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2022-2023学年北京市海淀区首都师大二附中九年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）
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这是一份2022-2023学年北京市海淀区首都师大二附中九年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市海淀区首都师大二附中九年级（下）月考数学试卷（4月份）
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2023年4月6日，中国船舶集团有限公司与法国达飞海运集团在北京正式签订合作协议，协议包括建造2型16艘大型集装箱船，金额达21000000000多元人民币，创下了中国造船业一次性签约集装箱船最大金额的新纪录.请将21000000000用科学记数法表示( )
A. 0.21×1011 B. 2.1×1010 C. 2.1×1011 D. 21×1010
2. 如图的几何体是由一些小正方体组合而成的，则这个几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 如图，已知∠AOC=90°，∠COB=60°，OD平分∠AOB，则∠COD的度数是( )
A. 35°
B. 30°
C. 25°
D. 15°
4. 图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
5. 若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为( )
A. 360° B. 540° C. 720° D. 900°
6. “天宫课堂”第二课3月23日在中国空间站开讲，包括六个项目：太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验、空间科学设施介绍与展示、天地互动环节.若随机选取一个项目写观后感，则恰好选到“实验”项目的概率是( )
A. 23 B. 12 C. 16 D. 56
7. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )
A. a>−2 B. |a|>b C. a+b>0 D. b−a<0
8. 如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y.定义(x,y)为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线x=1，y=3将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中．则下面叙述中正确的是( )
A. 点A的横坐标有可能大于3
B. 矩形1是正方形时，点A位于区域②
C. 当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小
D. 当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 若式子 x+5在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
10. 分解因式：xy2−x= ．
11. 方程3x=2x−2的解是 ．
12. 如图，AC，BC是⊙O的弦，PA，PB是⊙O的切线，若∠C=60°，则∠P= ．
13. 在平面直角坐标系xOy中，若点A(1,y1)，B(3,y2)在反比例函数y=kx(k<0)的图象上，则y1 ______ y2(填“>”“=”或“<”)．
14. 如图，在矩形ABCD中，若AB=6，AC=10，AFFC=14，则AE的长为 ．
15. 为了丰富同学们的课余生活，某年级买了3个篮球和2个足球，共花费了474元，其中篮球的单价比足球的单价多8元，求篮球和足球的单价，如果设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意可列方程组为 ．
16. 如图①，在△ABC中，∠C=90°，点D从点A出发沿A→C→B以1cm/s的速度运动到点B，过点D作DE⊥AB于点E，图②是点D运动时，线段DE的长度y(cm)随运动时间x(s)的变化关系的图象，当a
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
17. 计算：(14)−1− 27+(5−π)0+6tan60°．
四、解答题（本大题共11小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题5.0分)
解不等式组：4(x−2)≤x−53x+12>x．
19. (本小题5.0分)
已知a2+a−1=0，求代数式(a+2)(a−2)+a(a+2)的值．
20. (本小题5.0分)
关于x的一元二次方程x2−mx+2m−4=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于1，求m的取值范围．
21. (本小题6.0分)
如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，EF垂直平分BD，分别交AB，BC，BD于E，F，G，连接DE，DF．
(1)求证：四边形BEDF是菱形；
(2)若∠BDE=15°，∠C=45°，DE=2，求CF的长．
22. (本小题5.0分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=−x的图象平移得到，且经过点(1,1).(1)求该函数的解析式；
(2)当x>−1时，对于x的每一个值，函数y=mx−1(m≠0)的值都小于一次函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出m的取值范围．
23. (本小题6.0分)
某景观公园的人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线.现测量出如下表中的数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．
d/米
0
0.7
2
3
4
…
h/米
2.0
3.484
5.2
5.6
5.2
…
请解决以下问题：
(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．
(2)①求喷泉抛物线的解析式；
②求喷泉的落水点距水枪的水平距离．
(3)已知喷泉落水点刚好在水池内边缘，如果通过改变喷泉的推力大小，使得喷出的水流形成的抛物线为h=−0.3(d−3.5)2+5.7，此时喷泉______ (填“会”或“不会”)喷到水池外．
24. (本小题6.0分)
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OE⊥BC于点E，交CD于点F．
(1)求证：∠A+∠OFC=90°；
(2)若tanA=32，BC=6，求线段CF的长．
25. (本小题5.0分)
为增进学生对数学知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了30名学生两次活动的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析.如图1是将这30名学生的第一次活动成绩作为横坐标，第二次活动成绩作为纵坐标绘制而成．
(1)学生甲第一次成绩是70分，则该生第二次成绩是______ 分.
(2)两次成绩均达到或高于90分的学生有______ 个.
