2022-2023学年黑龙江省大庆市肇源县八年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

2022-2023学年黑龙江省大庆市肇源县八年级（下）月考数学试卷（4月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列方程中是关于的一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  方程的解是(    )

A.  B.
C.    D.  

3.  下列判定正确的是(    )

A. 对角线互相垂直的四边形是菱形
B. 两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C. 四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形
D. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形

4.  根据下列表格的对应值，判断方程为常数的一个解的范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    )

A.  B. ，且 C. ，且 D.

7.  方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为(    )

A.  B. 或 C.  D. 不能确定

8.  如图：长方形纸片中，，，按如图的方式折叠，使点与点重合．折痕为，则长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，是菱形的对角线，的交点，，分别是，的中点．下列结论：；四边形是中心对称图形；是轴对称图形；其中错误的结论有多少个(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  顺次连接一个对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的四边形是______形．

12.  在▱中，对角线，相交于点请你添加一个条件，使得四边形成为菱形，这个条件可以是______写出一种情况即可

13.  已知关于的一元二次方程，若方程的两根分别是，，且满足，则 ______ ．

14.  若实数范围内定义一种运算“”，使，则方程的解为______ ．

15.  如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，若，则______度．

16.  某加工厂九月份加工了吨干果，十一月份加工了吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为，根据题意可列方程为______ ．

17.  如图，菱形中，，，，，垂足分别为，，连接，则的面积是______ ．

18.  如图，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使最小，则这个最小值为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
用适当的方法解一元二次方程；
；
；
；
．

20.  本小题分
，求的值．

21.  本小题分
如图，，，是的中点，，那么四边形是菱形吗？为什么？

22.  本小题分
已知：如图，在正方形中，，垂足为，与交于点，与交于点，求证：．

23.  本小题分
已知，是方程的两根，不解方程求下列式子的值：
；
．

24.  本小题分
某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了张相片，全班有多少名学生？

25.  本小题分
如图，矩形中，、相交于，平分交于，若，求的度数．

26.  本小题分
某商场销售一批名牌衬衣，平均每天可售出件，每件衬衣盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衣降价元，商场平均每天可多售出件．若商场平均每天盈利元，每件衬衣降价多少元？

27.  本小题分
在中，，，动点、分别从点、同时开始移动，点的速度为秒，点的速度为秒，点移动到点后停止，点也随之停止运动．
多长时间后，能使的面积为？
多长时间后，点，之间的距离是？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：该方程是分式方程，
故不符合题意；
B.是一元二次方程，
故符合题意；
C.该方程化简后得，是一元一次方程，
故不符合题意；
D.该方程中当时才是一元二次方程，
故不符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义判断即可．
本题主要考查了一元二次方程的定义理解，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是”；“二次项的系数不等于”；“整式方程”．
 

2.【答案】 

【解析】解：移项得，
，
，，
，，
故选：．
移项，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，题目比较好，难度适中．
 

3.【答案】 

【解析】解：、对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形，故A错误；
B、两条对角线相等且平分且互相垂直的四边形是正方形，故B错误；
C、四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形，故C正确；
D、一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形、可能是等腰梯形，故D错误；
故选：．
根据平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，可得答案．
本题考查了多边形，熟记平行四边形的判定与性质、特殊平行四边形的判定与性质是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，，
时，，
即方程为常数的一个解的范围是．
故选：．
利用，，而，，则可判断方程为常数的一个解的范围是．
本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．
根据菱形的四条边都相等求出，菱形的对角线互相平分可得，判断是的中点，然后判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得．
【解答】
解：菱形的周长为，
，
是菱形，
，
是的中点，
为边中点，
是的中位线，
．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，即，
解得：．
故选：．
根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是得出关于的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合一元二次方程的定义以及根的判别式得出不等式组是关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：解方程，得，
当底为，腰为时，由于，不符合三角形三边关系
等腰三角形的腰为，底为
周长为
故选：．
先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．
此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论．
 

8.【答案】 

【解析】解：设，则，，
在中，，即．
解得：．
故选：．
注意发现：在折叠的过程中，，从而设即可表示，在直角三角形中，根据勾股定理列方程即可求解．
此题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是掌握翻折前后对应线段相等，另外要熟练运用勾股定理解直角三角形．
 

9.【答案】 

【解析】解：依题意得：，
即，
化简为：，
即．
故选：．
本题可设长为，宽为，再根据面积公式列出方程，化简即可．
本题考查的是一元二次方程的运用，解此类题目要注意运用面积的公式，列出等式后再进行化简．
 

10.【答案】 

【解析】解：正确，根据等底等高可证明；
正确，根据已知及菱形的性质可证明≌；
正确，可证明得≌；
错误，每一条对角线平分一组对角，可得，，所以；
故选A．
根据已知对各个结论进行分析从而确定最后的答案．
此题主要考查菱形的性质、轴对称、中心对称的定义及性质．
 

