沪教版 (五四制)八年级上册19．9 勾股定理精品随堂练习题

19.9勾股定理

一、单选题

1．下列四组数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（          ）

A．； B．； C．； D．．

2．在中，的对边分别是，下列条件中，不能说明是直角三角形的是（   ）

A． B．

C． D．

3．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（       ）

A． B．

C． D．

4．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的边长为（　　）

A．64 B．16 C．8 D．4

5．要在数轴上作出表示的点，可以构造两条直角边长分别为（       ）的直角三角形．

A．1，3 B．5，5 C．2，3 D．1，9

6．如图，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的平分线，将△ADC沿直线AD翻折得△ADE，则DE的长为（       ）

A．4 B．5 C．6 D．7

7．若等腰三角形两边长分别为6和8，则底边上的高等于（       ）

A．2 B． C．2或 D．10

8．如图，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B处吃食物，要爬行的最短路程（取3）是（       ）

A． B． C． D．

9．如图，在中，平分，平分，且交于，若，则的值为　　

A．36 B．9 C．6 D．18

10．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1，图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为3，则S1+S2+S3的值是（       ）

A．20 B．27 C．25 D．49

二、填空题

11．△ABC中，AB＝，AC＝10，BC边上的高AD＝6，则BC边长为 __________．

12．如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么_____．

13．若Rt⊿ABC的三边为a，b，c，斜边c= 2，则=________

14．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为_____cm2．

15．细心观察图形，认真分析各式，然后填空．

OA22＝（）2+1＝2S1＝；

OA32＝12+（）2＝3S2＝；

OA42＝12+（）2＝4S3＝…

若一个三角形的面积是，则它是第_____个三角形？

三、解答题

16．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2．

（1）求证：∠A＝90°；

（2）若AB＝8，AD：BD＝3：5，求AC的长．

17．如图，四边形中，，，，，．

（1）连接AC，求AC的长．

（2）求四边形的面积．

18．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的高BH，CM交于点P．

（1）求证：PB＝PC．

（2）若PB＝5，PH＝3，求BC．

19．【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为．图中大正方形的面积可表示为，也可表示为，即，所以．

【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形，其中，，根据拼图证明勾股定理．

【定理应用】在中，，、、所对的边长分别为、、．求证：．

参考答案

1．D

【分析】

根据勾股定理逆定理判断即可．

【解析】

解： ，，，

∵，且，

∴为三角形的三边可以构成直角三角形，

故选：D．

【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是准确进行计算，熟练运用勾股定理逆定理进行判断．

2．C

【分析】

此题考查的是直角三角形的判定方法，大约有以下几种：

①勾股定理的逆定理，即三角形三边符合勾股定理；

②三个内角中有一个是直角，或两个内角的度数和等于第三个内角的度数；

根据上面两种情况进行判断即可．

【解析】

解：A、由得a2=b2+c2，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意；

B、由得∠C +∠B=∠A，此时∠A是直角，能够判定△ABC是直角三角形，不符合题意；

C、∠A：∠B：∠C=3：4：5，那么∠A=45°、∠B=60°、∠C=75°，△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；

D、a：b：c=5：12：13，此时c2=b2+ a2，符合勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，不符合题意；

故选：C．

【点睛】

此题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长构成勾股数或三内角中有一个是直角的情况下，才能判定三角形是直角三角形．