(3)为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，如图2是这30位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图(数据分成8组：60≤x<65，65≤x<70，70≤x<75，75≤x<80，80≤x<85，85≤x<90，90≤x<95，95≤x≤100)，
在75≤x<80的成绩分别是77、77、78、78、78、79、79，则这30位学生平均成绩的中位数是______ ．
(4)假设全校有1200名学生参加此次活动，请估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数．
26. (本小题6.0分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2mx+m2−1(m是常数)．
(1)求该抛物线的顶点坐标(用含m代数式表示)；
(2)如果点A(1−2m,y1)，B(m+1,y2)都在该抛物线上，且y1>y2，求m的取值范围．
27. (本小题7.0分)
在正方形ABCD中，E是BC边上一点(点E不与点B，C重合)，AE⊥EF，垂足为点E，EF与正方形的外角∠DCG的平分线交于点F．
(1)如图1，若点E是BC的中点，猜想AE与EF的数量关系是______ ．
证明此猜想时，可取AB的中点P，连接EP.根据此图形易证△AEP≌△EFC．
则判断△AEP≌△EFC的依据是______ ．
(2)点E在BC边上运动．
①如图2，(1)中的猜想是否仍然成立？请说明理由．
②如图3，连接AF，DF，若正方形ABCD的边长为2，直接写出△AFD的周长c的取值范围．
28. (本小题7.0分)
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，对于平面上的任一点A，给出如下定义：在射线OA上存在点B，使得OA⋅OB=4，则称点B是点A关于⊙O的“映象点”．
(1)点(1,0)关于⊙O的“映象点”是______ ，点(1,1)关于⊙O的“映象点”是______ ；
(2)如图1，过点(1,0)垂直于x轴的直线交圆O于点C，D，当点P在线段CD上运动时，记点Q是点P关于圆O的“映象点”，直接写出点Q的横坐标xQ的取值范围；
(3)如图2，过点(m,0)垂直于x轴的直线交圆O于点M，N，当点P在线段MN上运动时，记点P关于圆O的“映象点”的运动轨迹为G，当1
1.【答案】B
【解析】解：21000000000=2.1×1010，
故选：B．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时，n是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
2.【答案】B
【解析】解：从左边看，底层是两个正方形，上层左边是一个正方形，
故选：B．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
3.【答案】D
【解析】解：∵∠AOB=60°+90°=150°，
又∵OD平分∠AOB，，
∴∠BOD=12∠AOB=12×150°=75°，，
∴∠COD=∠BOD−∠COB=75°−60°=15°．
故选：D．
先求出∠AOB=60°+90°=150°，再根据角平分线的定义求得∠BOD=75°，把对应数值代入∠COD=∠BOD−∠COB即可求解．
本题主要考查了角平分线的定义和角的运算．找到等量关系∠COD=∠BOD−∠COB是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：如图所示，该图形有4条对称轴，
故选：C．
一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，由此即可解决问题．
此题考查轴对称图形，根据题意画出对称轴是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】
解：该正多边形的边数为：360°÷60°=6，
该正多边形的内角和为：(6−2)×180°=720°．
故选：C．
【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的外角和与内角和公式是解答本题的关键．
根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和．
6.【答案】A
【解析】解：∵共6个项目，“实验”项目有太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验共4个，
∴随机选取一个项目写观后感，则恰好选到“实验”项目的概率是46=23．
故选：A．
根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P(A)=mn．
7.【答案】B
【解析】解：A.由图象可得点A在−2左侧，
∴a<−2，A选项错误，不符合题意．
B.∵a到0的距离大于b到0的距离，
∴|a|>b，B选项正确，符合题意．
C.∵|a|>b，a<0，
∴−a>b，
∴a+b<0，C选项错误，不符合题意．
D.∵b>a，
∴b−a>0，D选项错误，不符合题意．
故选：B．
根据图象逐项判断对错．
本题考查数轴与绝对值，解题关键是掌握数轴上点的意义及绝对值的含义．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了函数图象和新定义，有难度，理清x和y的意义是关键，并注意利用数形结合的思想解决问题．
A、根据反比例函数k一定，并根据图形得：当x=1时，y<3，得k=xy<3，因为y是矩形周长的一半，即y>x，可判断点A的横坐标不可能大于3；
B、根据正方形边长相等得：y=2x，得点A是直线y=2x与双曲线的交点，画图，如图2，交点A在区域③，可作判断；
C、先表示矩形面积S=x(y−x)=xy−x2=k−x2，当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，矩形1的面积会越来越大，可作判断；
D、当点A位于区域①，得x<1，另一边为：y−x>2，矩形2的坐标的对应点落在区域④中得：x>1，y>3，可作判断．
【解答】
解：设点A(x,y)，
A、设反比例函数解析式为：y=kx(k≠0)，
由图形可知：当x=1时，y<3，
∴k=xy<3，
∵y>x，
∴x<3，即点A的横坐标不可能大于3，故选项A不正确；
B、当矩形1为正方形时，边长为x，则y=2x，
则点A是直线y=2x与双曲线的交点，如图2，
∵x=1时，y=2x=2<3，
∴交点A在区域③，故选项B不正确；
C、∵矩形一边为x，则另一边为y−x，
∴S=x(y−x)=xy−x2=k−x2，
∵当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，
∴矩形1的面积会越来越大，故选项C不正确；
D、当点A位于区域①时，
∵点A(x,y)，
∴x<1，y>3，即矩形1另一边为：y−x>2，
矩形2落在区域④中，x>1，y>3，
则矩形1中的x和矩形2中的y−x相等时，矩形1的另一边y−x可以和矩形2的一边x相等，此时两矩形全等，
∴当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等，故选项D正确．
故选：D．
9.【答案】x≥−5
【解析】
【分析】
根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．
主要考查了二次根式的意义和性质．
概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
【解答】
解：根据题意得：x+5≥0，解得x≥−5．
10.【答案】x(y−1)(y+1)
【解析】
【分析】
本题考查了用提取公因式法和平方差公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：xy2−x，
=x(y2−1)，
=x(y−1)(y+1)．
故答案为：x(y−1)(y+1)．
11.【答案】x=6
【解析】
【分析】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】
