2022-2023学年河南省濮阳市开发区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省濮阳市开发区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各式中是二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  在平行四边形中，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列各组数是勾股数的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

6.  顺次连接任意四边形的各边中点，所得图形一定是(    )

A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 平行四边形

7.  如图，在菱形中，，，则菱形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  下面是小华设计的“利用直角三角形作矩形”的尺规作图过程．
已知：在中，．
求作：矩形．

作法：如图，
分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点、；
作直线，直线交于点；
作射线，在上截取，使得；
连接，．
则四边形就是所求作的矩形．
根据小华设计的尺规作图过程，完成下面的证明．
证明： ，，
四边形是平行四边形填推理依据．
又，
四边形是矩形填推理依据．
、、应该填的内容分别是(    )

A. 、对角线互相平分的四边形是平行四边形、有一个角是直角的平行四边形是矩形
B. 、对角线互相平分的四边形是平行四边形、有一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 、对角线互相平分的四边形是平行四边形、有一个角是直角的平行四边形是矩形
D. 、有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线互相平分的四边形是平行四边形

9.  如图，在综合实践课上，小李用四根长度相同的木条制作成一个能够活动的菱形学具他先将该学具活动成如图所示的菱形，并测得，，接着又将该学具活动成如图所示的正方形从图到图，关于点、之间的距离的说法正确的是(    )

A. 增加 B. 增加
C. 减少 D. 保持不变

10.  若的三边长分别为，，，下列条件：；；：：：：；：：：：其中能判断是直角三角形的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  化简二次根式的结果为          ．

12.  已知，则的平方根为______ ．

13.  如图，将两条宽度都为的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为______．

14.  在中，，，，，则代数式的值为        ．

15.  如图，在边长为的正方形中，点为对角线上一动点，于点，于点，则的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：
；
．

17.  本小题分
如图，已知四边形是平行四边形，，是对角线上两点，且求证：≌．

18.  本小题分
已知，，求下列代数式的值．
；
．

19.  本小题分
在中，，、、的边分别为、、．
若：：，，求，的值．
若，，求的值．

20.  本小题分
如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在右墙上，测得梯子顶端距离地面米，即米，梯子底端距右墙底端米，即米，梯子底端位置不动，将梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面米，即米，则小巷的宽度为多少米？

21.  本小题分
如图，在平行四边形中，连接，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，．
求证：四边形是矩形；
若，，求的长．

22.  本小题分
观察下列运算：
由，得；
由，得；
由，得；

观察上面的解答过程，请写出 ______ ；
请你用含为正整数的关系式表示上述各式子的变形规律；
利用中你发现的规律计算：．

23.  本小题分
定义：有一个内角为，且对角线相等的四边形称为准矩形．

如图，准矩形中，，若，，求的长；
如图，正方形中，点，分别是边，上的点，且四边形是准矩形，求证：；
如图，准矩形中，，，，，求这个准矩形的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、的根指数为，不是二次根式；
B、的被开方数，无意义；
C、的根指数为，且被开方数，是二次根式；
D、的被开方数，无意义；
故选：．
根据二次根式的定义逐一判断即可．
本题考查了二次根式的定义：形如叫二次根式．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
 

3.【答案】 

【解析】解：、原式，故此选项不符合题意；
B、原式，故此选项符合题意；
C、原式，故此选项不符合题意；
D、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
故选：．
根据二次根式加减法运算法则判断、和，根据二次根式除法运算法则判断，
本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式加减法和除法运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的对角相等、邻角互补，即可得出的度数．
本题考查平行四边形的性质以及平行线的性质，掌握平行四边形的对角相等，邻角互补的性质是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．
根据勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案．
【解答】
解：、不是，因为；
B、是，因为；
C、不是，因为；
D、不是，因为．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：如图，任意四边形的各边中点分别为、、、，

连接，
则，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
故选：．
连接，利用三角形中位线定理可得，，最后根据平行四边形判定方法可得结论．
本题考查了三角形中位线定理的应用，平行四边形的判定，熟练掌握三角形中位线定理和平行四边形的判定定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
即，
，
．
故选：．
由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，然后求出，则，得，即可得出答案．
此题考查菱形的性质、勾股定理等知识，熟记菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据作图可知：
证明：，，
四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形为平行四边形，
又，
四边形是矩形有一个内角为的平行四边形为矩形，
故选：．
根据对角线互相平分的四边形为平行四边形，有一个内角为的平行四边形为矩形，进而可以解决问题．
本题考查了作图复杂作图，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
 

