及待定系数法求一次函数、二次函数解析式和图形的面积求法、二次函数最值求法等知识，根据题意正确表示出四边形BPCO的面积是解题关键．
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