四川省2023届高三诊断性检测文科数学试题

四川省2020级高中毕业班诊断性检测

文科数学

注意事项：

1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3. 考试结束后，仅将答题卡交回.

一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知，则复数（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知集合，，则集合（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 据实验检测可知，海面上的大气压强为760mmHg，海面500m高空处的大气压强为700mmHg，研究表明，大气压强p（单位：mmHg）与高度h（单位：m）之间的关系式为（k为常数）.由此预测海面上1000m高空处的大气压强大约是（保留整数部分）（    ）

A. 645mmHg B. 646mmHg C. 647mmHg D. 648mmHg

4. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体最长的棱长为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 若曲线（e是自然对数的底数）在点处的切线与y轴垂直，则（    ）

A. 1 B.  C.  D. －1

7. 已知两个圆锥的轴截面均为等边三角形，两个圆锥的表面积分别为，，体积分别为，.若，则（    ）

A. 2 B.  C. 3 D. 4

8. 已知函数的导函数为，为奇函数且图象如图所示，则的解析式可以是（    ）

A.   B.

C.   D.

9. 已知函数，则不等式的解集是（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 双曲线C：的离心率为，直线与C的两条渐近线分别交于点A，B，若点满足，则（    ）

A.  B. －1 C. 1 D. 3

11. 如图，在棱长为1的正方体中，点P是线段上的动点，下列说法错误的是（    ）

A. 平面  B.

C. 异面直线AP与所成的角的最小值为 D. 三棱锥的体积为定值

12. 将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图象，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若单位向量，满足，则，夹角的余弦值为______.

14. 已知正数x，y满足，则的最小值是______.

15. 已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过焦点F作斜率为的直线分别交抛物线C和准线l于点P，Q，若点P在第一象限，则______.

16. 在中，，，当取最大值时，的面积为______.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（12分）

已知数列的前n项和为，且满足.

（1）证明：数列是等比数列；

（2）记，数列的前n项和为，求证：.

18.（12分）

某城市在创建“国家文明城市”的评比过程中，有一项重要指标是评估该城市在过去几年的空气质量情况，考评组随机调取了该城市某一年中100天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如下表：

（1）某企业生产的产品会因为空气污染程度带来一定的经济损失，其中经济损失S（单位：元）与空气质量指数（AQI）（记为x）有关系式，在本年度内随机抽取一天，求这一天的经济损失S大于400元且不超过800元的概率.

（2）若本次抽取得样本数据中有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.

附：

19.（12分）

如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，平面平面ABCD，，，，.

（1）证明；；

（2）求三棱锥的体积.

20.（12分）

已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）令（a为常数），若有两个零点，（），求实数a的取值范围.

21.（12分）

已知点在椭圆C：上，点在椭圆C内.设点A，B为C的短轴的上、下端点，直线AM，BM分别与椭圆C相交于点E，F，且EA，EB的斜率之积为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）记，分别为，的面积，若，求m的值.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22. [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若点P的直角坐标为，曲线与曲线交于点M，N，求的值.

23. [选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知a，b，c为正实数，且满足.

（1）求的最小值；

（2）求证：.

参考答案

评分说明：

1. 本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则.

2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

4. 只给整数分，选择题和填空题不给中间分.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.

1. 命题意图：本题主要考查复数的四则运算等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力.

答案 C. 由于.

2. 命题意图：本题主要考查一元二次不等式的解法、集的并集、补集运算，考查推理论证能力、运算求解能力.

答案 B. 因为，，所以.

3. 命题意图：本题主要考查指数对数的运算等的基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力.

答案 A. 由，可以转化为，由已知可得，所以.

4. 命题意图：本题主要考查空间几何体的三视图、直观图、体积等基础知识，考查推理论证、空间想象、运算求解能力.

答案 C. 易知该多面体是如图所示的三棱锥，故最长棱为.

5. 命题意图：本题主要考查同角三角函数的关系、二倍角的正弦公式等基础知识，考查运算求解能力.

答案 B. 由已知，，所以，.

6. 命题意图：本题主要考查导函数的几何意义等基础知识，考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力.

答案 A. 由于，根据题意有，所以.

7. 命题意图：本题主要考查圆锥的轴截面、圆锥的表面积、圆锥的体积、扇形的面积等基础知识，考查推理论证、运算求解、直观想象等能力.

答案 D. 设两圆锥的底面半径分别为，，母线长分别为，，高分别为，，由两个圆锥的轴截面均为等边三角形知，，而，即，所以.

8. 命题意图：本题主要考查函数图象性质、奇偶性等基础知识，考查数形结合、函数与方程的思想方法，考查考生的直观想象和逻辑推理素养.

答案 D. 由为奇函数，可知为偶函数，故可排除B、C，对于A，当时，，排除A.对于D，由，有，从而有，有无数的交点，即说明有无数的极值点，与题意相符.

9. 命题意图：本题主要考查函数单调性的判断，函数不等式的解法等基础知识，考查考生逻辑推理能力、运算求解能力.

答案 B. 由，所以单调递增，而且，由有，所以解得.

10. 命题意图：本题主要考查直线与直线的相交，双曲线的渐近线、离心率等基础知识，考查考生逻辑推理能力、运算求解能力.

