2023年江苏省南京师大附中新城分校中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年江苏省南京师大附中新城分校中考数学二模试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省南京师大附中新城分校中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  的倒数为．(    )A.  B.  C.  D. 2.  如图，下列各数中，数轴上点表示的可能是(    )A. 的算术平方根 B. 的立方根 C. 的算术平方根 D. 的立方根3.  如图，在中，点、分别在边、上，若，，，则的长为(    )A.
B.
C.
D. 4.  如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色．下列图形中，是该几何体的表面展开图的是(    )A.  B.
C.  D. 5.  如图，已知的半径为，锐角内接于，，则的值等于(    )A.
B.
C.
D. 6.  在平面直角坐标系中，点在直线上上，以为圆心，为半径的圆与轴的另一个交点为，给出如下定义：若线段，和直线上分别存在点，点和点，使得四边形是矩形点，，顺时针排列，则称矩形为直线的“理想矩形”例如，图中的矩形为直线的“理想矩形”，若点，则直线的“理想矩形”的面积为(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）7.  人体最小的细胞是血小板，个血小板紧密排成一直线长约，则个血小板的直径用科学记数法表示为______ 8.  使有意义的的取值范围是______．9.  分解因式的结果是______．10.  若一组数据，，，，的方差是，则另一组数，，，，的方差是______ ．11.  当，，时，若代数式的值为，则代数式的值为______．12.  已知二次函数的图象的顶点坐标为若坐标分别为、的两个不重合的点均在该二次函数的图象上，则 ______ ．13.  如图所示的网格是正方形网格，则______点，，是网格线交点．

 14.  在锐角中已知，，则锐角面积的取值范围为______ ．15.  如图，是半圆的直径，点在半圆上，把半圆沿弦折叠，恰好经过点，若，则的长是______ ．
 16.  如图，在直角坐标系中，已知点，点为轴正半轴上一动点，连接，以为一边向下作等边，连接，则的最小值为______ ．
 三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
计算：；
解不等式组：．18.  本小题分
先化简，再求值，其中．19.  本小题分
某合作社为帮助农民增收致富，利用网络平台销售当地的一种农副产品为了解该农副产品在一个季度内每天的销售额，从中随机抽取了天的销售额单位：万元作为样本，数据如下：


根据上述样本数据，补全条形统计图；
上述样本数据的众数是______ ，中位数是______ ；
根据样本数据，估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额．

 20.  本小题分
规定：，，据此
判断下列等式成立的是______ 填序号．
；；．
利用上面的规定求．21.  本小题分
一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球除颜色外其余都相同，其中有红球个，蓝球个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为．
求口袋中黄球的个数；
甲同学先随机摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；22.  本小题分
为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动如图，在一个坡度：的山坡上发现有一棵古树测得古树底端到山脚点的距离，在距山脚点水平距离的处，测得古树顶端的仰角，古树与山坡的剖面、点在同一平面上，古树与直线垂直，求古树的高度参考数据：，，
23.  本小题分
如图，在四边形中，．
请用无刻度的直尺和圆规按要求作图不写作法，保留作图痕迹：
过点作的平行线交于点；
为边上的点，且∽，请找出所有满足条件的点；
在的条件下，若，，，则 ______ ．

 24.  本小题分
甲、乙两车从地将一批物品匀速运往地，已知甲出发后乙开始出发，如图，线段、分别表示甲、乙两车离地的距离与时间的关系，请结合图中的信息解决如下问题：
计算甲、乙两车的速度及的值；
乙车到达地后以原速立即返回．
在图中画出乙车在返回过程中离地的距离与时间的函数图象；
请问甲车在离地多远处与返程中的乙车相遇？
25.  本小题分
如图，在中，，点、分别在、上，且，以为圆心，长为半径作圆，经过点，与、分别交于点、．
求证：是的切线．
若，，
求的半径；
若的内切圆圆心为，则______．
26.  本小题分
定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”例如，点是函数的图象的“等值点”．
分别判断函数，的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
设函数，的图象的“等值点”分别为点，，过点作轴，垂足为当的面积为时，求的值；
若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有个“等值点”时，请直接写出的取值范围．27.  本小题分
【概念认识】已知圆的两条互相垂直的对称轴、，我们把三个顶点分别在圆、、上的等腰直角三角形叫作这个圆的”友好三角形”如图、图，都是的“友好三角形”．

