初中数学沪教版 (五四制)八年级上册19．8 直角三角形的性质优秀课时练习

19.8直角三角形的性质

一、单选题

1．如图所示，公路AC、BC互相垂直，点M为公路AB的中点，为测量湖泊两侧C、M两点间的距离，若测得AB的长为6km，则M、C两点间的距离为（　　）

A．2.5km B．4.5km C．5km D．3km

2．如图，在中，，是的垂直平分线，恰好平分．若，则的长是（    ）

A．9 B．6 C．7 D．5

3．如图，在中，，，AD平分，E是AD中点，若，则CE的长为（    ）

A． B． C． D．

4．如图，，交于点C，于D，若，则等于（    ）

A．3 B．2 C．1.5 D．1

5．如图，在△ABC中，点D在BC边上，点B关于直线AD的对称点B′落在AC的延长线上，若BC垂直平分AB′，则的值为（　　）

A． B． C． D．2

6．如图，在等边ABC中，AD是它的角平分线，DE⊥AB于E，若AC=8，则BE=（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC=3cm，则BE等于（    ）．

A． B． C． D．

8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，连结AD，AE是∠BAD的平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，若EF=3，则AE的长是（    ）

A．3 B．6 C．9 D．12

9．如图，四边形ABCD中，BD交AC于点E，CN⊥BD于点N，AB＝AC＝AD，∠BAD＝90°，则①∠CAD＝2∠CBD；②∠BCD＝135°；③若∠ABC＝60°，则CE＝2EN；④若∠ABC＝60°，则ED＝2NC，以上结论正确的有（　　）个

A．1 B．2 C．3 D．4

10．如图，在平面直角坐标系中xOy中，已知点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，……，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2020A2020A2021，则点A2023的纵坐标为（    ）

A．（）2021 B．（）2022 C．（）2023 D．（）2024

二、填空题

11．在直角三角形中，斜边及其中线之和为9，则该三角形的斜边长为__________．

12．若直角三角形的两个锐角的比是2：7，则这个直角三角形的较大的锐角是___________度．

13．一个直角三角形房梁如图所示，其中，，，，垂足为，那么________________．

14．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝4，D为BC的中点，AD⊥AB，则AC的长为__________．

15．如图，在等边中，E、F分别为CB、AB边上的点，且，连接AE，CF，两条线段交于点N，做，交CF于点M，若，，那么______________．

三、解答题

16．如图，在△ABC中，点D在边AC上，DB=BC，E是CD的中点，F是AB的中点，求证：EF=AB．

17．已知：如图，，，AD是BC上的高线，CE是AB边上的中线，于G．

（1）若，求线段AC的长；

（2）求证：．

18．已知：如图，中，与的平分线交于点D，过点D的BC的平行线分别交AB于E，交BC于F．

（1）求证：；

（2）若，，，求的周长．

参考答案

1．D

【解析】

根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM＝AB，即可求出CM．

【解答】

解：∵公路AC，BC互相垂直，

∴∠ACB＝90°，

∵M为AB的中点，

∴CM＝AB，

∵AB＝6km，

∴CM＝3km，

即M，C两点间的距离为3km，

故选：D．

【点睛】

本题考查了直角三角形的性质，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

2．A

【分析】

根据角平分线上点到角两边的距离相等可得，再根据等边对等角的性质求出，然后根据角平分线的定义与直角三角形两锐角互余，求出，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后求解即可．

【解析】

解：平分，且，，

，

是的垂直平分线，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

故选：A

【点睛】

本题主要考查了角平分线的性质定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等；等边对等角；直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．

3．B

【分析】

根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义∠DAB=∠B，求出AD，根据直角三角形的性质解答即可．

【解析】

解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，

∴∠BAC=90°-30°=60°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAB=∠BAC=30°，

∴∠DAB=∠B，

∴AD=BD=a，

在Rt△ACB中，E是AD中点，

∴CE=AD=，

故选： B．

【点睛】

本题考查的是直角三角形的性质、角平分线的定义，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．

4．C

【分析】

过P点作PE⊥OB，垂足为E，结合平行线的性质可得∠BOP=∠CPO=15°，利用三角形外角的性质可得∠BCP=30°，由含30° 角的直角三角形的性质可求解PE的长，再根据角平分线的性质可求解．

【解析】

解：过P点作PE⊥OB，垂足为E，

∵PC∥OA，

∴∠CPO=∠AOP，

∵∠AOP=∠BOP=15°，

∴∠BOP=∠CPO=15°，

∴∠BCP=∠BOP+∠CPO=30°，

∴PE=PC=，

∵∠AOP=∠BOP，PE⊥OB，PD⊥OA于D，

∴PD=PE==1.5．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质，求得∠BCP=30°是解题的关键．