答案 C. 由离心率为，有，由解出；由解出.设AB的中点为P，则点P的坐标为，且，于是，解出.

11. 命题意图：本题主要考查直线与平面所成角、正方体截面、空间向量等基础知识，考查推理论证、空间想象、运算求解能力.

答案 C. 对于A，平面平面，可知A是正确的；对于B，平面，又平面，B正确；对于C，过点D作，连AP，知就是异面直线AP与所成的角的最小角，有，可见C错误；对于D，，其中是定值，面平面，知点P到面的距离是一个定值.所以D正确.

12. 命题意图：本题主要考查正弦曲线的图象与性质、三角函数函数图象的平移变换与伸缩变换、函数的零点等基础知识，考查推理论证、运算求解、直观想象等能力.

答案 C. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到，再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图象，即，因为函数在上没有零点，则，即，即，则，由，得，得，若函数在上有零点，则，，即，又，则.当时，解得.当时，解得.当时，解得，与矛盾.综上，若函数在上有零点，则或，则若没有零点，则或.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 命题意图：本题主要考查平面向量的数量积，考查推理论证、运算求解能力.

答案 . ，得.

14. 命题意图：本题主要考查基本不等式，考查推理论证、运算求解能力.

答案 . ，其中等号当且仅当成立.

15. 命题意图：本题主要考查抛物线的概念、几何性质以及直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力和应用数形结合的思想方法解决几何问题的能力.

答案 4. 设，则由直线PQ斜率为，有，所以，所以，，即.

16. 命题意图：本题主要考查正弦定理、三角函数的恒等变形等基础知识，考查考生在解三角形中化归与转化的思想，对边对角的运算求解能力和逻辑推理能力.

答案 . 在中，利用正弦定理，所以，，，有，即，其中，，取最大值，即时，有，，所以，，，所以.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 命题意图：本题主要考查数列前n项和与通项关系、等差数列的定义、等比数列的定义、裂项相消求和等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力.

解析：

（1）依题意，

当时，.……1分

两式相减，得，即，……3分

当时，有，解得.……4分

所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.……5分

（2）由（1）可知，……6分

所以.……7分

则，……8分

所以，……10分

由，则，所以，

故.……12分

18. 命题意图：本題主要考查概率计算，独立性检验等基础知识，考查考生运用统计与概率的思维分析问题、解决问题的能力.

解析：

（1）要使，可知空气质量指数（API）.

根据题意，空气质量指数（API）的天数为20天，所调取的数据为100天，

所以概率为.……5分

（2）补充的列联表为

……8分

.……11分

可见，有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.……12分

19. 命题意图：本题主要考查直线与平面垂直的判定、平面与平面垂直的性质、余弦定理、直线与平面所成角、空间向量等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.

解析：

（1）取AD中点O，连结PO，CO.

因为是等边三角形，

所以.……2分

因为，，

所以.

而，

所以是等边三角形，

则，……4分

所以平面POC，

故.……6分

（2）由平面平面ABCD，可知平面ABCD.……7分

在中，由余弦定理，有.

解之可得.……8分

所以，……10分

所以.……12分

20. 命题意图：本题主要考查导函数解决函数单调区间、函数零点、极值的概念，导数的公式、运算法则，综合考察考生的逻辑推理能力和运算求解能力.

解析：

（1），有.……1分

令，解得；令，解得.

所以是的单调递减区间，是的单调递增区间.……4分

（2）由已知，，其定义域为.

则有两个零点，，即有两解，即有两解.……6分

令，则.

令，解得；令，解得.……9分

又，当时，，且，

要使得有两解，只需，所以，

故实数a的取值范围为.……12分

21. 命题意图：本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质以及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力和应用数形结合的思想方法解决几何问题的能力.

解析：

（1）设，依题意有，，可得：

.……2分

整理可得.

又椭圆C过点，所以.……4分

故椭圆C的方程为.……5分

（2）依题意，可知AM：，代入椭圆方程，

整理有，从而得到.……6分

又BM：，代入椭圆方程，整理有，

从而得到.……7分

所以，，

，……9分

则

.……10分

由于，所以，

解得，.……12分

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22. 命题意图：本题考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化、直线参数方程中参数的几何意义等基础知识，考查推理论证、运算求解等能力.

解析：

（1）因为曲线的参数方程为（为参数），而，

所以.即曲线的普通方程为.……2分

由，得，

即曲线的直角坐标方程为.……4分

（2）由（1）可知点在直线曲线上，直线的倾斜角为，

设曲线的参数方程为（t为参数），……6分

将曲线的参数方程代入的普通方程为，

整理得.……8分

设直线上的点M，N所对应的参数分别为，，由t的几何意义知，，

而点P在椭圆内，则，.……9分

所以.……10分

23. 命题意图：本题考查基本不等式、柯西不等式等基础知识，考查推理论证、运算求解等能力.

解析：

（1）因为，

所以

.……3分

当且仅当，即，时等号成立.……4分

所以的最小值为.……5分

（2）根据柯西不等式有，

所以.……8分

当且仅当，即，，时等号成立.……10分