11.【答案】矩 

【解析】解：矩形．理由如下：
、、、分别为各边的中点，
，，，，三角形的中位线平行于第三边
四边形是平行四边形，两组对边分别平行的四边形是平行四边形
，，，
，
四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形，
，
四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形．
根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于，则这个四边形为矩形．
本题考查的是矩形的判定方法，常用的方法有三种：
一个角是直角的平行四边形是矩形．
三个角是直角的四边形是矩形．
对角线相等的平行四边形是矩形．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形为平行四边形，
当时，四边形为菱形．
故答案为：答案不唯一．
依据菱形的判定定理进行判断即可．
本题主要考查的是菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程的两根分别是，，
，，
，
，
解得．
故答案为：．
先用表示出与的值，再根据求出的值即可．
本题考查的是根与系数的关系，熟知若，是一元二次方程的两根时，，是解答此题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：把转化为：，
即
，
或，
或，
故答案为：或，
根据新运算，相当于公式中的，相当于公式中的，代入公式，解方程即可．
本题是一道新运算的题目，考查了一元二次方程的解法公式法．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
首先证明是等腰直角三角形，求出，即可．
本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是发现是等腰直角三角形这个突破口，属于中考常考题型．
 

16.【答案】 

【解析】解：设该厂加工干果重量的月平均增长率为，
根据题意，可列方程为：，
故答案为：．
十一月份加工量九月份加工量月平均增长率，把相关数值代入即可．
本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
 

17.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，
，，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
过作，
，
的面积是：．
故答案为：．
首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得判断出是等边三角形，再根据三角函数计算出的值，再过作，再进一步利用三角函数计算出的值，即可算出三角形的面积．
此题考查菱形的性质，等边三角形的判定及三角函数的运用．关键是掌握菱形的性质，证明是等边三角形．
 

18.【答案】 

【解析】解：连结．

为正方形，面积为，
正方形的边长为．
为等边三角形，
．
为正方形，
与关于对称．
．
．
由两点之间线段最短可知：当点、、在一条直线上时，有最小值，最小值．
故答案为：．
先求得正方形的边长，依据等边三角形的定义可知，连结，依据正方形的对称性可知，则由两点之间线段最短可知：当点、、在一条直线上时，有最小值，最小值为的长．
本题主要考查的是轴对称最短路径、正方形的性质，明确当点、、在一条直线上时，有最小值，最小值是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
则，
，
故或，
解得：，；
，
则，
故，
，
则，
故，；
，
，
，
，
解得：，；
，
，
则，
，
故或，
解得：，． 

【解析】直接利用十字相乘法分解因式，进而解方程即可；
利用多项式乘多项式化简，再利用公式法解方程得出答案；
利用十字相乘法解方程得出答案；
利用单项式乘多项式化简，再利用十字相乘法解方程得出答案．
此题主要考查了因式分解法以及公式法解方程，正确运用因式分解法解方程是解题关键．
 

20.【答案】解：，
，
设，
则，
解得：，，
或． 

【解析】设，则原方程可写为，解此方程即可得到结果．
本题主要考查换元法解一元二次方程，利用换元法将方程转换为一元二次方程是解题关键．换元法解一元二次方程：解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
 

21.【答案】解：四边形是菱形，
理由：，是的中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形． 

【解析】根据直角三角形的性质得到，等量代换得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论．
本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形是正方形，，
，，
，
又，，
≌，
． 

【解析】根据正方形的性质得出，所以得到≌，利用全等的性质得到．
主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定．充分利用正方形的特殊性质来找到全等的条件从而判定全等后利用全等三角形的性质解题．
 

23.【答案】解：，是方程的两个实数根，
，，
原式；
原式． 

【解析】利用根与系数的关系求出与的值，各式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系式是解本题的关键．
 

24.【答案】解：设全班有名学生，根据题意得：
，
解得舍去或，
答：全班有名学生． 

【解析】设全班有名学生，根据全班共送了张相片得：，解方程可得答案．
本题一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
 

25.【答案】解：平分交于，
，，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
即，
是等腰三角形，且，
． 

【解析】先根据平分交于可得，再根据三角形的外角性质求出，然后判断出是等边三角形，从而可以得出是等腰三角形，然后根据三角形的内角和是进行求解即可．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定及性质，求出，然后判断出等边三角是解本题的关键．
 

26.【答案】解：设每件衬衫应降价元．
根据题意，得
整理，得
解得，．
“扩大销售量，减少库存”，
应略去，
．
答：每件衬衫应降价元． 

【解析】利用衬衣平均每天售出的件数每件盈利每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数每件盈利每天销售的利润是解题关键．
 

27.【答案】解：当运动时间为秒时，，，
．
依题意得：，
即，
整理得：，
解得：，．
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
答：当的面积为时，点运动的时间是秒．
当运动时间为秒时，点，之间的距离是，
，，
．
，
，
，
，，
答：或秒时间后，点，之间的距离是． 

【解析】当运动时间为秒时，，，根据的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
当运动时间为秒时，点，之间的距离是，解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．