【数学理解】若都是的“友好三角形”，且直角顶点在上，的半径为．
上满足条件的直角顶点的个数是______ 个；
的面积的最小值为______ ；
若与的一边相切，请直接写出相切的不同情况及对应的的面积；
【深入研究】若都是的“友好三角形”，且直角顶点在或上的半径为．
的面积的最小值为______ ，最大值为______ ．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
本题考查的是倒数的定义，即如果两个数的乘积等于，那么这两个数互为倒数根据倒数的定义进行解答即可．
【解答】
解：，
的倒数是．
故选：．  2.【答案】 【解析】解：根据数轴可知点的位置在和之间，且靠近，
而，，，，
只有的算术平方根符合题意．
故选C．
先根据数轴判断的范围，再根据下列选项分别求得其具体值，选取最符合题意的值即可．
此题主要考查了利用数轴确定无理数的大小，解题需掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
 3.【答案】 【解析】解：，
，
，
，，
∽，
，
，
，
故选：．
根据，得到，根据，得到，，得到∽，根据相似三角形对应边成比例即可得出答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质，得到相似三角形的对应边的比是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：选项A和带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式；
选项B能折叠成原几何体的形式；
选项D折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同．
故选：．
由平面图形的折叠及几何体的展开图解题，注意带图案的一个面不是底面．
本题主要考查了几何体的展开图．解题时勿忘记正四棱锥的特征．注意做题时可亲自动手操作一下，增强空间想象能力．
 5.【答案】 【解析】解：作直径，连接，则，
则，，
在中由勾股定理得：，
的半径为，，
，
故选：．
作直径，连接，根据勾股定理求出，根据圆周角定理求出，，解直角三角形求出即可．
本题考查了圆周角定理，勾股定理的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：过点作轴于点，连接、，如图．

点的坐标为，
，，．
点在直线上，
，
解得．
设直线与轴相交于点，
当时，，点，，
，
，．
在中，．
在中，．
所求“理想矩形”面积为；
故选：．
过点作轴于点，连接、，如图，根据点在直线上可求出，设直线与轴相交于点，易求出，，根据勾股定理可求出、、的值，从而可求出“理想矩形”面积．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，解直角三角形求得矩形的边的关键．
 7.【答案】 【解析】解：．
故答案为：．
绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】【分析】
此题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握二次根式的被开方数为非负数．
根据二次根式的被开方数为非负数，即可得出的范围．
【解答】
解：有意义，
，
解得：．
故答案为：．  9.【答案】 【解析】【分析】
此题主要考查了多项式乘法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．
首先去括号，进而合并同类项，再利用完全平方公式分解因式得出即可．
【解答】
解：


．
故答案为．  10.【答案】 【解析】解：一组数据，，，，的方差是，
另一组数据，，，，的方差是．
故答案为：．
根据每个数据都放大或缩小相同的倍数，其平均数也有相对应的变化，方差则变为这个倍数的平方倍，从而得出答案．
本题考查方差的计算公式的运用：一般地设有个数据，，，，若每个数据都放大或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化，方差则变为这个倍数的平方倍．
 11.【答案】 【解析】解：一元二次方程为的两个根为，，
，
代数式的值为，
代数式的值为，
故答案为：．
根据一元二次方程根与系数的关系即可求得．
本题考查了解一元二次方程公式法，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：二次函数图象的顶点坐标为，
该二次函数的顶点式为，即，
坐标分别为、的两个不重合的点均在二次函数的图象上，
，，
，得，
整理，得，
，
，，
；
故答案为：．
由的二次项系数为，顶点坐标为，得出该二次函数的顶点式为，展开得到二次函数的关系式为，将、两点的坐标分别代入，得到，，再用，整理得出，即，由，求出．
本题考查了二次函数解析式的确定，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：延长交格点于，连接，

