高考数学二轮复习专题突破练7概率与其他知识的交汇 (文数)含解析

这是一份高考数学二轮复习专题突破练7概率与其他知识的交汇 (文数)含解析，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题突破练(7)　概率与其他知识的交汇
一、选择题
1．(2018·太原五中测试)在区间[1，5]上随机地取一个数m，则方程4x2＋m2y2＝1表示焦点在y轴上的椭圆的概率是(　　)
A． B． C． D．
答案　B
解析　由方程4x2＋m2y2＝1，即＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，得<，即m2<4，而1≤m≤5，则1≤m＜2，则所求概率为＝．故选B．

2．(2018·湖南六校联考)折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如图所示的几何图形，其中四边形ABCD为正方形，G为线段BC的中点，四边形AEFG与四边形DGHI也是正方形，连接EB，CI，则向多边形AEFGHID中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为(　　)

A． B． C． D．
答案　C
解析　设AB＝2，则BG＝1，AG＝，故多边形AEFGHID的面积S＝()2×2＋×2×2＝12，由sin∠EAB＝cos∠GAB＝＝，所以S阴影部分＝×AE×AB×sin∠EAB＝2，故所求概率P＝＝．故选C．
3．(2018·石家庄一模)函数f(x)＝2x(x<0)，其值域为D，在区间(－1，2)上随机取一个数x，则x∈D的概率是(　　)
A． B． C． D．
答案　B
解析　因为函数f(x)＝2x(x<0)的值域为(0，1)，即D＝(0，1)，则在区间(－1，2)上随机取一个数x，x∈D的概率P＝＝．故选B．
4．(2018·广东三校联考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1，2，3三个数中任取一个数，b是从0，1，2三个数中任取一个数，则该函数有两个极值点的概率为(　　)
A． B． C． D．
答案　D
解析　将a记为横坐标，b记为纵坐标，可知有(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共9个基本事件，而函数有两个极值点的条件为其导函数有两个不相等的实根．因为f′(x)＝x2＋2ax＋b2，满足题中条件为Δ＝4a2－4b2>0，即a>b，所以满足条件的有(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共6个基本事件，所以所求的概率为P＝＝．故选D．
5．(2018·湖北部分重点中学联考二)已知实数a，b是利用计算机产生的0～1之间的均匀随机数，设事件A为“(a－1)2＋b2>”，则事件A发生的概率为(　　)
A． B．1－ C． D．1－
答案　B
解析　分别以a，b为横轴和纵轴建立平面直角坐标系，则符合题意的实数对(a，b)表示的平面区域为边长为1的正方形及其内部，其中使得事件A不发生的实数对(a，b)表示的平面区域为以(1，0)为圆心，半径为的四分之一个圆及其内部，则事件A发生的概率为＝1－．故选B．

6．(2018·江西重点中学盟校联考一)如图，在圆心角为直角的扇形OAB区域中，M，N分别为OA，OB的中点，在M，N两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以OA，OB为直径的圆，在扇形OAB内随机取一点，则能够同时收到两个基站信号的概率是(　　)

A．1－ B．－
C．2－ D．
答案　B
解析　设以OA，OB为直径的两个圆相交于点C，由题意，OA的中点是M，则∠CMO＝90°，设扇形OAB的半径为OA＝r，则S扇形OAB＝πr2，S半圆OAC＝πr2，S△OMC＝××＝，所以能够同时收到两个基站信号部分的面积为2S半圆OAC－S△OMC＝－，所以所求概率为＝－．故选B．
7．(2018·山西考前适应训练)甲、乙二人约定7：10在某处会面，甲在7：00～7：20内某一时刻随机到达，乙在7：05～7：20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙5分钟的概率是(　　)
A． B． C． D．
答案　C

解析　设甲、乙到达约会地点的时刻分别是x，y，则取值范围为对应区域是以20和15为边长的长方形，其中甲至少需等待乙5分钟满足y－x≥5，对应区域是以15为直角边的等腰直角三角形(如图中阴影部分(含边界)所示)，则所求概率为＝．故选C．
二、填空题
8．(2019·成都模拟)甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲、乙的平均成绩分别为甲，乙，则甲>乙的概率是________．

答案　
解析　乙的综合测评成绩为86，87，91，92，94，乙＝＝90，污损处可取数字0，1，2，…，9，共10种，而甲>乙发生对应的数字有6，7，8，9，共4种，故甲>乙的概率为＝．
9．(2018·安徽联考)将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使l1：x＋ay＝3，l2：bx＋6y＝3平行的概率为P1，不平行的概率为P2，若点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝的内部，则实数m的取值范围是________．
答案　－ 解析　由l1∥l2得ab＝6且a≠6，b≠1，满足条件的(a，b)为(1，6)，(2，3)，(3，2)，而所有的(a，b)有6×6＝36种，∴P1＝，P2＝，∴2＋2<，解得－
10．(2018·福州毕业质检)如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，以该菱形的4个顶点为圆心的扇形的半径都为1．若在菱形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率是________．