解：去分母得：3x−6=2x，
解得：x=6，
经检验x=6是分式方程的解．
故答案为：x=6．
12.【答案】60°
【解析】解：连接OA，OB，
∵∠C=60°，
∴∠AOB=2∠C=120°，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠AOB+∠OAP+∠OBP+∠P=360°，
∴∠P=360°−90°−90°−120°=60°，
故答案为：60°．
连接OA，OB，由圆周角和圆心角的关系求得∠AOB=120°，由切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，根据多边形内角和定理即可求出∠P=60°．
本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解决问题的关键．
13.【答案】<
【解析】解：∵k<0，
∴反比例函数y=kx(k<0)的图象在二、四象限，
∵3>1>0，
∴点A(1,y1)，B(3,y2)在第四象限，y随x的增大而增大，
∴y1
先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性解答．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，根据题意判断出函数图象的增减性是解题的关键
14.【答案】2
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE//BC，∠ABC=90°，
∴∠EAF=∠BCF．
∵∠AFE=∠BFC，
∴△AEF～△CBF，
∴AEBC=AFCF，
在Rt△ABC中，BC= AC2−AB2= 102−62=8．
∴AE8=14，
解得AE=2．
故答案为：2．
根据矩形的性质得AE//BC，∠ABC=90°，即可得出∠EAF=∠BCF，并根据勾股定理求出BC，再根据∠AFE=∠BFC，得出△AEF～△CBF，然后根据相似三角形对应边相等得出比例式，代入数值得出答案．
本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法．
15.【答案】3x+2y=474x−y=8
【解析】解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，
根据题意可列方程组为3x+2y=474x−y=8，
故答案为：3x+2y=474x−y=8．
根据“3个篮球的价钱+2个足球的价钱=474元和篮球单价−足球的单价=8元”可列方程组．
本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．
16.【答案】6(答案不唯一)
【解析】解：由图②可知△ABC为等腰直角三角形，
当D运动到C时，DE最长为5 22，此时运动时间为a s，则AC=a，
∴根据勾股定理得a=5，
∴当a
由图②可知△ABC为等腰直角三角形，当D运动到C时，DE最长为5 22，此时运动时间为a s，则AC=a，根据勾股定理得a=5，所以当a
17.【答案】解：原式=4−3 3+1+6× 3
=5+3 3．
【解析】原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项化为最简二次根式，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算，即可得到结果．
此题考查了实数的运算，涉及的知识有：零指数、负指数幂，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：4(x−2)≤x−5①3x+12>x②，
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x>−1，
∴不等式组的解集是−1
本题考查解不等式组，解题的关键是掌握求公共解集的方法．
19.【答案】解：∵a2+a−1=0，
∴a2+a=1，
原式=a2−4+a2+2a
=2a2+2a−4
=2(a2+a)−4，
当a2+a=1时，原式=2−4=−2．
【解析】原式利用平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算−化简求值，以及一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵a=1，b=−m，c=2m−4，
∴△=b2−4ac
=(−m)2−4(2m−4)
=m2−8m+16
=(m−4)2≥0，
∴此方程总有两个实数根．
(2)解：∵△=(m−4)2≥0，
∴x=−b± b2−4ac2a=m±|m−4|2．
∴x1=m−2，x2=2．
∵此方程有一个根小于1．
∴m−2<1．
∴m<3．
【解析】(1)先根据方程有两个相等的实数根列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；
(2)利用求根公式得到x1=m−2，x2=2.根据题意得到m−2<1.即可求得m<3．
本题考查的是根的判别式及一元二次方程解的定义，在解答(2)时得到方程的两个根是解题的关键．
21.【答案】证明：(1)∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵EF垂直平分BD，
∴BE=DE，BF=DF，
∵∠EBD=∠EDB，∠FBD=∠FDB，
∴∠EBD=∠BDF，∠EDB=∠DBF，
∴BE//DF，DE//BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，且BE=DE，
∴四边形BEDF是菱形；
(2)过点D作DH⊥BC于点H，
∵四边形BEDF是菱形，
∴BF=DF=DE=2，
∴∠FBD=∠FDB=∠BDE=15°，
∴∠DFH=30°，且DH⊥BC，
∴DH=12DF=1，FH= 3DH 3，
∵∠C=45°，DH⊥BC，
∴∠C=∠CDH=45°，
∴DH=CH=1，
∴FC=FH+CH= 3+1．
【解析】(1)由线段垂直平分线的性质可得BE=DE，BF=DF，可得∠EBD=∠EDB，∠FBD=∠FDB，由角平分线的性质可得∠EBD=∠BDF=∠EDB=∠DBF，可证BE//DF，DE//BF，可得四边形DEBF是平行四边形，即可得结论；
(2)由菱形的性质和外角性质可得∠DFC=30°，由直角三角形的性质可求CF的长．
本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质等知识，掌握菱形的判定方法是本题的关键．
22.【答案】解：(1)∵一次函数y=kx+b的图象由函数y=−x的图象平移得到，
∴k=−1，
又∵一次函数y=−x+b的图象过点(1,1)，
∴−1+b=1．
∴b=2，
∴这个一次函数的表达式为y=−x+2；
(2)当x=−1时，y=−x+2=3，
把点(−1,3)代入y=mx−1，得m=−4，
∵当x>−1时，对于x的每一个值，函数y=mx−1(m≠0)的值小于一次函数y=−x+2的值，
∴−4≤m≤−1．
【解析】(1)先根据直线平移时k的值不变得出k=−1，再将点(1,1)代入y=−x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；
(2)求得函数y=−x+2在x=−1时的函数值为3，根据点(−1,3)结合图象即可求得．
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
23.【答案】会
【解析】解：(1)如图：
(2)①由图象得，顶点(3,5.6)，设h=a(d−3)2+5.6，
把(0,2)代入可得a=−0.4，∴h=−0.4(d−3)2+5.6；
②当h=0时，−0.4(d−3)2+5.6=0，
解得d=3+ 14或3− 14(舍去)，
答：喷泉的落水点距水枪的水平距离约为3+ 14米；
(3)在h=−0.4(d−3)2+5.6中，
当h=0时，d=3+ 14，
在h=−0.3(d−3.5)2+5.7中，
当h=0时，d=3.5+ 19，
∵3.5+ 19>3+ 14，
∴改变喷泉的推力后抛物线开口变大，
∴此时喷泉会喷到水池外面，
故答案为：会．
(1)根据对应点画图象即可；
(2)①利用待定系数法求出二次函数的关系式；②把h=0代入即可；
