高考数学二轮复习专题突破练1函数的综合问题 (理数)含解析

专题突破练(1)　函数的综合问题

一、选择题

1．函数f(x)＝的零点个数为(　　)

A．3  B．2  C．7  D．0

答案　B

解析　解法一：由f(x)＝0得

或

解得x＝－2或x＝e．

因此函数f(x)共有2个零点．

解法二：函数f(x)的图象如图所示，

由图象知函数f(x)共有2个零点．故选B．

2．已知A(2，5)，B(4，1)，若点P(x，y)在线段AB上，则的最大值为(　　)

A．  B．1  C．  D．

答案　C

解析　由题意，得线段AB：y－1＝(x－4)⇒y＝－2x＋9(2≤x≤4)，所以＝＝－1＋≤，当x＝2时等号成立，即的最大值为．故选C．

3．若变量x，y满足|x|－ln ＝0，则y关于x的函数图象大致是(　　)

答案　B

解析　由|x|－ln ＝0得y＝＝画出图象可知选B．

4．(2018·贵阳模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(2＋x)－1，则f(－6)＝(　　)

A．2  B．4  C．－2  D．－4

答案　C

解析　因为f(x)是R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．而在x≥0时，f(x)＝log2(2＋x)－1，所以f(－6)＝－f(6)＝－[log2(2＋6)－1]＝－(log28－1)＝－2．故选C．

5．(2018·唐山模拟)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(－2)＝0，则满足xf(x)＞0的x的取值范围是(　　)

A．(－∞，－2)∪(0，2)  B．(－2，0)∪(2，＋∞) 

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)  D．(－2，0)∪(0，2)

答案　A

解析　因为f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，0]上单调递增，又f(－2)＝0，所以f(2)＝0，即在区间(－∞，－2)和(2，＋∞)上，f(x)＜0；在区间(－2，2)上，f(x)＞0，所以xf(x)＞0等价于和即得x<－2或0<x<2．故选A．

6．(2018·广东潮州模拟)设函数f(x)＝，则使得f(x2－2x)>f(3x－6)成立的x的取值范围是(　　)

A．(－∞，2)∪(3，＋∞)  B．(2，3)

C．(－∞，2)  D．(3，＋∞)

答案　A

解析　易得函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝＝1－为单调增函数，故函数f(x)在R上为增函数，依题意得x2－2x>3x－6，解得x<2或x>3．故选A．

7．(2018·佛山质检一)已知函数f(x)＝

则下列函数为奇函数的是(　　)

A．f(sinx)  B．f(cosx)

C．xf(sinx)  D．x2f(cosx)

答案　C

解析　易知f(x)为偶函数，即满足∀x∈R，f(－x)＝f(x)恒成立．研究g(x)＝xf(sinx)，g(－x)＝－xf[sin(－x)]＝－xf(－sinx)＝－xf(sinx)＝－g(x)，故g(x)＝xf(sinx)为奇函数．故选C．

8．(2019·青岛质检)已知a＞b＞1，则下列结论正确的是(　　)

A．aa＜bb  B．aln b＞bln a

C．aln a＞bln b  D．ab＜ba

答案　C

解析　取a＝e，b＝，则B项明显错误；对于D项，若ab＜ba成立，则ln ab＜ln ba，则bln a＜aln b，由B项错误得D项错误；因为a＞b＞1，所以ln a＞ln b＞0，由同向不等式相乘得aln a＞bln b，进一步得ln aa＞ln bb，所以aa＞bb，所以A项错误，C项正确．故选C．

9．若x，y∈R，且满足则x＋y＝(　　)

A．－4  B．－3  C．3  D．4

答案　B

解析　函数f(t)＝t3＋2018t(t∈R)是奇函数，且在R上是增函数，故若f(u)＋f(v)＝0，则必有u＋v＝0，本题中，u＝x＋4，v＝y－1，∴x＋4＋y－1＝0⇒x＋y＝－3．故选B．

10．(2018·长沙统考)函数f(x)＝2x＋的图象大致为(　　)

答案　A

解析　f(x)＝2x＋＝2x－＋1，其定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．令u(x)＝2x，v(x)＝－．由于u(x)和v(x)都在(－∞，－1)和(－1，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，－1)上和(－1，＋∞)上单调递增，排除C，D；又当x趋向负无穷时，2x趋近于0，－趋近于0，所以f(x)接近于1，所以选A．

11．(2018·大庆质检一)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f′(x)<0．若a＝fln ，b＝fln －，c＝f(e0．1)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．b<a<c  B．b<c<a  C．c<a<b  D．a<c<b

答案　C

解析　依题意，有f(x)在[0，＋∞)上单调递减，而且f(x)是定义在R上的奇函数，则由其图象知f(x)在(－∞，0]上单调递减，从而奇函数f(x)在R上单调递减．则由ln －＝ln 1－<ln＝－1，0>ln >ln ＝－1，e0．1>0，知ln －<ln <e0．1，从而结合f(x)的单调性，有fln －>fln >f(e0．1)，即c<a<b．故选C．

12．(2018·长沙统考)设平行于x轴的直线l分别与函数y＝2x和y＝2x＋1的图象相交于点A，B，若函数y＝2x的图象上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则这样的直线l(　　)

A．不存在  B．有且只有一条

C．至少有两条  D．有无数条

答案　B

解析　如图，设直线l的方程为y＝a(a＞0)，则点A(log2a，a)，B(log2a－1，a)．

因为直线AB平行于x轴，所以|AB|＝1．取AB中点D，连接CD，因为△ABC是等边三角形，所以CD⊥AB，且|AD|＝，|CD|＝，所以点Clog2a－，a－．因为点C在y＝2x的图象上，所以a－＝2log2a－＝，解得a＝，所以直线l只有一条．故选B．

