沪教版 (五四制)八年级上册19．5 角的平分线优秀精练

19.5角的平分线

一、单选题

1．如图，，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

2．点在的角平分线上，点到边的距离等于，点是边上的任意一点，则下列选项正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E， =15，DE=3，AB=6，则AC长是(     )

A．4 B．5 C．6 D．7

4．如图所示，和一条定长线段，在内找一点P，使点P到OA、OB的距离都等于a，作法如下：（1）作OB的垂线NH，使，点H为垂足；（2）过点N作；（3）作的平分线OP，与NM交于点P；（4）点P即为所求．其中（3）的依据是（    ）

A．平行线之间的距离处处相等

B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上

C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等

D．到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上

5．如图所示，OP平分，，点C是射线OB上一动点，若，则PC的最小值是(    )

A．1 B．2 C．3 D．4

6．已知△ABC内一点M,如果点M到两边AB、BC的距离相等,那么点M(   )

A．在AC边的高上 B．在AC边的中线上

C．在∠ABC的平分线上 D．在AC边的垂直平分线上

7．如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=40゜，则∠BOC=（  ）

A．130° B．140° C．110° D．120°

8．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是60、70、80，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于

A．1：1：1 B．1：2：3 C．3：7：4 D．6：7：8

9．如图，在中，，是的平分线，，，垂足分别是、．给出下列四个结论：

①上任意一点到点、的距离相等；

②上任意一点到、的距离相等；

③，；

④．

其中正确的结论有（    ）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．已知点C在线段BE上，分别以BC、CE为边作等边三角形ABC和等边三角形DCE，连接AE与CD相交于点N，连接BD与AC相交于点M，连接OC、MN，则以下结论①AE=BD；②△ACN≌△BCM；③∠BOE=120°；④△MNC是等边三角形；⑤OC平分∠BOE；正确的个数是（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

二、填空题

11．角的平分线的性质_________________．

12．如图，平分，在上，于，于．若，则____．

13．如图，已知在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于___________．

14．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC与∠ACD互补，CD=8，则BC的长为_____________．

15．如图，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分线BP、CP相交于点P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周长为14cm，S△BPC＝7.5，则△ABC的面积为______cm2．

三、解答题

16．已知：如图，，垂足分别为D，E，与相交于点O，平分．求证：．

17．如图，已知，是的平分线，且交的延长线于点E．

求证：．

18．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD，

（1）求证：△BCE≌△DCF；

（2）若AB＝21，AD＝9，BC＝CD＝10，求BE的长．

19．如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B，C重合），连结AD

（1）如图1,当点D是BC边上的中点时，则S△ABD:S△ACD=_________（直接写出答案）

（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB=m，AC=n，S△ABD:S△ACD=_________ (用含m,n的代数式表示)．

（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD=DE,连结BE，如果AC=2,AB=4,S△BDE =6,求△ABC的面积．

参考答案

1．C

【分析】

根据题意先证明平分，然后根据四边形内角和求得度数，则结果可求．

【解析】

∵，

∴平分，

∵，

∴，

∴，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查角平分线的判定，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．

2．B

【分析】

根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为5，再根据垂线段最短解答．

【解析】

∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，

∴点P到OB的距离为5，

∵点Q是OB边上的任意一点，

∴PQ≥5．

故选：B．

【点睛】

本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．

3．A

【分析】

根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AC边上的高，再利用S△ABD+S△ACD=S△ABC，即可得解．

【解析】

解：作DF⊥AC于F，如图：

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=3，
∵S△ABD+S△ACD=S△ABC，

∴，
∴AC=4．
故选：A．

【点睛】

本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

4．B

【分析】

题目要求满足两个条件，其一是到OA，OB的距离相等，作角平分线，根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上，可得出答案．

【解析】

解：根据角平分线的性质，（3）的依据是到角的两边距离相等的点在角的平分线上．

故选：B．

【点睛】

本题考查的知识点是角平分线的性质，熟记性质内容是解此题的关键．

5．B

【分析】

根据垂线段最短的性质可得PC⊥OB时，PC最短，根据角平分线的性质可得PC=PD，即可得答案．

【解析】

∵点C是射线OB上一动点，点P在∠AOB的角平分线上，

∴PC⊥OB时，PC最短，

∵PD⊥OA，PC⊥OB，OP平分∠AOB，PD=2，

∴PC=PD=2，

故选：B．

【点睛】

本题考查角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等的性质是解题关键．

6．C

【分析】

根据角平分线的性质推出M在∠ABC的角平分线上，即可得到答案．

【解析】

∵由角平分线上点到角两边距离相等的性质，

∴点M应在∠ABC的平分线上．

故选C．

【点睛】

本题主要考查对角平分线的性质的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的性质进行推理是解此题的关键．