(3)根据喷泉推理大小改变前后的函数解析式可以判断推理改变后抛物线开口变大，从而得出结论．
本题考查二次函数的实际应用，根据对应点的坐标得到二次函数关系式是解题关键．
24.【答案】(1)证明：如图，连接OC，
∵FC是⊙O的切线，
∴OC⊥CF，
∴∠OCF=90°，
∴∠OFC+∠COF=90°，
∵OE⊥BC，
∴∠COF=∠A，
∴∠A+∠OFC=90°；
(2)解：∵∠COF=∠A，
∴tanA=tan∠COF=CEOE=32，
∵OE⊥BC，
∴CE=BE=12BC=12×6=3，
∴OE=2，
∴OC= CE2+OE2= 9+4= 13，
∵∠OCF=∠CEF=90°，
∴∠FCE+∠OCE=∠CFE+∠FCE=90°，
∴∠OCE=∠CFE，
∴sin∠OCE=sin∠CFE，
∴OEOC=CECF，
∴2 13=3CF，
∴CF=32 13．
【解析】(1)连接OC，根据切线的性质可得∠OCF=90°，再根据垂径定理可得结论；
(2)根据垂径定理可得CE=BE=12BC=3，结合已知条件可得OE=2，根据勾股定理可得OC= 13，再根据sin∠OCE=sin∠CFE，即可求出线段CF的长．
此题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
25.【答案】75 7 79
【解析】解：(1)由图1得：该生第二次成绩是75分，
故答案为：75；
(2)横纵坐标都大于等于90的点有7个，
故答案为：7；
(3)这30位学生平均成绩的中位数是：79，
故答案为：79；
(4)930×1200=360(人)，
答：估计两次活动平均成绩不低于90分的学生有360人．
(1)根据统计图找坐标；
(2)根据统计图找出横纵坐标都岛屿等于90的点的个数；
(3)根据中位数的定义求解；
(4)利用样本的百分比估计总体的百分比．
本题考查了频数分布直方图，掌握中位数等基本概念是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵y=x2−2mx+m2−1=(x−m)2−1，
∴抛物线顶点坐标为(m,−1)；
(2)∵y=x2−2mx+m2−1=(x−m)2−1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=m，
∵点A(1−2m,y1)，B(m+1,y2)都在该抛物线上，且y1>y2，
∴|1−2m−m|>|m+1−m|，
∴1−3m>1或3m−1>1，
解得m>23或m<0．
【解析】(1)将抛物线解析式化为顶点式求解．
(2)由y=x2−2mx+m2−1=(x−m)2−1得到抛物线开口向上，对称轴为直线x=m，由y1>y2，可得|1−2m−m|>|m+1−m|，解不等式即可求解．
本题考查二次函数的图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
27.【答案】AE=EF ASA
【解析】解：(1)如图1，取AB的中点P，连接EP．
则AP=BP=12AB，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE=12BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°，
∴AP=EC，∠BAE+∠AEB=90°，BP=BE，∠DCG=90°，
∴△BPE是等腰直角三角形，
∴∠BPE=45°，
∴∠APE=180°−∠BPE=180°−45°=135°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠DCF=∠GCF=45°，
∴∠ECF=180°−∠GCF=180°−45°=135°，
∴∠APE=∠ECF，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
在△AEP和△EFC中，
∠PAE=∠CEFAP=EC∠APE=∠ECF，
∴△AEP≌△EFC(ASA)，
∴AE=EF，
故答案为：AE=EF，ASA；
(2)①成立，理由如下：
如图2，在AB上取一点P，使BP=BE，连接PE，
则AP=EC，
由(1)得：∠PAE=∠CEF，
∵BP=BE，∠B=90°，
∴△BPE是等腰直角三角形，
∴∠BPE=45°，
∴∠APE=180°−∠BPE=180°−45°=135°，
∴∠APE=∠ECF，
在△AEP和△EFC中，
∠PAE=∠CEFAP=EC∠APE=∠ECF，
∴△AEP≌△EFC(ASA)，
∴AE=EF；
②如图3，过D作DH⊥CF交DG于点H，连接FH、AH，
∵∠DCF=45°，
∴∠CDH=45°，
∴△DCH是等腰直角三角形，
∴点H与D关于CF对称，
∴DF=HF，
∴AF+DF=AF+FH，
当A、F、H三点共线时，AF+FH即AF+DF最短，
此时AF+DF=AH，BH=BC+CH=4，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：AH= AB2+BH2= 22+42=2 5，
此时c=AD+AF+DF=2+2 5；
当DF=FH与CD相等时，即A、D、F三点共线，
此时AD+AF+DF=2+4+2=10，
则c
(1)取AB的中点P，连接EP.先证AP=EC，再证∠APE=∠ECF，∠BAE=∠CEF，然后由ASA证△AEP≌△EFC，即可得出结论；
(2)①在AB上取一点P，使BP=BE，连接PE，证△AEP≌△EFC(ASA)，即可得出结论；
②过D作DH⊥CF交DG于点H，连接FH、AH，证△DCH是等腰直角三角形，则点H与D关于CF对称，得DF=HF，AF+DF=AF+FH，当A、F、H三点共线时，AF+FH即AF+DF最短，此时AF+DF=AH，BH=BC+CH=2，再由勾股定理得AH=2 5，此时c=AD+AF+DF=1+ 5；当DF=FH与CD相等时，即A、D、F三点共线，此时AD+AF+DF=2+4+2=10，则c
28.【答案】(4,0) (2,2)
【解析】解：(1)设点(1,0)为点A，点(1,0)关于⊙O的“映象点”是点B，则OA=1，
又∵OA⋅OB=4，
∴OB=4，
故点(1,0)关于⊙O的“映象点”是(4,0)；
设点(1,1)为点A，点(1,1)关于⊙O的“映象点”是点B，则OA= 12+12= 2，
又∵OA⋅OB=4，
∴OB=2 2，
由B在射线OA：y=x上，可设点B坐标为(a,a)，(a>0)，
∴ a2+a2=2 2，
解得：a=2(负值以舍去)，
∴点(1,1)关于⊙O的“映象点”是(2,2)，
故答案为：(4,0)；(2,2)，
(2)当P点在(1,0)时，OP=1最小，
又∵OP⋅OQ=4，
∴OQ=4．
此时OQ=4最大，点P关于圆O的“映象点”Q的横坐标xQ=4，
当P点在C或D时，OP=2最大，
又∵OP⋅OQ=4，
∴OQ=2.此时OQ=2，此时点Q与点P重合，点P关于圆O的“映象点”Q的横坐标xQ=1．
综上所述：点Q的横坐标xQ的取值范围：1≤xQ≤4；
(3)如图，以点D(2m,0)为圆心，以2m长为半径，交x轴于E点，交射线OP于Q点，点(1,0)为点A，MN交x轴于K点，
∵OE是直径，
∴∠OQE=90°，
又∵∠POK=∠EOQ，∠PKO=90°，
∴△POK∽△EOQ，
∴OPOE=OKOQ，
∴OP⋅OQ=OK⋅OE=m⋅4m=4，
∴点Q是点P关于圆O的“映象点”，当P点在MN上运动时，点P关于圆O的“映象点“Q在MEN上运动，
∴点P关于圆O的“映象点”的轨迹为G，为以点(2m,0)为圆心，以2m长为半径的优弧MEN．
由图可知：当m变大时，MEN随着变小，半径2m变小，MEN的弧长变小，
∴当m=2时，M、N点重合，
∴∠MDN=0°，
点P关于圆O的“映象点“轨迹为G(MEN)的长度l=0，
∴当m=1时，圆D的半径为2，
∴OD=OM=MD=2，即△MOD为等边三角形，
∴∠MDO=60°，
∴∠MDN=120°，
∴优弧MEN的长为：360−120360×2×2π=83π，
即：点P关于圆O的“映象点”轨迹为G(MEN)的长度l=83π，
此时OQ=2最小，点P关于圆O的“映象点”Q的横坐标xQ=1，
综上所述：当1
(2)根据点p在线段CD上运动时的位置的边界位置，确定点Q的位置边界，进而确定点Q的横坐标xO的取值范围；