3．D

【分析】

先画出三角形，根据勾股定理和题目设好的未知数列出方程．

【解析】

解：如图，根据题意，，，

设折断处离地面的高度是x尺，即，

根据勾股定理，，即．

故选：D．

【点睛】

本题考查勾股定理的方程思想，解题的关键是根据题意利用勾股定理列出方程．

4．C

【分析】

根据勾股定理求出正方形A的面积，根据算术平方根的定义计算即可．

【解析】

解：由勾股定理得，正方形A的面积＝289－225＝64，

∴字母A所代表的正方形的边长为＝8，

故选：C．

【点睛】

本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．

5．A

【分析】

根据勾股定理可直接进行排除选项．

【解析】

解：由勾股定理可得：

A、斜边长为，故符合题意；

B、斜边长为，故不符合题意；

C、斜边长为，故不符合题意；

D、斜边长为，故不符合题意；

故选A．

【点睛】

本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

6．B

【分析】

在中利用勾股定理求出长，利用折叠性质：得到，求出对应相等的边，设DE＝x，在中利用勾股定理，列出关于的方程，求解方程即可得到答案．

【解析】

解：∵AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，

∴AC＝，

∵AD为∠BAC的平分线，将△ADC沿直线AD翻折得△ADE，

，

∴A、B、E共线，AC＝AE＝10，DC＝DE，

∴BE＝AE﹣AB＝10﹣6＝4，

在Rt△BDE中，设DE＝x，则BD＝8﹣x，

∵BD2+BE2＝DE2，

∴（8﹣x）2+42＝x2，

解得x＝5，

∴DE＝5，

故选：B．

【点睛】

本题主要是考查了直角三角形的勾股定理以及折叠中的三角形全等的性质，熟练利用折叠得到全等三角形，找到直角三角形中的各边的关系，利用勾股定理列方程，并求解方程，这是解决该类问题的关键．

7．C

【分析】

因为题目没有说明哪个边为腰哪个边为底，所以需要讨论，①当6为腰时，此时等腰三角形的边长为6、6、8；②当8为腰时，此时等腰三角形的边长为6、8、8；然后根据等腰三角形的高垂直平分底边可运用勾股定理的知识求出高．

【解析】

解：∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD，

边长为6和8的等腰三角形有6、6、8与6、8、8两种情况，

①当三边是6、6、8时，底边上的高AD＝＝＝2；

②当三边是6、8、8时，同理求出底边上的高AD是＝．

故选C．

【点睛】

本题主要考查了勾股定理和等腰三角形的性质，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．

8．A

【分析】

根据题意可把立体图形转化为平面图形进行求解，如图，然后根据勾股定理可进行求解．

【解析】

解：如图，

∵圆柱高，底面半径为，

∴，

∴在Rt△ACB中，由勾股定理得，

∴蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B处吃食物，要爬行的最短路程为15cm；

故选A．

【点睛】

本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理求最短路径问题是解题的关键．

9．A

【分析】

先根据角平分线的定义、角的和差可得，再根据平行线的性质、等量代换可得，然后根据等腰三角形的定义可得，从而可得，最后在中，利用勾股定理即可得．

【解析】

平分，平分，

，

，

，

，

，

，

，

在中，由勾股定理得：，

故选：A．

【点睛】

本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的定义、勾股定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．

10．B

【分析】

根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，得出CG＝KG，CF＝DG＝KF，再根据S1＝（CG+DG）2，S2＝GF2，S3＝（KF﹣NF）2，S1+S2+S3＝3GF2，即可求解．

【解析】

解：在Rt△CFG中，由勾股定理得：CG2+CF2=GF2，

∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，

∴CG=KG=FN，CF=DG=KF，

∴S1=（CG+DG）2

=CG2+DG2+2CG•DG

=CG2+CF2+2CG•DG

=GF2+2CG•DG，

S2=GF2，

S3=（KF-NF）2，

=KF2+NF2-2KF•NF

=KF2+KG2-2DG•CG

=FG2-2CG•DG，

∵正方形EFGH的边长为3，

∴GF2=9，

∴S1+S2+S3=GF2+2CG•DG+GF2+FG2-2CG•DG=3GF2=27，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质等知识，根据已知得出S1+S2+S3=3GF2=27是解题的关键．

11．10或26##26或10

【分析】

根据△ABC中∠ACB分锐角和钝角两种：①如图1，∠ACB是钝角时，根据勾股定理计算BD和CD的长可得BC的值；②如图2，∠ACB是锐角时，根据勾股定理计算CD=10，BD=18，根据BC=BD-CD代入可得结论．