7．C

【分析】

由已知，O到三角形三边距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．

【解析】

由已知，O到三角形三边距离相等，所以O是内心，

即三条角平分线交点，AO，BO，CO都是角平分线，

所以有∠CBO=∠ABO=∠ABC，∠BCO=∠ACO=∠ACB，

∠ABC+∠ACB=180゜-40゜=140゜

∠OBC+∠OCB=70゜

∠BOC=180゜-70゜=110°

故选C．

【点睛】

此题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．

8．D

【分析】

过O点分别作BC、AB、AC的垂线OF、OE、OD，利用角平分线性质可以得到OF=OE=OD，即这三个三角形的高都相等，所以面积比等于它们的底边比，从而得出答案．

【解析】

如图，过O点分别作BC、AB、AC的垂线OF、OE、OD

∵OC是∠BCA的角平分线

∴OF=OD

同理OD=OE

∴OE=OF=OD

∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=::=AB:BC:CA=6:7:8

所以答案为D选项．

【点睛】

本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握相关概念是解题关键．

9．D

【分析】

根据等腰三角形三线合一的特点即可判断出①②③的结论是正确的．根据△BDE和△DCF均是直角三角形，而根据等腰三角形的性质可得出∠B=∠C，可判断出∠BDE和∠CDF的大小关系，由此可判断④．

【解析】

解：∵AD平分∠BAC，AB=AC，

∴AD⊥BC，BD=CD，（等腰三角形三线合一），
∴AD上任意一点到C、B的距离相等；（垂直平分线上的任意一点到线段两端的距离相等）
因此①③正确．
∴上任意一点到、的距离相等（角平分线上的任意一点到角两边的距离相等）
因此②正确．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C；
∵∠BED=∠DFC=90°，
∴∠BDE=∠CDF；
因此④正确．
故选D．

【点睛】

本题考查学生对等腰三角形的性质、直角三角形的性质及角平分线的性质、线段垂直平分线的性质等知识点的综合运用能力，熟记各性质并准确识图是解题的关键．

10．D

【分析】

已知△ABC和△CDE都是等边三角形，根据等边三角形的性质可得CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，即可求得∠ACD＝60°，所以∠ACE＝∠BCD＝120°，再利用SAS即可判定△ACE≌△BCD，由全等三角形的性质可得AE＝BD，所以①正确；由△ACE≌△BCD，根据全等三角形的性质可得∠CAE＝∠CBD，再利用ASA证明△ACN≌△BCM，由全等三角形的性质可得CN＝CM，又因∠MCN＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形为等边三角形即可判定△CMN为等边三角形，所以②④正确；由三角形外角的性质可得∠CAE＋∠AEC＝∠ACB=60°，因为∠CAE＝∠CBD，即可得∠CBD＋∠AEC＝60°，从而求得∠BOE＝120°，所以③正确；由△ACE≌△BCD，可得△ACE的面积与△BCD的面积相等，BD=AE，根据三角形的面积公式可得△ACE边AE上的高与△BCD边BD上的高相等，即可得点C到OB、OE的距离相等， 根据角平分线的判定定理可得点C在∠BOE的平分线上，即OC平分∠BOE，所以⑤正确.

【解析】

∵△ABC和△CDE都是等边三角形，

∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，

∴∠ACD＝60°，

∴∠ACE＝∠BCD＝120°，

在△ACE和△BCD中，

，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE＝BD；故①正确；

∵△ACE≌△BCD，

∴∠CAE＝∠CBD，

在△ACN和△BCM中，

，

∴△ACN≌△BCM（ASA），

∴CN＝CM，

而∠MCN＝60°，

∴△CMN为等边三角形；故②④正确；

∵∠CAE＋∠AEC＝∠ACB=60°，

而∠CAE＝∠CBD，

∴∠CBD＋∠AEC＝60°，

∴∠BOE＝120°；故③正确；

∵△ACE≌△BCD，

∴△ACE的面积与△BCD的面积相等，

∵BD=AE,

∴△ACE边AE上的高与△BCD边BD上的高相等，

即点C到OB、OE的距离相等，

∴点C在∠BOE的平分线上，

即OC平分∠BOE，故⑤正确.

综上，正确的结论为①②③④⑤，共5个.

故选D.

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定及角平分线的判定定理的运用，会综合运用相关的判定与定理是解决问题的关键．

11．角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

【分析】

根据角平分线的性质定理直接得到答案.

【解析】

解：角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

故答案为：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

【点睛】

本题考查的是角平分线的性质定理，熟知角平分线的性质定理是解题的关键.