(3)根据映象点“定义，以点D(2m,0)为圆心，以2长为半径，交x轴于F点，交射线OP于Q点，利用直径所对圆周角等于90°，构造相似三角形△POK∽△EOQ，可得OP⋅OQ=OK⋅OE=m⋅4m=4，由此得到点P关于圆O的“映象点”的轨迹为G，为以点(2m,0)为圆心，以长为半径的优弧MEN，进而求解．
本题属于圆综合题，考查了相似三角形性质和判定、解直角三角形，等边三角形的判定和性质，O的“映象点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识转化线段数量关系解决问题，属于中考压轴题．
2022-2023学年北京市海淀区首都师大二附中九年级（下）月考数学试卷（4月份）
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2023年4月6日，中国船舶集团有限公司与法国达飞海运集团在北京正式签订合作协议，协议包括建造2型16艘大型集装箱船，金额达21000000000多元人民币，创下了中国造船业一次性签约集装箱船最大金额的新纪录.请将21000000000用科学记数法表示( )
A. 0.21×1011 B. 2.1×1010 C. 2.1×1011 D. 21×1010
2. 如图的几何体是由一些小正方体组合而成的，则这个几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 如图，已知∠AOC=90°，∠COB=60°，OD平分∠AOB，则∠COD的度数是( )
A. 35°
B. 30°
C. 25°
D. 15°
4. 图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
5. 若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为( )
A. 360° B. 540° C. 720° D. 900°
6. “天宫课堂”第二课3月23日在中国空间站开讲，包括六个项目：太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验、空间科学设施介绍与展示、天地互动环节.若随机选取一个项目写观后感，则恰好选到“实验”项目的概率是( )
A. 23 B. 12 C. 16 D. 56
7. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )
A. a>−2 B. |a|>b C. a+b>0 D. b−a<0
8. 如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y.定义(x,y)为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线x=1，y=3将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中．则下面叙述中正确的是( )
A. 点A的横坐标有可能大于3
B. 矩形1是正方形时，点A位于区域②
C. 当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小
D. 当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 若式子 x+5在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
10. 分解因式：xy2−x= ．
11. 方程3x=2x−2的解是 ．
12. 如图，AC，BC是⊙O的弦，PA，PB是⊙O的切线，若∠C=60°，则∠P= ．
13. 在平面直角坐标系xOy中，若点A(1,y1)，B(3,y2)在反比例函数y=kx(k<0)的图象上，则y1 ______ y2(填“>”“=”或“<”)．
14. 如图，在矩形ABCD中，若AB=6，AC=10，AFFC=14，则AE的长为 ．
15. 为了丰富同学们的课余生活，某年级买了3个篮球和2个足球，共花费了474元，其中篮球的单价比足球的单价多8元，求篮球和足球的单价，如果设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意可列方程组为 ．
16. 如图①，在△ABC中，∠C=90°，点D从点A出发沿A→C→B以1cm/s的速度运动到点B，过点D作DE⊥AB于点E，图②是点D运动时，线段DE的长度y(cm)随运动时间x(s)的变化关系的图象，当a
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
17. 计算：(14)−1− 27+(5−π)0+6tan60°．
四、解答题（本大题共11小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题5.0分)
解不等式组：4(x−2)≤x−53x+12>x．
19. (本小题5.0分)
已知a2+a−1=0，求代数式(a+2)(a−2)+a(a+2)的值．
20. (本小题5.0分)
关于x的一元二次方程x2−mx+2m−4=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于1，求m的取值范围．
21. (本小题6.0分)
如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，EF垂直平分BD，分别交AB，BC，BD于E，F，G，连接DE，DF．
(1)求证：四边形BEDF是菱形；
(2)若∠BDE=15°，∠C=45°，DE=2，求CF的长．
22. (本小题5.0分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=−x的图象平移得到，且经过点(1,1).(1)求该函数的解析式；
(2)当x>−1时，对于x的每一个值，函数y=mx−1(m≠0)的值都小于一次函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出m的取值范围．
23. (本小题6.0分)
某景观公园的人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线.现测量出如下表中的数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．
d/米
0
0.7
2
3
4
…
h/米
2.0
3.484
5.2
5.6
5.2
…
请解决以下问题：
(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．
(2)①求喷泉抛物线的解析式；
②求喷泉的落水点距水枪的水平距离．
(3)已知喷泉落水点刚好在水池内边缘，如果通过改变喷泉的推力大小，使得喷出的水流形成的抛物线为h=−0.3(d−3.5)2+5.7，此时喷泉______ (填“会”或“不会”)喷到水池外．
24. (本小题6.0分)
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OE⊥BC于点E，交CD于点F．
(1)求证：∠A+∠OFC=90°；
(2)若tanA=32，BC=6，求线段CF的长．
25. (本小题5.0分)
为增进学生对数学知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了30名学生两次活动的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析.如图1是将这30名学生的第一次活动成绩作为横坐标，第二次活动成绩作为纵坐标绘制而成．
(1)学生甲第一次成绩是70分，则该生第二次成绩是______ 分.
(2)两次成绩均达到或高于90分的学生有______ 个.
(3)为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，如图2是这30位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图(数据分成8组：60≤x<65，65≤x<70，70≤x<75，75≤x<80，80≤x<85，85≤x<90，90≤x<95，95≤x≤100)，
在75≤x<80的成绩分别是77、77、78、78、78、79、79，则这30位学生平均成绩的中位数是______ ．