【解析】

解：有两种情况：①如图1，∵AD是△ABC的高，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

由勾股定理得：BD=，CD=，

∴BC=BD+CD=18+8=26；

②如图2∵AD是△ABC的高，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

由勾股定理得：BD=，CD=，

∴BC=BD-CD=18-8=10，

综上所述，BC的长为26或10；

故答案为26或10．

【点睛】

本题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是关键，并注意运用了分类讨论的思想解决问题．

12．

【分析】

利用勾股定理：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方和，即可得到答案．

【解析】

解：在直角三角形中，由勾股定理可知：．

故答案为：．

【点睛】

本题主要是考查了直角三角形的勾股定理，熟练掌握勾股定理的内容，注意区分好直角边和斜边，这是解决该类问题的关键．

13．4

【分析】

根据勾股定理得出a2+b2=c2，把c=2代入求出即可．

【解析】

解：∵根据勾股定理得：a2+b2=c2，

∵c=2，

∴a2+b2=22=4，

故答案为：4．

【点睛】

本题考查了勾股定理的应用，注意：在直角三角形中．两直角边的平方和等于斜边的平方．

14．

【分析】

设三边的长是5x，12x，13x，根据周长列方程求出x的长，则三角形的三边的长即可求得，然后利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，然后利用面积公式求解．

【解析】

解：设三边分别为5x，12x，13x，

则5x+12x+13x＝60，

∴x＝2，

∴三边分别为10cm，24cm，26cm，

∵102+242＝262，

∴三角形为直角三角形，

∴S＝10×24÷2＝120cm2．

故答案为：120．

【点睛】

本题考查三角形周长，一元一次方程，直角三角形的判定以及勾股定理逆定理的理解与运用，三角形面积，比较基础，掌握三角形周长，一元一次方程，直角三角形的判定以及勾股定理逆定理的理解与运用，三角形面积是解题关键．

15．20

【分析】

根据题意可以得到规律，由此求解即可．

【解析】

解：∵OA22＝（）2+1＝2S1＝；

OA32＝12+（）2＝3S2＝；

OA42＝12+（）2＝4S3＝…

∴，

∵一个三角形的面积是，

∴，

∴，

∴它是第21-1=20个三角形，

故答案为：20．

【点睛】

本题主要考查了勾股定理和与实数运算有关的规律型问题，解题的关键在于能够根据题意找到规律求解．

16．（1）见解析；（2）

【分析】

（1）利用线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，然后利用勾股定理逆定理可得结论；

（2）首先确定BD的长，进而可得CD的长，再利用勾股定理进行计算即可．

【解析】

（1）证明：连接CD，

∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，

∴CD＝DB，

∵BD2﹣DA2＝AC2，

∴CD2﹣DA2＝AC2，

∴CD2＝AD2+AC2，

∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°；

（2）解：∵AB＝8，AD：BD＝3：5，

∴AD＝3，BD＝5，

∴DC＝5，

∴AC＝．

【点睛】

本题主要考查勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．

17．（1）；（2）四边形的面积为36．

【分析】

连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出△CAD是直角三角形，分别求出△ABC和△CAD的面积，即可得出答案．

【解析】

解：（1）连接，

在中，，，，

，

（2），

在中，，，，

，

是直角三角形，

．

四边形的面积．

   答：AC的长为5， 四边形的面积为36

【点睛】

本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是能求出△ABC和△CAD的面积，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．

18．（1）见详解；（2）．

【分析】

（1）欲证明，只需推知；

（2）先求出CH的长，在中，利用勾股定理即可求解．

【解析】

（1）证明：∵AB=AC，

∴．

∵为△ABC的高，

∴．

∴．

∴．

∴．

（2）解：，

．

，

∴CH=4．

在Rt△BHC中，BH=8

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理，掌握等腰三角形的判定定理及勾股定理是解本题的关键．

19．尝试探究：证明见解析；定理应用：证明见解析

【分析】

尝试探究：根据全等三角形性质，得，结合题意，根据直角三角形两锐角互余的性质，推导得；结合梯形、三角形面积计算公式，通过计算即可证明；

定理应用：根据提取公因式、平方差公式的性质分析，即可完成证明．

【解析】

尝试探究：

∵，

∴．

∵

∴．

∴．

∵．

∴．

∵直角梯形的面积可以表示为，也可以表示为，

∴，

整理，得．

定理应用：

在中，，

∴；

∵．

∴．

【点睛】

本题考查了勾股定理、直角三角形、全等三角形、平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、直角三角形两锐角互余、平方差公式的性质，从而完成求解．