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高考数学二轮复习知识 方法篇 专题3 函数与导数 第8练 含答案
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第8练 突难点——抽象函数与函数图象
[题型分析·高考展望] 抽象函数即没有函数关系式，通过对函数性质的描述，对函数相关知识进行考查，此类题目难度较大，也是近几年来高考命题的热点.对函数图象问题，以基本函数为主，由基本函数进行简单的图象变换，主要是平行变换和对称变换，这样的题目都离不开函数的单调性与奇偶性.
体验高考
1.(2015·安徽)函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A.a>0，b>0，c<0 B.a<0，b>0，c>0
C.a<0，b>0，c<0 D.a<0，b<0，c<0
答案 C
解析 函数定义域为{x|x≠－c}，结合图象知－c>0，
∴c<0.令x＝0，得f(0)＝，又由图象知f(0)>0，
∴b>0.令f(x)＝0，得x＝－，结合图象知－>0，
∴a<0.故选C.
2.(2015·天津)已知函数f(x)＝函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R.若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由f(x)＝
得f(2－x)＝
所以f(x)＋f(2－x)＝
即f(x)＋f(2－x)＝
y＝f(x)－g(x)＝f(x)＋f(2－x)－b，所以y＝f(x)－g(x)恰有4个零点等价于方程f(x)＋f(2－x)－b＝0有4个不同的解，即函数y＝b与函数y＝f(x)＋f(2－x)的图象有4个公共点，由图象知＜b＜2.
3.(2016·课标全国乙)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为( )
答案 D
解析 f(2)＝8－e2>8－2.82>0，排除A；
f(2)＝8－e2<8－2.72<1，排除B；
当x>0时，f(x)＝2x2－ex，f′(x)＝4x－ex，
当x∈时，f′(x)<×4－e0＝0，
因此f(x)在上单调递减，排除C，故选D.
4.(2016·天津)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a满足f(2|a－1|)>f(－)，则a的取值范围是________.
答案
解析 ∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，
∴在(0，＋∞)上单调递减，f(－)＝f()，
∴f(2|a－1|)>f()，∴2|a－1|<＝2，
∴|a－1|<，即－
答案 0 2－3
解析 f(f(－3))＝f(1)＝0.当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥2－3＜0，当且仅当x＝时，取等号；
当x＜1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x＝0时，取等号.∴f(x)的最小值为2－3.
高考必会题型
题型一 与函数性质有关的简单的抽象函数问题
例1 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0，1]上的增函数”是“f(x)为[3，4]上的减函数”的( )
A.既不充分也不必要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.充要条件
答案 D
解析 ①∵f(x)在R上是偶函数，
∴f(x)的图象关于y轴对称.
∵f(x)为[0，1]上的增函数，
∴f(x)为[－1，0]上的减函数.
又∵f(x)的周期为2，
∴f(x)为区间[－1＋4，0＋4]＝[3，4]上的减函数.
②∵f(x)为[3，4]上的减函数，且f(x)的周期为2，
∴f(x)为[－1，0]上的减函数.
又∵f(x)在R上是偶函数，∴f(x)为[0，1]上的增函数.
由①②知“f(x)为[0，1]上的增函数”是“f(x)为[3，4]上的减函数”的充要条件.
点评 抽象函数的条件具有一般性，对待选择题、填空题可用特例法、特值法或赋值法.也可由函数一般性质进行推理.
变式训练1 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f()＝f(x1)－f(x2)，且当x＞1时，f(x)＜0.
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性；
(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)＜－2.
解 (1)令x1＝x2＞0，
代入f()＝f(x1)－f(x2)，
得f(1)＝f(x1)－f(x2)＝0，故f(1)＝0.
(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＞x2，则＞1.
∵当x＞1时，f(x)＜0.
∴f＜0，即f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)，
故函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减.
(3)由f＝f(x1)－f(x2)，
得f()＝f(9)－f(3).
而f(3)＝－1，∴f(9)＝－2，
∴原不等式为f(|x|)＜f(9).
∵函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，
∴|x|＞9，∴x＜－9或x＞9.
∴不等式的解集为{x|x＜－9或x＞9}.