(4)假设全校有1200名学生参加此次活动，请估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数．
26. (本小题6.0分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2mx+m2−1(m是常数)．
(1)求该抛物线的顶点坐标(用含m代数式表示)；
(2)如果点A(1−2m,y1)，B(m+1,y2)都在该抛物线上，且y1>y2，求m的取值范围．
27. (本小题7.0分)
在正方形ABCD中，E是BC边上一点(点E不与点B，C重合)，AE⊥EF，垂足为点E，EF与正方形的外角∠DCG的平分线交于点F．
(1)如图1，若点E是BC的中点，猜想AE与EF的数量关系是______ ．
证明此猜想时，可取AB的中点P，连接EP.根据此图形易证△AEP≌△EFC．
则判断△AEP≌△EFC的依据是______ ．
(2)点E在BC边上运动．
①如图2，(1)中的猜想是否仍然成立？请说明理由．
②如图3，连接AF，DF，若正方形ABCD的边长为2，直接写出△AFD的周长c的取值范围．
28. (本小题7.0分)
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，对于平面上的任一点A，给出如下定义：在射线OA上存在点B，使得OA⋅OB=4，则称点B是点A关于⊙O的“映象点”．
(1)点(1,0)关于⊙O的“映象点”是______ ，点(1,1)关于⊙O的“映象点”是______ ；
(2)如图1，过点(1,0)垂直于x轴的直线交圆O于点C，D，当点P在线段CD上运动时，记点Q是点P关于圆O的“映象点”，直接写出点Q的横坐标xQ的取值范围；
(3)如图2，过点(m,0)垂直于x轴的直线交圆O于点M，N，当点P在线段MN上运动时，记点P关于圆O的“映象点”的运动轨迹为G，当1
1.【答案】B
【解析】解：21000000000=2.1×1010，
故选：B．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时，n是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
2.【答案】B
【解析】解：从左边看，底层是两个正方形，上层左边是一个正方形，
故选：B．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
3.【答案】D
【解析】解：∵∠AOB=60°+90°=150°，
又∵OD平分∠AOB，，
∴∠BOD=12∠AOB=12×150°=75°，，
∴∠COD=∠BOD−∠COB=75°−60°=15°．
故选：D．
先求出∠AOB=60°+90°=150°，再根据角平分线的定义求得∠BOD=75°，把对应数值代入∠COD=∠BOD−∠COB即可求解．
本题主要考查了角平分线的定义和角的运算．找到等量关系∠COD=∠BOD−∠COB是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：如图所示，该图形有4条对称轴，
故选：C．
一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，由此即可解决问题．
此题考查轴对称图形，根据题意画出对称轴是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】
解：该正多边形的边数为：360°÷60°=6，
该正多边形的内角和为：(6−2)×180°=720°．
故选：C．
【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的外角和与内角和公式是解答本题的关键．
根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和．
6.【答案】A
【解析】解：∵共6个项目，“实验”项目有太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验共4个，
∴随机选取一个项目写观后感，则恰好选到“实验”项目的概率是46=23．
故选：A．
根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P(A)=mn．
7.【答案】B
【解析】解：A.由图象可得点A在−2左侧，
∴a<−2，A选项错误，不符合题意．
B.∵a到0的距离大于b到0的距离，
∴|a|>b，B选项正确，符合题意．
C.∵|a|>b，a<0，
∴−a>b，
∴a+b<0，C选项错误，不符合题意．
D.∵b>a，
∴b−a>0，D选项错误，不符合题意．
故选：B．
根据图象逐项判断对错．
本题考查数轴与绝对值，解题关键是掌握数轴上点的意义及绝对值的含义．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了函数图象和新定义，有难度，理清x和y的意义是关键，并注意利用数形结合的思想解决问题．
A、根据反比例函数k一定，并根据图形得：当x=1时，y<3，得k=xy<3，因为y是矩形周长的一半，即y>x，可判断点A的横坐标不可能大于3；
B、根据正方形边长相等得：y=2x，得点A是直线y=2x与双曲线的交点，画图，如图2，交点A在区域③，可作判断；
C、先表示矩形面积S=x(y−x)=xy−x2=k−x2，当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，矩形1的面积会越来越大，可作判断；
D、当点A位于区域①，得x<1，另一边为：y−x>2，矩形2的坐标的对应点落在区域④中得：x>1，y>3，可作判断．
【解答】
解：设点A(x,y)，
A、设反比例函数解析式为：y=kx(k≠0)，
由图形可知：当x=1时，y<3，
∴k=xy<3，
∵y>x，
∴x<3，即点A的横坐标不可能大于3，故选项A不正确；
B、当矩形1为正方形时，边长为x，则y=2x，
则点A是直线y=2x与双曲线的交点，如图2，
∵x=1时，y=2x=2<3，
∴交点A在区域③，故选项B不正确；
C、∵矩形一边为x，则另一边为y−x，
∴S=x(y−x)=xy−x2=k−x2，
∵当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，
∴矩形1的面积会越来越大，故选项C不正确；
D、当点A位于区域①时，
∵点A(x,y)，
∴x<1，y>3，即矩形1另一边为：y−x>2，
矩形2落在区域④中，x>1，y>3，
则矩形1中的x和矩形2中的y−x相等时，矩形1的另一边y−x可以和矩形2的一边x相等，此时两矩形全等，
∴当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等，故选项D正确．
故选：D．
9.【答案】x≥−5
【解析】
【分析】
根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．
主要考查了二次根式的意义和性质．
概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
【解答】
解：根据题意得：x+5≥0，解得x≥−5．
10.【答案】x(y−1)(y+1)
【解析】
【分析】
本题考查了用提取公因式法和平方差公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：xy2−x，
=x(y2−1)，
=x(y−1)(y+1)．
故答案为：x(y−1)(y+1)．
11.【答案】x=6
【解析】
【分析】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】
解：去分母得：3x−6=2x，
解得：x=6，
经检验x=6是分式方程的解．
故答案为：x=6．
12.【答案】60°
【解析】解：连接OA，OB，
∵∠C=60°，
∴∠AOB=2∠C=120°，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠AOB+∠OAP+∠OBP+∠P=360°，
∴∠P=360°−90°−90°−120°=60°，
故答案为：60°．
连接OA，OB，由圆周角和圆心角的关系求得∠AOB=120°，由切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，根据多边形内角和定理即可求出∠P=60°．