则，，
，
，
，
，
故答案为：．
延长交格点于，连接，根据勾股定理和勾股定理逆定理得到，根据三角形外角的性质即可得到结论．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：由正弦定理可得，，，．
为锐角三角形，
，且，

，
，
，
，
，
即，
，
，
面积，
，
故答案为：．
由正弦定理可得，，结合已知可先表示，，然后由为锐角三角形及可求的范围，再把所求的用，表示，利用三角公式进行化简后，结合正弦函数的性质可求的范围，即可得到面积的范围．
本题综合考查了正弦定理和面积公式及两角和与差的正弦、余弦公式及辅助角公式的综合应用，解题的关键是熟练掌基本公式并能灵活应用
 15.【答案】 【解析】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，

由轴对称性质可得，，，点在未折叠时以为直径的半圆上，
则，，，
，
，
那么的长为：，
故答案为：
作点关于的对称点，连接交于点，连接，利用轴对称性质及直角三角形性质易得，再由圆周角定理可求得的度数，然后利用扇形弧长公式计算即可．
本题主要考查扇形的弧长，圆周角定理及轴对称性质，结合已知条件求得是解题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：如图，以为对称轴作等边，延长交轴于，

是等边三角形，是等边三角形，
，，，，
，
≌，
，
，
，，，
，
，，
，，
点在上移动，
当时，有最小值，
此时，．
故答案为：．
以为对称轴作等边，由“”可证≌，可得，由直角三角形的性质可求，，则点在上移动，当时，有最小值，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，垂线段最短，确定点的运动轨迹是解题的关键．
 17.【答案】解：


；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：． 【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，实数的运算，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 18.【答案】解：


，
当时，原式． 【解析】根据分式的加减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 19.【答案】补全条形统计图如下：

万元；  万元
万元，
答：估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额是万元． 【解析】解：由题目中的数据可得，
销售额为万元的有天，销售额为万元的有天，

由条形统计图可得，
样本数据的众数是万元，中位数是万元，
故答案为：万元，万元；
见答案

根据题目中的数据，可以得到销售额万元和万元的天数，然后即可将条形统计图补充完整；
根据条形统计图中的数据，可以直接写出样本数据的众数，计算出样本数据的中位数；
根据条形统计图中的数据，可以计算出这种农副产品在该季度内平均每天的销售额．
本题考查条形统计图、中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确条形统计图的特点，会计算一组数据的中位数和众数．
 20.【答案】 【解析】解：，命题错误；
，命题正确；
，命题正确．
故答案为：；

；


．
根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断；
利用已知进而将原式变形求出答案．
本题考查锐角三角函数以及特殊角的三角函数值，正确理解三角函数的定义是关键．
 21.【答案】解：设口袋中黄球的个数为个，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
口袋中黄球的个数为个；

画树状图得：

共有种等可能的结果，两次摸出都是红球的有种情况，
两次摸出都是红球的概率为：． 【解析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
设口袋中黄球的个数为个，根据概率公式得到，然后求出即可；
画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出两次摸出都是红球的结果数，然后根据概率公式求解．
 22.【答案】解：延长交的延长线于点，则，
山坡上坡度：，
令，则，
在中，由勾股定理得，
，
，
解得，
，，
，
，
在中，，
，
，
因此，古树的高度约为． 【解析】如图，根据已知条件得到：，设，，根据勾股定理得到，求得，，得到，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
 23.【答案】或 【解析】解：如图所示：