答案　
解析　由题可知四个扇形的面积之和刚好为半径为1的圆的面积，此时黑色部分的面积即为菱形面积减去半径为1的圆的面积，从而所求概率为
P＝＝．
三、解答题
11．(2018·湖北八市联考)我们经常听到这种说法：“如果数学学得好，物理就没有什么大的问题了”，为了验证这句话的科学性，某班甲、乙两位同学根据高中所学的统计知识，用两种不同的方案对班上学生的数学、物理成绩进行了统计和分析，请补充完成他们的工作．
(1)甲调查了班上6名同学某次考试的数学和物理成绩，得到下面的表格：


1
2
3
4
5
6
数学成绩x
130
120
109
95
90
80
物理成绩y
91
85
76
68
63
55

甲通过画出散点图和计算相关系数发现，y与x有一定的线性相关关系，并设回归直线方程为＝x＋，且根据表中数据求得＝0．714，求出的值；若从参与调查数学成绩不低于90分的同学中随机抽取两名，则他们的物理成绩均超过70分的概率为多少？
(2)乙同学统计全班60名学生的数学、物理成绩情况，了解到班上数学成绩好的同学有36人，物理成绩好的有30人，数学和物理都好的有24人，填写下列2×2列联表，并判断有没有99%的把握认为物理成绩的好与不好和数学成绩有关？


物理成绩好
物理成绩不好
总计
数学成绩好
　
　
　
数学成绩不好
　
　
　
总计
　
　
　

附：K2＝(n＝a＋b＋c＋d)．

P(K2≥k0)
0．050
0．025
0．010
0．005
0．001
k0
3．841
5．034
6．635
7．879
10．828

解　(1)通过计算易得＝104，＝73，回归直线＝x＋一定经过点(，)，又＝0．714，代入可得＝－1．256；
记参与调查的6名同学中5名数学成绩不低于90分的同学从左到右依次为a，b，c，d，e，从中随机抽取2名有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10种情况，而同时物理成绩均超过70分的有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3种情况，故所求概率为．
(2)填写2×2列联表如下：


物理成绩好
物理成绩不好
总计
数学成绩好
24
12
36
数学成绩不好
6
18
24
总计
30
30
60

由公式可得K2＝＝10>6．635，
故有99%的把握认为物理成绩的好与不好和数学成绩有关．
12．(2018·湖南雅礼中学月考八)随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．

(1)由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系．求y关于x的线性回归方程，并预测M公司2018年4月份的市场占有率；
(2)为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车．现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A，B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致车辆报废年限各不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：

报废年限车型
1年
2年
3年
4年
总计
A
20
35
35
10
100
B
10
30
40
20
100

经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率．如果你是M公司的负责人，以每辆单车产生利润的均值为决策依据，你会选择采购哪款车型？
参考数据： (xi－)(yi－)＝35， (xi－)2＝17．5．
参考公式：回归直线方程为＝x＋，
其中＝，＝－．
解　(1)由题意，＝3．5，＝16，＝＝2，
＝－＝16－2×3．5＝9，
∴＝2x＋9，
当x＝7时，＝2×7＋9＝23，
即预测M公司2018年4月份(即x＝7时)的市场占有率为23%．
(2)由频率估计概率，每辆A款车可使用1年、2年、3年、4年的概率分别为0．2，0．35，0．35，0．1．
∴每辆A款车的利润均值为(500－1000)×0．2＋(1000－1000)×0．35＋(1500－1000)×0．35＋(2000－1000)×0．1＝175(元)；
每辆B款车可使用1年、2年、3年、4年的概率分别为0．1，0．3，0．4，0．2，
∴每辆B款车的利润均值为(500－1200)×0．1＋(1000－1200)×0．3＋(1500－1200)×0．4＋(2000－1200)×0．2＝150(元)，
∵175>150，∴应该采购A款车．


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函数与方程思想专练
　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，其一交点为P，则|PF2|＝(　　)
A． B． C． D．4
答案　C

解析　如图，令|F1P|＝r1，
|F2P|＝r2，
那么⇒⇒r2＝．故选C．
2．(2018·湖北七校联考)已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是(　　)
A． B． C．－ D．－
答案　C
解析　依题意，方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有1个解，故f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)有1解，所以2x2＋1＝x－λ，即2x2－x＋1＋λ＝0有唯一解，故Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－．故选C．
3．设a>1，若对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax＋logay＝3，这时a的取值的集合为(　　)
A．{a|1 C．{a|2≤a≤3} D．{2，3}
答案　B
解析　依题意得y＝，当x∈[a，2a]时，y＝∈a2，a2⊆[a，a2]，因此有a2≥a，又a>1，由此解得a≥2．故选B．
4．若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有(　　)
A．x＋y≥0 B．x＋y≤0 C．x－y≤0 D．x－y≥0
答案　B
解析　原不等式可变形为2x－5－x≤2－y－5y．即2x－x≤2－y－－y．故设函数f(x)＝2x－x，f(x)为增函数，所以x≤－y，即x＋y≤0．故选B．
5．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB＝60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0．5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为(　　)