二、填空题

13．若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间[1，4]内有解，则实数a的取值范围是________．

答案　(－∞，－2)

解析　不等式x2－4x－2－a>0在区间[1，4]内有解等价于a<(x2－4x－2)max，令g(x)＝x2－4x－2，x∈[1，4]，∴g(x)≤g(4)＝－2，∴a<－2．

14．若存在b∈[1，2]，使得2b(b＋a)≥4，则实数a的取值范围是________．

答案　[－1，＋∞)

解析　由题可得2b(a＋b)≥4⇒a＋b≥4b⇒a≥4b－b，即存在b∈[1，2]使得a≥4b－b，因为y＝4x－x在R是单调递减的，所以4b－b在区间[1，2]上的范围为[－1，1]，则a≥－1，故填[－1，＋∞)．

15．已知函数g(x)的图象与函数f(x)＝log3x(x>0)的图象关于直线y＝x对称，若g(a)·g(b)＝3(其中a>0且b>0)，则＋的最小值为________．

答案　9

解析　依题意可知g(x)＝3x，∴g(a)·g(b)＝3a·3b＝3a＋b＝3即a＋b＝1，∴＋＝·(a＋b)＝5＋＋≥9当且仅当a＝，b＝取“＝”．

16．如图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y＝logx，y＝x，y＝x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A的纵坐标是2，则点D的坐标是________．

答案　，

解析　由2＝logx可得点A，2，由2＝x可得点B(4，2)，因为4＝，所以点C的坐标为4，，所以点D的坐标为，．

三、解答题

17．(2018·湖北荆州摸底)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，满足f(mn)＝f(m)＋f(n)(m，n>0)，且当x>1时，有f(x)>0．

(1)求证：f＝f(m)－f(n)；

(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

(3)比较f与的大小．

解　(1)证明：∵f(m)＝f＝f＋f(n)，

∴f＝f(m)－f(n)．

(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，

则f(x2)－f(x1)＝f．

∵0<x1<x2，∴>1，∴f>0，

∴f(x2)>f(x1)，

∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

(3)f－

＝f＋f－

＝＋

＝f＋f

＝f

∵≥1，∴f≥0，

故f≥．

18．(2018·浙江宁波统考)已知函数f(x)＝log2(x＋1)，g(x)＝x|x－a|．

(1)若g(x)为奇函数，求a的值并判断g(x)的单调性(单调性不需证明)；

(2)对任意x1∈[1，＋∞)，总存在唯一的x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，求正实数a的取值范围．

解　(1)∵g(x)为奇函数，

∴g(x)＋g(－x)＝x(|x－a|－|x＋a|)＝0恒成立．

∴a＝0．此时g(x)＝x|x|，在R上单调递增．

(2)x1∈[1，＋∞)，f(x)＝log2(x＋1)，

∴f(x1)∈[1，＋∞)，g(x)＝

①当a≤2时，g(x2)在[2，＋∞)上单调递增，

∴g(2)＝4－2a≤1，a≥，∴≤a≤2．

②当2<a<4时，g(x2)在[2，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增．

∴g(2)＝－4＋2a<1，a<，∴2<a<．

③当a≥4时，g(x2)在2，上单调递增，在，a上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增．

∴g＝－2＋<1，－2<a<2，不成立．

综上可知≤a＜．

19．(2018·福建四校联考)某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与日产量x(万件)之间满足关系：P＝(其中c为小于6的正常数)．

(注：次品率＝次品数/生产量，如P＝0．1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品．)

已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．

(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的函数；

(2)当日产量为多少时，可获得最大利润？

解　(1)当x>c时，P＝，

∴T＝x·2－x·1＝0；

当1≤x≤c时，P＝，

∴T＝·x·2－·x·1＝．

综上，日盈利额T(万元)与日产量x(万件)的函数关系为T＝

(2)由(1)，当x>c时，每天的盈利额为0，∴1≤x≤c，

①当3≤c<6时，T＝＝15－2(6－x)＋≤15－12＝3(当且仅当x＝3时取等号)，Tmax＝3，此时x＝3；

②当1≤c<3时，由T′＝＝知函数T＝在[1，3]上递增，

∴当x＝c时，∴Tmax＝．

综上，若3≤c<6，则当日产量为3万件时，可获得最大利润；

若1≤c<3，则当日产量为c万件时，可获得最大利润．

20．(2018·天津模拟)统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数为y＝x3－x＋8(0<x<120)．

(1)当x＝64千米/小时时，行驶100千米耗油量多少升？

(2)若油箱有22．5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？

解　(1)当x＝64千米/小时时，要行驶100千米需要＝小时，

要耗油×643－×64＋8×＝11．95(升)．

(2)设22．5升油能使该型号汽车行驶a千米，由题意得，

x3－x＋8×＝22．5，

所以a＝，

设h(x)＝x2＋－，

则当h(x)最小时，a取最大值，

h′(x)＝x－＝，

令h′(x)＝0⇒x＝80，

当x∈(0，80)时，h′(x)<0，当x∈(80，120)时，h′(x)>0，

故当x∈(0，80)时，函数h(x)为减函数，当x∈(80，120)时，函数h(x)为增函数，

所以当x＝80时，h(x)取得最小值，此时a取最大值为

＝200．

所以若油箱有22．5升油，则该型号汽车最多行驶200千米．