5．D

【分析】

证明∠ACB＝90°，∠B＝∠DAB＝∠DAC＝30°，可得结论．

【解析】

解：∵点B关于直线AD的对称点B′落在AC的延长线上，

∴DB＝DB′，∠B＝∠B′，∠DAB＝∠DAC，

∵BC垂直平分AB′，

∴DA＝DB′，∠ACB＝90°，

∴∠B′＝∠DAC＝∠DAB＝∠B，

∵∠B+∠CAB＝90°，

∴∠B＝∠DAB＝∠DAC＝30°，

∴AD＝DB＝2CD，

∴ ＝2，

故选：D．

【点睛】

本题考查轴对称的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是证明∠ACB＝90°，∠B＝30°．

6．B

【分析】

由等边△ABC的“三线合一”的性质推知，根据等边三角形三个内角都相等的性质、直角三角形的两个锐角互余推知∠BDE=30°，最后根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”来求BE即可．

【解析】

∵是等边三角形，是它的角平分线，

∴，．

∵于，

∴，

∴．

故选B

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质及含30°角的直角三角形，解题的关键是熟练掌握以上知识．

7．A

【分析】

由DE垂直平分AB，得BE=AE．欲求BE，可求AE．由BE=AE，得∠B=∠BAE=15°，那么∠AEC=∠B+∠BAE=30°．根据含30度角的直角三角形的性质，得AE=2AC=6cm，从而解决此题．

【解析】

解：∵DE垂直平分AB，

∴BE=AE．

∴∠B=∠BAE=15°．

∴∠AEC=∠B+∠BAE=30°．

∵∠ACB=90°，∠AEC=30°，

∴AE=2AC=6cm．

∴BE=AE=6cm．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质是解决本题的关键．

8．B

【分析】

根据等腰三角形三线合一的性质可得，，，再根据角平分线，求出，然后根据平行线的性质求出，从而得到，最后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半即可解答．

【解析】

解：∵，AD是的中线，

∴，，．

∵AE是的角平分线，

∴．

∵，

∴，

∴．

在中，，

∴．

故选B．

【点睛】

本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，利用数形结合的思想是解题关键．

9．C

【分析】

由三角形内角和定理得出∠CAD+∠ADB＝∠DBC+∠BCA，由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，∠ACD＝∠ADC，等量代换得出①正确；由三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∠ACD+∠ADC+∠CAD＝180°，即可得出2（∠ACB+∠ACD）+∠BAC+∠CAD＝360°，由已知条件得出∠ACB+∠ACD＝135°，得出②是正确的；由等边三角形的判定得出△ABC为等边三角形，结合已知条件算出∠ECN＝15°≠30°，故③的结论错误；结合已知条件计算出∠BDC＝30°，得出DC＝2CN，由等腰三角形的判定得出DE＝DC，得出④结论正确；综上所述正确的个数由3个即可得出选项．

【解析】

解：∵BD交AC于点E，

∴∠AED＝∠BEC，

∴∠CAD+∠ADB＝∠DBC+∠BCA，

又∵AB＝AC＝AD，

∴∠ABC＝∠ACB，∠ACD＝∠ADC，∠ADB＝∠ABD，

∴∠CAD+∠ADB＝∠DBC+∠ABC＝∠DBC+∠ABD+∠DBC＝2∠DBC+∠ABD

∴①∠CAD＝2∠CBD正确；

∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∠ACD+∠ADC+∠CAD＝180°，∠ABC＝∠ACB，∠ACD＝∠ADC，

∴2∠ACB+∠BAC＝180°，2∠ACD+∠CAD＝180°

∴2（∠ACB+∠ACD）+∠BAC+∠CAD＝360°

即2（∠ACB+∠ACD）+∠BAD＝360°

∵∠BAD＝90°，

∴2（∠ACB+∠ACD）＝270°，

∴∠ACB+∠ACD＝135°，

即②∠BCD＝135°正确；

∵AB＝AC＝AD，∠ABC＝60°，

∴△ABC为等边三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，

∵∠BAD＝90°，

∴∠ABD＝∠ADB＝45°，

∴∠CBD＝15°，

∵CN⊥BD于点N，

∴∠BNC＝90°，∠BCN＝90°－15°＝75°，

∴∠ECN＝∠BCN－∠ACB＝75°－60°＝15°≠30°，

∴CE≠2EN；故③错误；

∵∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∠BAD＝90°，

∴∠CAD＝30°，

∴∠ACD＝∠ADC＝75°，

∵∠ABD＝∠ADB＝45°，

∴∠BDC＝∠ADC－∠ADB＝75°－45°＝30°，

∵CN⊥BD于点N，

∴DC＝2CN，

∵∠DEC＝∠AEC＝180°－60°－45°＝75°，

∠DCE＝180°－30°－75°＝75°

∴∠DEC＝∠DCE，

∴DE＝DC，

∴ED＝2NC，故④正确；

∴正确的有①②④三个，

故C．

【点睛】

本题考查了三角形形的内角和定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，直角三角形中30°所对的边是斜边的一半，熟练掌握各性质定理是解题的关键．