A．1＋米 B．2米
C．(1＋) 米 D．(2＋) 米
答案　D
解析　由题意，设BC＝x(x>1)米，AC＝t(t>0)米，则AB＝AC－0．5＝(t－0．5)米，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos60°，即(t－0．5)2＝t2＋x2－tx，化简并整理得t＝(x>1)，即t＝x－1＋＋2，因x>1，故t＝x－1＋＋2≥2＋当且仅当x＝1＋时取等号，此时t取最小值2＋．故选D．
二、填空题
6．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0，则d的取值范围是________．
答案　(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析　由S5S6＋15＝0得(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a＋9a1d＋10d2＋1＝0，∴Δ＝81d2－8(10d2＋1)≥0，解得d≤－2或d≥2．
7．若存在两个正实数x，y，使得等式x3e－ay3＝0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的最小值为________．
答案　
解析　由题意知a＝，设＝t(t>0)，则令f(t)＝，则f′(t)＝，当t>3时，f′(t)>0，当0 8．满足条件AB＝2，AC＝BC的三角形ABC的面积的最大值是________．
答案　2
解析　可设BC＝x，则AC＝x，根据面积公式得S△ABC＝x，由余弦定理计算得cosB＝，代入上式得S△ABC＝x＝．由得2－2 三、解答题
9．在△ABC中，点D在BC边上，AD平分∠BAC，AB＝6，AD＝3，AC＝4．
(1)利用正弦定理证明：＝；
(2)求BC的长．
解　(1)证明：由正弦定理知，在△ABD中，
＝，①
在△ADC中，＝，②
由∠ADB＋∠ADC＝π，∠BAD＝∠DAC，
得sin∠ADB＝sin∠ADC，sin∠BAD＝sin∠DAC，
①÷②得＝．
(2)由(1)知＝＝，设BD＝3x，DC＝2x(x>0)，
则BC＝5x，由cos∠BDA＋cos∠ADC＝0知
＋＝0，
解得x＝1，所以BC＝5．
10．已知各项均不相等的等差数列{an}的前5项和S5＝20，且a1，a3，a7成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若Tn为数列的前n项和，且存在n∈N*，使得Tn－λan＋1≥0成立，求实数λ的取值范围．
解　(1)设数列{an}的公差为d，则
即
又因为d≠0，所以所以an＝n＋1．
(2)因为＝＝－，
所以Tn＝－＋－＋…＋－
＝－＝．
因为存在n∈N*，使得Tn－λan＋1≥0成立，
所以存在n∈N*，使得－λ(n＋2)≥0成立，
即存在n∈N*，使λ≤成立．
又＝，
且≤(当且仅当n＝2时取等号)，
所以λ≤．即实数λ的取值范围是－∞，．
11．设函数f(x)＝ln x＋(a为常数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线与x轴平行，求实数a的值；
(2)若函数f(x)在(e，＋∞)内有极值，求实数a的取值范围．
解　(1)函数f(x)的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，
由f(x)＝ln x＋得f′(x)＝－，由于曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线与x轴平行，所以f′(2)＝0，即－＝0，所以a＝．
(2)因为f′(x)＝－＝，
若函数f(x)在(e，＋∞)内有极值，则函数y＝f′(x)在(e，＋∞)内有异号零点，
令φ(x)＝x2－(2＋a)x＋1．
设x2－(2＋a)x＋1＝(x－α)(x－β)，可知αβ＝1，
不妨设β>α，则α∈(0，1)，β∈(1，＋∞)，
若函数y＝f′(x)在(e，＋∞)内有异号零点，
即y＝φ(x)在(e，＋∞)内有异号零点，所以β>e，
又φ(0)＝1>0，所以φ(e)＝e2－(2＋a)e＋1<0，
解得a>e＋－2，所以实数a的取值范围是e＋－2，＋∞．
12．(2018·河南联考)在平面直角坐标系中，动点M到定点F(－1，0)的距离与它到直线x＝－2的距离之比是常数，记M的轨迹为T．
(1)求轨迹T的方程；
(2)过点F且不与x轴重合的直线m与轨迹T交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，在轨迹T上是否存在点Q，使得四边形APBQ为菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．
解　(1)设M(x，y)，根据动点M到定点F(－1，0)的距离与它到直线x＝－2的距离之比是常数，
得＝，整理得＋y2＝1，
∴轨迹T的方程为＋y2＝1．
(2)假设存在直线m，设直线m的方程为x＝ky－1，
由消去x，得(k2＋2)y2－2ky－1＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
y1＋y2＝，x1＋x2＝k(y1＋y2)－2＝，
∴线段AB的中点H的坐标为．
∵PQ⊥AB，
∴直线PQ的方程为y－＝－k，
令y＝0，解得x＝－，即P．
设Q(x0，y0)，∵P，Q关于点H对称，
∴＝，＝(y0＋0)，
解得x0＝，y0＝，即Q．
∵点Q在椭圆上，∴2＋22＝2，
解得k2＝
于是＝，即＝±，
∴直线m的方程为y＝x＋或y＝－x－．