本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解决问题的关键．
13.【答案】<
【解析】解：∵k<0，
∴反比例函数y=kx(k<0)的图象在二、四象限，
∵3>1>0，
∴点A(1,y1)，B(3,y2)在第四象限，y随x的增大而增大，
∴y1
先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性解答．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，根据题意判断出函数图象的增减性是解题的关键
14.【答案】2
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE//BC，∠ABC=90°，
∴∠EAF=∠BCF．
∵∠AFE=∠BFC，
∴△AEF～△CBF，
∴AEBC=AFCF，
在Rt△ABC中，BC= AC2−AB2= 102−62=8．
∴AE8=14，
解得AE=2．
故答案为：2．
根据矩形的性质得AE//BC，∠ABC=90°，即可得出∠EAF=∠BCF，并根据勾股定理求出BC，再根据∠AFE=∠BFC，得出△AEF～△CBF，然后根据相似三角形对应边相等得出比例式，代入数值得出答案．
本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法．
15.【答案】3x+2y=474x−y=8
【解析】解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，
根据题意可列方程组为3x+2y=474x−y=8，
故答案为：3x+2y=474x−y=8．
根据“3个篮球的价钱+2个足球的价钱=474元和篮球单价−足球的单价=8元”可列方程组．
本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．
16.【答案】6(答案不唯一)
【解析】解：由图②可知△ABC为等腰直角三角形，
当D运动到C时，DE最长为5 22，此时运动时间为a s，则AC=a，
∴根据勾股定理得a=5，
∴当a
由图②可知△ABC为等腰直角三角形，当D运动到C时，DE最长为5 22，此时运动时间为a s，则AC=a，根据勾股定理得a=5，所以当a
17.【答案】解：原式=4−3 3+1+6× 3
=5+3 3．
【解析】原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项化为最简二次根式，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算，即可得到结果．
此题考查了实数的运算，涉及的知识有：零指数、负指数幂，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：4(x−2)≤x−5①3x+12>x②，
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x>−1，
∴不等式组的解集是−1
本题考查解不等式组，解题的关键是掌握求公共解集的方法．
19.【答案】解：∵a2+a−1=0，
∴a2+a=1，
原式=a2−4+a2+2a
=2a2+2a−4
=2(a2+a)−4，
当a2+a=1时，原式=2−4=−2．
【解析】原式利用平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算−化简求值，以及一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵a=1，b=−m，c=2m−4，
∴△=b2−4ac
=(−m)2−4(2m−4)
=m2−8m+16
=(m−4)2≥0，
∴此方程总有两个实数根．
(2)解：∵△=(m−4)2≥0，
∴x=−b± b2−4ac2a=m±|m−4|2．
∴x1=m−2，x2=2．
∵此方程有一个根小于1．
∴m−2<1．
∴m<3．
【解析】(1)先根据方程有两个相等的实数根列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；
(2)利用求根公式得到x1=m−2，x2=2.根据题意得到m−2<1.即可求得m<3．
本题考查的是根的判别式及一元二次方程解的定义，在解答(2)时得到方程的两个根是解题的关键．
21.【答案】证明：(1)∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵EF垂直平分BD，
∴BE=DE，BF=DF，
∵∠EBD=∠EDB，∠FBD=∠FDB，
∴∠EBD=∠BDF，∠EDB=∠DBF，
∴BE//DF，DE//BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，且BE=DE，
∴四边形BEDF是菱形；
(2)过点D作DH⊥BC于点H，
∵四边形BEDF是菱形，
∴BF=DF=DE=2，
∴∠FBD=∠FDB=∠BDE=15°，
∴∠DFH=30°，且DH⊥BC，
∴DH=12DF=1，FH= 3DH 3，
∵∠C=45°，DH⊥BC，
∴∠C=∠CDH=45°，
∴DH=CH=1，
∴FC=FH+CH= 3+1．
【解析】(1)由线段垂直平分线的性质可得BE=DE，BF=DF，可得∠EBD=∠EDB，∠FBD=∠FDB，由角平分线的性质可得∠EBD=∠BDF=∠EDB=∠DBF，可证BE//DF，DE//BF，可得四边形DEBF是平行四边形，即可得结论；
(2)由菱形的性质和外角性质可得∠DFC=30°，由直角三角形的性质可求CF的长．
本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质等知识，掌握菱形的判定方法是本题的关键．
22.【答案】解：(1)∵一次函数y=kx+b的图象由函数y=−x的图象平移得到，
∴k=−1，
又∵一次函数y=−x+b的图象过点(1,1)，
∴−1+b=1．
∴b=2，
∴这个一次函数的表达式为y=−x+2；
(2)当x=−1时，y=−x+2=3，
把点(−1,3)代入y=mx−1，得m=−4，
∵当x>−1时，对于x的每一个值，函数y=mx−1(m≠0)的值小于一次函数y=−x+2的值，
∴−4≤m≤−1．
【解析】(1)先根据直线平移时k的值不变得出k=−1，再将点(1,1)代入y=−x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；
(2)求得函数y=−x+2在x=−1时的函数值为3，根据点(−1,3)结合图象即可求得．
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
23.【答案】会
【解析】解：(1)如图：
(2)①由图象得，顶点(3,5.6)，设h=a(d−3)2+5.6，
把(0,2)代入可得a=−0.4，∴h=−0.4(d−3)2+5.6；
②当h=0时，−0.4(d−3)2+5.6=0，
解得d=3+ 14或3− 14(舍去)，
答：喷泉的落水点距水枪的水平距离约为3+ 14米；
(3)在h=−0.4(d−3)2+5.6中，
当h=0时，d=3+ 14，
在h=−0.3(d−3.5)2+5.7中，
当h=0时，d=3.5+ 19，
∵3.5+ 19>3+ 14，
∴改变喷泉的推力后抛物线开口变大，
∴此时喷泉会喷到水池外面，
故答案为：会．
(1)根据对应点画图象即可；
(2)①利用待定系数法求出二次函数的关系式；②把h=0代入即可；
(3)根据喷泉推理大小改变前后的函数解析式可以判断推理改变后抛物线开口变大，从而得出结论．
本题考查二次函数的实际应用，根据对应点的坐标得到二次函数关系式是解题关键．
24.【答案】(1)证明：如图，连接OC，
∵FC是⊙O的切线，
∴OC⊥CF，
∴∠OCF=90°，
∴∠OFC+∠COF=90°，
∵OE⊥BC，
∴∠COF=∠A，
∴∠A+∠OFC=90°；
(2)解：∵∠COF=∠A，
∴tanA=tan∠COF=CEOE=32，
∵OE⊥BC，
∴CE=BE=12BC=12×6=3，
∴OE=2，
∴OC= CE2+OE2= 9+4= 13，