9.【答案】 

【解析】解：在菱形中，连接，

，．
是等边三角形．
．
当学具由菱形变成正方形后，它们的边长不变．
即正方形的边长．
在正方形中，连接．
．
．
点、之间的距离变化为：增加了，即．
故选：．
在菱形中求出对角线的长，在正方形中求出对角线的长，然后比较一下即可．
本题主要考查了正方形与菱形的性质，熟记正方形，菱形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由，可知：，是直角三角形．
由，可得，是直角三角形．
由：：：：，可知不是直角三角形．
由：：：：，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形．
故选：．
根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可．
此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据二次根式的分母有理化计算即可．
本题考查了二次根式的化简，熟记分母有理化方法是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
把代入已知等式得：，
所以，，
故的平方根是．
故答案为：．
直接利用二次根式有意的条件得出、的值，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意的条件，正确得出的值是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：纸条的对边平行，即，，
四边形是平行四边形，
两张纸条的宽度都是，
，
，
平行四边形是菱形，即四边形是菱形．
如图，过作，垂足为，
，
，
，
在中，，
即，
解得，
．
故答案是：．
先根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，再根据两张纸条的宽度相等，利用面积求出，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形判定平行四边形是菱形；根据宽度是与求出菱形的边长，然后利用平形四边形的面积底高计算即可．
本题考查了菱形的判定与性质，根据宽度相等，利用面积法求出边长相等是证明菱形的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
，
，




．
故答案为：．
根据勾股定理得，即可得，再把化为的形式，把代入进行计算即可．
本题考查了勾股定理，代数式求值，解题的关键是掌握勾股定理并计算正确．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，
，，
，
四边形为矩形，
，
当时，取得最小值，
此时是等腰直角三角形，
，
的最小值为；
故答案为：．
连接，证出四边形为矩形，由矩形的性质得出，当时，取得最小值，此时是等腰直角三角形，得出，即可得出结果．
本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及最小值问题；熟练掌握矩形的对角线相等是解决问题的关键．
 

16.【答案】解：


；



． 

【解析】分别化简各项，去括号，再合并；
先计算乘法和除法，将括号展开，再合并．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则进行计算是关键．
 

17.【答案】证明：四边形为平行四边形，
，；
；
，
．
在和中，
，
≌． 

【解析】利用平行四边形的性质，得到，，进而得到，利用证明三角形全等即可．
本题考查全等三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，以及全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

18.【答案】解：，，
，，
；
． 

【解析】先计算和的值，将原式分解因式，再将的值代入计算即可；
将原式分解因式，再将和的值代入计算即可．
本题考查了二次根式的化简与求值，注意利用因式分解，是使得问题能得以简算的关键．
 

19.【答案】解：中，，、、的对边分别为、、，且：：，
设，则．
，即，
解得负值舍去，
，；
中，，，，的对边分别为，，，
，
，，
，
解得：． 

【解析】设，则，再根据勾股定理求出的值，进而可得出结论．
根据勾股定理可得，，的数量关系，再把已知条件代入即可求出的值．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
 

20.【答案】解：在中，，米，米，
米，
在中，，米，米，
米，
米，
答：小巷的宽度为米． 

【解析】分别在，中求出，，即可．
本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形．
由得：四边形是矩形，，
，
，
则，
四边形是平行四边形，
，
． 

【解析】证明≌，得，则四边形是平行四边形，再由，即可得出结论；
由矩形的性质得，再由勾股定理得，然后由平行四边形的性质得，则，即可解决问题．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：；
故答案为：；
；
原式
．
根据已知的等式所反映的规律和分母有理化求解；
两相邻正整数的算术平方根的和的倒数等于这两个正整数的算术平方根的差；
先分母有理化，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和分母有理化是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：，，，
，
四边形是准矩形，
．
故答案为：；
证明：四边形是准矩形，
，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
解：作，垂足为，

在中，，，
，
，
准矩形中，，，
，
，
，

，
，
． 

【解析】利用勾股定理求出，再根据准矩形的定义求出即可；
根据准矩形的性质得到，再证明≌，利用全等三角形的性质进一步推出，即可证明；
作，根据梯形的面积公式，三角形面积公式即可得出答案．
此题是四边形综合题，主要考查了新定义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，梯形面积公式，三角形面积公式，正确运用准矩形的定义是解本题的关键．