即为所求作的平行线；
如图所示：

符合条件的点共有两个；
∽，，
设，
则，，
即，
，
解得：，，
即或．
故答案为：或．
延长，作，则此时；先作的垂直平分线，过点作的垂线交于点，以为顶点，为角的一条边，作，交的垂直平分线于一点，以为圆心，以为半径作圆，与的交点即为所求作的点；
根据相似三角形对应边相等，列出关于的关系式，求解即可．
本题主要考查了尺规作图，三角形相似的性质，熟练掌握尺规作一个角等于已知角，线段的垂直平分线，是解决本题的关键．
 24.【答案】解：由题意可知，线段、都经过，
甲车的速度小时，
乙车的速度小时，
；
小时，
乙车到达地，所用时间为，所以点的横坐标为，
小时返回地，
乙车在返回过程中离地的距离与时间的函数图象为线段；
甲车离地的距离是：；
设乙车返回与甲车相遇所用时间为，
则，
解得，
，
答：甲车在离地处与返程中的乙车相遇． 【解析】表示出点的坐标，再根据速度路程时间，分别列式进行计算即可求出两车的速度，再根据甲到达的时间为小时，然后利用路程速度时间列式计算即可求出的值；
求出甲走完全程的时间，从而得到返回地的时间，然后作出图形即可；
先根据相遇问题求出甲车返回途中与乙车相遇的时间，再根据路程速度时间求解即可．
本题考查的是用一次函数解决实际问题，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，准确识图，求出甲、乙两车的速度是解题的关键．
 25.【答案】，
，
，
∽，
，
，
点在上，
是的切线；
如图，过作于，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
设的半径为，则，
，
，
在和中，
，，
∽，
，即，
，
的半径为；
． 【解析】证明：见答案；
见答案；
如图，过作于，过作于，
由得：，，
，
，
是的内心，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
【分析】
证明∽，得，所以是的切线；
如图，作辅助线，构建矩形，设的半径为，表示和的长，证明∽，
列比例式代入可得结论；
如图，作辅助线，构建直角，分别求和的值，利用勾股定理可求的长．
本题考查了相似三角形的性质和判定、圆的切线的性质和判定、直角三角形内切圆的半径、切线长定理等知识，最后一问有难度，作辅助线，构建直角是关键，掌握直角三角形内切圆半径、是直角三角形的两直角边，为斜边．  26.【答案】解：在中，令，得不成立，
函数的图象上不存在“等值点”；
在中，令，
解得：，，
函数的图象上有两个“等值点”或；
在函数中，令，
解得：，
，
在函数中，令，
解得：，
，
轴，
，
，
的面积为，
，
当时，，
解得，
当时，，
，
方程没有实数根，
当时，，
解得：，
综上所述，的值为或；
令，
解得：，，
函数的图象上有两个“等值点”或，
当时，，两部分组成的图象上必有个“等值点”或，
：，
：，
令，
整理得：，
的图象上不存在“等值点”，
，
，
，
当时，有个“等值点”、、，
当时，，两部分组成的图象上恰有个“等值点”，
当时，，两部分组成的图象上恰有个“等值点”，
当时，，两部分组成的图象上没有“等值点”，
综上所述，当，两部分组成的图象上恰有个“等值点”时，或． 【解析】根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；
先根据“等值点”的定义求出函数的图象上有两个“等值点”，同理求出，根据的面积为可得，求解即可；
先求出函数的图象上有两个“等值点”或，再利用翻折的性质分类讨论即可．
本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数与新定义“等值点”综合运用，一元二次方程根的判别式，翻折的性质等，综合性较强，解题关键是理解并运用新定义，运用分类讨论思想解决问题．
 27.【答案】       【解析】解：如图，

作于，作于，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
点是第一象限角平分线与圆的交点，
同理：二、三、四象限各有一个，
故答案为：；
，
当最小时，最小，
当时，，
，
故答案为：；
如图，

当直角边与相切时，此时在处，
，
如图，

当斜边与相切于时，
，
，
，
，
，
∽，
，
由上知：，，
设，则，，
，
，舍去，
，
解：如图，

作于，连接，
设，，
，
，
设，，
，

，
其中，
，最小，
，，
故答案为：，．
作于，作于，可证明≌，从而，从而得出点是第一象限角平分线与圆的交点，进而得出结果；
，故当时，最小，的面积最小；
当直角边与相切时，此时在处，进而求得结果；当斜边与相切于时，可证明∽，从而，设，则，，从而，进一步得出结果；
作于，连接，设，，从而得出，设，，从而得出其中，进一步得出结果．
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．