∵∠OCF=∠CEF=90°，
∴∠FCE+∠OCE=∠CFE+∠FCE=90°，
∴∠OCE=∠CFE，
∴sin∠OCE=sin∠CFE，
∴OEOC=CECF，
∴2 13=3CF，
∴CF=32 13．
【解析】(1)连接OC，根据切线的性质可得∠OCF=90°，再根据垂径定理可得结论；
(2)根据垂径定理可得CE=BE=12BC=3，结合已知条件可得OE=2，根据勾股定理可得OC= 13，再根据sin∠OCE=sin∠CFE，即可求出线段CF的长．
此题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
25.【答案】75 7 79
【解析】解：(1)由图1得：该生第二次成绩是75分，
故答案为：75；
(2)横纵坐标都大于等于90的点有7个，
故答案为：7；
(3)这30位学生平均成绩的中位数是：79，
故答案为：79；
(4)930×1200=360(人)，
答：估计两次活动平均成绩不低于90分的学生有360人．
(1)根据统计图找坐标；
(2)根据统计图找出横纵坐标都岛屿等于90的点的个数；
(3)根据中位数的定义求解；
(4)利用样本的百分比估计总体的百分比．
本题考查了频数分布直方图，掌握中位数等基本概念是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵y=x2−2mx+m2−1=(x−m)2−1，
∴抛物线顶点坐标为(m,−1)；
(2)∵y=x2−2mx+m2−1=(x−m)2−1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=m，
∵点A(1−2m,y1)，B(m+1,y2)都在该抛物线上，且y1>y2，
∴|1−2m−m|>|m+1−m|，
∴1−3m>1或3m−1>1，
解得m>23或m<0．
【解析】(1)将抛物线解析式化为顶点式求解．
(2)由y=x2−2mx+m2−1=(x−m)2−1得到抛物线开口向上，对称轴为直线x=m，由y1>y2，可得|1−2m−m|>|m+1−m|，解不等式即可求解．
本题考查二次函数的图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
27.【答案】AE=EF ASA
【解析】解：(1)如图1，取AB的中点P，连接EP．
则AP=BP=12AB，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE=12BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°，
∴AP=EC，∠BAE+∠AEB=90°，BP=BE，∠DCG=90°，
∴△BPE是等腰直角三角形，
∴∠BPE=45°，
∴∠APE=180°−∠BPE=180°−45°=135°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠DCF=∠GCF=45°，
∴∠ECF=180°−∠GCF=180°−45°=135°，
∴∠APE=∠ECF，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
在△AEP和△EFC中，
∠PAE=∠CEFAP=EC∠APE=∠ECF，
∴△AEP≌△EFC(ASA)，
∴AE=EF，
故答案为：AE=EF，ASA；
(2)①成立，理由如下：
如图2，在AB上取一点P，使BP=BE，连接PE，
则AP=EC，
由(1)得：∠PAE=∠CEF，
∵BP=BE，∠B=90°，
∴△BPE是等腰直角三角形，
∴∠BPE=45°，
∴∠APE=180°−∠BPE=180°−45°=135°，
∴∠APE=∠ECF，
在△AEP和△EFC中，
∠PAE=∠CEFAP=EC∠APE=∠ECF，
∴△AEP≌△EFC(ASA)，
∴AE=EF；
②如图3，过D作DH⊥CF交DG于点H，连接FH、AH，
∵∠DCF=45°，
∴∠CDH=45°，
∴△DCH是等腰直角三角形，
∴点H与D关于CF对称，
∴DF=HF，
∴AF+DF=AF+FH，
当A、F、H三点共线时，AF+FH即AF+DF最短，
此时AF+DF=AH，BH=BC+CH=4，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：AH= AB2+BH2= 22+42=2 5，
此时c=AD+AF+DF=2+2 5；
当DF=FH与CD相等时，即A、D、F三点共线，
此时AD+AF+DF=2+4+2=10，
则c
(1)取AB的中点P，连接EP.先证AP=EC，再证∠APE=∠ECF，∠BAE=∠CEF，然后由ASA证△AEP≌△EFC，即可得出结论；
(2)①在AB上取一点P，使BP=BE，连接PE，证△AEP≌△EFC(ASA)，即可得出结论；
②过D作DH⊥CF交DG于点H，连接FH、AH，证△DCH是等腰直角三角形，则点H与D关于CF对称，得DF=HF，AF+DF=AF+FH，当A、F、H三点共线时，AF+FH即AF+DF最短，此时AF+DF=AH，BH=BC+CH=2，再由勾股定理得AH=2 5，此时c=AD+AF+DF=1+ 5；当DF=FH与CD相等时，即A、D、F三点共线，此时AD+AF+DF=2+4+2=10，则c
28.【答案】(4,0) (2,2)
【解析】解：(1)设点(1,0)为点A，点(1,0)关于⊙O的“映象点”是点B，则OA=1，
又∵OA⋅OB=4，
∴OB=4，
故点(1,0)关于⊙O的“映象点”是(4,0)；
设点(1,1)为点A，点(1,1)关于⊙O的“映象点”是点B，则OA= 12+12= 2，
又∵OA⋅OB=4，
∴OB=2 2，
由B在射线OA：y=x上，可设点B坐标为(a,a)，(a>0)，
∴ a2+a2=2 2，
解得：a=2(负值以舍去)，
∴点(1,1)关于⊙O的“映象点”是(2,2)，
故答案为：(4,0)；(2,2)，
(2)当P点在(1,0)时，OP=1最小，
又∵OP⋅OQ=4，
∴OQ=4．
此时OQ=4最大，点P关于圆O的“映象点”Q的横坐标xQ=4，
当P点在C或D时，OP=2最大，
又∵OP⋅OQ=4，
∴OQ=2.此时OQ=2，此时点Q与点P重合，点P关于圆O的“映象点”Q的横坐标xQ=1．
综上所述：点Q的横坐标xQ的取值范围：1≤xQ≤4；
(3)如图，以点D(2m,0)为圆心，以2m长为半径，交x轴于E点，交射线OP于Q点，点(1,0)为点A，MN交x轴于K点，
∵OE是直径，
∴∠OQE=90°，
又∵∠POK=∠EOQ，∠PKO=90°，
∴△POK∽△EOQ，
∴OPOE=OKOQ，
∴OP⋅OQ=OK⋅OE=m⋅4m=4，
∴点Q是点P关于圆O的“映象点”，当P点在MN上运动时，点P关于圆O的“映象点“Q在MEN上运动，
∴点P关于圆O的“映象点”的轨迹为G，为以点(2m,0)为圆心，以2m长为半径的优弧MEN．
由图可知：当m变大时，MEN随着变小，半径2m变小，MEN的弧长变小，
∴当m=2时，M、N点重合，
∴∠MDN=0°，
点P关于圆O的“映象点“轨迹为G(MEN)的长度l=0，
∴当m=1时，圆D的半径为2，
∴OD=OM=MD=2，即△MOD为等边三角形，
∴∠MDO=60°，
∴∠MDN=120°，
∴优弧MEN的长为：360−120360×2×2π=83π，
即：点P关于圆O的“映象点”轨迹为G(MEN)的长度l=83π，
此时OQ=2最小，点P关于圆O的“映象点”Q的横坐标xQ=1，
综上所述：当1
(2)根据点p在线段CD上运动时的位置的边界位置，确定点Q的位置边界，进而确定点Q的横坐标xO的取值范围；
(3)根据映象点“定义，以点D(2m,0)为圆心，以2长为半径，交x轴于F点，交射线OP于Q点，利用直径所对圆周角等于90°，构造相似三角形△POK∽△EOQ，可得OP⋅OQ=OK⋅OE=m⋅4m=4，由此得到点P关于圆O的“映象点”的轨迹为G，为以点(2m,0)为圆心，以长为半径的优弧MEN，进而求解．
本题属于圆综合题，考查了相似三角形性质和判定、解直角三角形，等边三角形的判定和性质，O的“映象点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识转化线段数量关系解决问题，属于中考压轴题．
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