12．3

【分析】

直接根据角平分线的性质进行解答即可．

【解析】

解：∵OC平分∠AOB，点P在OC上，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=3cm，

∴PE=PD=3．

故答案为：3．

【点睛】

本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．

13．5

【分析】

过作于点，由角平分线的性质可求得，则可求得的面积．

【解析】

解：过作于点，

是边上的高，平分，

，

，

故答案为：5．

【点睛】

本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．

14．16

【分析】

延长AB交CD的延长线于点E，由题意易得CD=DE，进而可证CE=CB，然后进行求解即可．

【解析】

解：延长AB交CD的延长线于点E，如图所示：

∵AD平分∠BAC，CD⊥AD，

∴∠EAD=∠CAD，∠ADE=∠ADC=90°，

∵AD=AD，

∴△ADE≌△ADC，

∴∠E=∠ACD，ED=DC，

又∵∠ABC+∠ACD=180°，∠ABC+∠EBC=180°，

∴∠E=∠ACD=∠EBC，

∴BC=EC=2DC，

∵DC=8，

∴BC=EC=16；

故答案为16．

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．

15．6

【分析】

过点P作PH⊥AM，PQ⊥AN,连接AP，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PH=PE=PQ，再根据三角形的面积求出BC，然后求出AC+AB，再根据S△ABC= S△ACP+ S△ABP-S△BPC即可得解.

【解析】

解：如图，过点P作PH⊥AM，PQ⊥AN，连接AP

∵BP和CP为∠MBC和∠NCB角平分线

∴PH=PE，PE=PQ

∴PH=PE=PQ=3

∵S△BPC=×BC×PE=7.5

∴BC=5

∵S△ABC= S△ACP+ S△ABP-S△BPC

=×AC×PQ+×AB×PH-7.5

=×3（AC+AB）-7.5

∵AC+AB+BC=14，BC=5

∴AC+AB=9

∴S△ABC=×3×9-7.5=6 cm2

【点睛】

本题考查了角平分线上点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键，难点在于S△ABC的面积的表示．

16．证明见解析

【分析】

根据角平分线性质定理可得，再证明，即可得到答案．

【解析】

证明：∵平分，

∴ ，

在和中，

∴

∴

【点睛】

本题考查角平分线性质定理，三角形的性质和判定，灵活应用知识点结合图形思考分析是解题重点．

17．见解析

【分析】

延长与的延长线相交于点F，可以证明，再证明，得到，即可得出结论．

【解析】

证明：如图，延长与的延长线相交于点F，

∵，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∵是的平分线，

∴．

在和中，，

∴，

∴，

∴，

∴．

【点睛】

本题主要考查了角平分线性质，全等三角形判定和性质，能够想到延长CE、BA相交于点F，构造全等三角形是解决本题的关键．

18．（1）见解析；（2）6

【分析】

（1）根据角平分线的性质可得：CE＝CF，然后用HL即可证出Rt△BCE≌Rt△DCF；

（2）根据全等三角形的性质可得：BE＝DF，然后利用HL证出Rt△CEA≌Rt△CFA，从而得出：AE＝AF，从而求出BE的长．

【解析】

（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，

∴CE＝CF，

在Rt△BCE和Rt△DCF中，

，

∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）；

（2）解：∵Rt△BCE≌Rt△DCF，

∴BE＝DF，

在Rt△CEA和Rt△CFA中，

，

∴Rt△CEA≌Rt△CFA（HL），

∴AE＝AF，

∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AD+DF+BE＝AD+2BE，

∴BE＝（AB﹣AD）＝×（21﹣9）＝6．

【点睛】

此题考查的是角平分线的性质和全等三角形的判定及性质，掌握用HL判定两个三角形全等是解决此题的关键.

19．（1）1：1；（2）m∶n；（3）9

【分析】

（1）过A作AE⊥BC于E，根据三角形面积公式求出即可；
（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DE=DF，根据三角形面积公式求出即可；
（3）根据已知和（1）（2）的结论求出△ABD和△ACD的面积，即可求出答案．

【解析】

解：（1）过A作AE⊥BC于E，
∵点D是BC边上的中点，
∴BD=DC，
∴SABD：S△ACD=（×BD×AE）：（×CD×AE）=1：1，
故答案为：1：1；

（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DE=DF，
∵AB=m，AC=n，
∴SABD：S△ACD=（×AB×DE）：（×AC×DF）=m：n；

（3）∵AD=DE，
∴由（1）知：S△ABD：S△EBD=1：1，
∵S△BDE=6，
∴S△ABD=6，
∵AC=2，AB=4，AD平分∠CAB，
∴由（2）知：S△ABD：S△ACD=AB：AC=4：2=2：1，
∴S△ACD=3，
∴S△ABC=3+6=9，
故答案为：9．

【点睛】

本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键．