10．B

【分析】

根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出O1A1=OA1=1，O2A2=O1A2=（）1，O3A3=O2A3=（）2，即点A1的纵坐标为1；点A2的纵坐标为（），点A3的纵坐标为（）2，以此类推，从中得出规律，即可求出答案．

【解析】

解：∵三角形OAA1是等边三角形，

∴OA1=OA=2，∠AOA1=60°，

∴∠O1OA1=30°．

在直角△O1OA1中，∵∠OO1A1=90°，∠O1OA1=30°，

∴O1A1=OA1=1，即点A1的纵坐标为1，

同理，O2A2=O1A2=（）1，O3A3=O2A3=（）2，

即点A2的纵坐标为（）1，

点A3的纵坐标为（）2，

…

∴点A2023的纵坐标为（）2022．

故选：B．

【点睛】

此题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，解答此题的关键是通过认真分析，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，从中发现规律．

11．6

【分析】

根据直角三角形斜边上中线性质推出AB=2CD，代入AB+CD=9，即可求出AB．

【解析】

如图：

∵∠ACB=90°，CD是△ACB的中线，

∴AB=2CD，

∵AB+CD=9，

∴CD=3，AB=2CD=6，

故答案为：6．

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线，关键是得出AB=2CD．

12．70

【分析】

根据“直角三角形两锐角互余”进行计算求解即可．

【解析】

∵直角三角形中的两个锐角互余，

∴较大的锐角=90°÷(2+7)×7=70°．

故答案为：70．

【点睛】

本题考查了直角三角形的性质，明确直角三角形角的性质是解题的关键．

13．

【分析】

利用直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解．

【解析】

解：∵，，，

∴ ， ，

∵，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．

14．8

【分析】

延长AD至E，使DE=AD，连接CE，先求出∠CAE=∠BAC-∠DAB=30°，然后证明△BAD≌△CED得到∠BED=∠DAC=90°，CE=AB=4，则AC=2CE=8．

【解析】

解：如图所示，延长AD至E，使DE=AD，连接CE，

∵BA⊥AD，

∴∠DAB=90°，

∵∠BAC=120°，

∴∠CAE=∠BAC-∠DAB=30°，

∵D为BC的中点，

∴BD=CD，

在△BAD和△CED中，

，

∴△BAD≌△CED（SAS），

∴∠DEC=∠DAB=90°，CE=AB=4，

∴AC=2CE=8，

故答案为：8．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，正确添加辅助线构造出含30度角的直角三角形是解题的关键．

15．7

【分析】

首先根据SAS证明，然后根据全等三角形对应角相等得到，进而得到，然后根据角所对直角边是斜边的一半求出的长度，即可求出的长度．

【解析】

解：∵是等边三角形，

∴，，

∴在与中，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴在中，，

∴．

故答案为：7．

【点睛】

此题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质以及外角的性质等知识，解题的关键是根据题意证明出．

16．证明详见解析.

【解析】

试题分析：

连接BE，由BD=BC，点E是CD的中点，可得BE⊥CD，结合F是AB的中点，可由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得结论；

试题解析：

（1）如图，连接BE，

∵BD=BC，点E是CD的中点，

∴BE⊥CD，

∴∠BED=90°，

又∵F是AB的中点，

∴EF=AB；

17．（1）；（2）见解析

【分析】

（1）根据30°角所对直角边等于斜边的一半，得到AD=3，根据等腰直角三角形，得到CD=AD=3，根据勾股定理，得到AC的长即可；

（2）根据斜边上的中线等于斜边的一半，得到DE=DC，根据等腰三角形三线合一性质，证明即可．

【解析】

（1）

，

；

（2）连接DE

，

，

，，

，

，

．

【点睛】

本题考查了30°角的性质，等腰直角三角形的性质，斜边上中线的性质，等腰三角形三线合一性质，熟练掌握性质是解题的关键．

18．（1）见解析；（2）9

【分析】

（1）根据平行线的性质与角平分线的定义可得，根据等角对等边可得，同理可得，进而即可证明，即

（2）根据含30度角的直角三角形的性质和（1）的结论，即可求得的周长

【解析】

（1）证明：∵AD平分，

∴

∵，

∴，，

∴

同理可证：

∴

即

（2）∵中，，，

∴，

∵，

∴，

∴的周长为：

．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，掌握等角对等边是解题的关键．