题型二 与抽象函数有关的综合性问题
例2 对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”.
(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋2x－4a(a∈R)，试判断f(x)是否为“局部奇函数”？并说明理由；
(2)若f(x)＝2x＋m是定义在区间[－1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围.
解 f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程
f(x)＋f(－x)＝0有解.
(1)当f(x)＝ax2＋2x－4a(a∈R)时，
方程f(x)＋f(－x)＝0即2a(x2－4)＝0.
因为方程有解x＝±2，
所以f(x)为“局部奇函数”.
(2)当f(x)＝2x＋m时，f(x)＋f(－x)＝0
可化为2x＋2－x＋2m＝0，
因为f(x)的定义域为[－1，1]，
所以方程2x＋2－x＋2m＝0在[－1，1]上有解.
令t＝2x∈[，2]，则－2m＝t＋.
设g(t)＝t＋，t∈[，2]，
则g′(t)＝1－，t∈[，2].
当t∈时，g′(t)＜0，
故g(t)在(0，1)上为减函数；
当t∈(1，2)时，g′(t)＞0，故g(t)在(1，2)上为增函数.
所以函数g(t)＝t＋，t∈[，2]的值域为[2，]，
由2≤－2m≤，得－≤m≤－1，
故实数m的取值范围是[－，－1].
点评 (1)让抽象函数不再抽象的方法主要是赋值法和单调函数法，因此学会赋值、判断并掌握函数单调性和奇偶性是必须过好的两关，把握好函数的性质.
(2)解答抽象函数问题时，学生往往盲目地用指数、对数函数等代替函数来解答问题，而导致出错.要明确抽象函数是具有某些性质的一类函数，而不是具体的某一个函数.因此掌握这类函数的关键是把握函数的性质以及赋值的方法.
变式训练2 定义在(0，＋∞)上的可导函数f(x)满足xf′(x)－f(x)＝x，且f(1)＝1.现给出关于函数f(x)的下列结论：
(1)函数f(x)在上单调递增；
(2)函数f(x)的最小值为－；
(3)函数f(x)有且只有一个零点；
(4)对于任意的x＞0，都有f(x)≤x2.
其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 D
解析 设g(x)＝，x∈(0，＋∞)，
则g′(x)＝＝＝，
所以g(x)＝ln x＋c(c为常数)，
所以f(x)＝xln x＋cx.
因为f(1)＝1，所以c＝1，所以f(x)＝xln x＋x.
对于(1)，因为f′(x)＝ln x＋2，
当x＞时，f′(x)＞ln ＋2＝－1＋2＝1＞0，
所以(1)正确.
对于(2)，由f′(x)＞0，得x＞；
由f′(x)＜0，得0＜x＜，
所以f(x)＝xln x＋x在(0，]上单调递减，
在[，＋∞)上单调递增.
所以当x＝时，函数f(x)取得最小值f()＝ln ＋＝－，所以(2)正确.
对于(3)，函数f(x)＝xln x＋x的图象如图所示，
所以(3)正确.
对于(4)，f(x)－x2＝xln x＋x－x2＝x(ln x＋1－x).
令h(x)＝ln x＋1－x，x∈(0，＋∞)，
则h′(x)＝－1＝.
令h′(x)＞0，得0＜x＜1；令h(x)＜0，得x＞1.
从而h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以h(x)≤h(1)＝0，即ln x＋1－x≤0.
又x＞0，所以f(x)－x2＝x(ln x＋1－x)≤0，
即f(x)≤x2.
所以(4)正确.
综上，正确结论的个数是4.
题型三 函数图象的应用与判断
例3 已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为( )
答案 B
解析 令g(x)＝ln(x＋1)－x，
则g′(x)＝－，x＞－1.
当g′(x)>0时，－1
故g(x)
(2)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.
(3)在运用函数图象时要避免只看表象不联系其本质，透过函数的图象要看到它所反映的函数的性质，并以此为依据进行分析、推断，才是正确的做法.
变式训练3 形如y＝(a＞0，b＞0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”.若当a＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝lg|x|的交点个数为n，则n＝________.
答案 4
解析 由题意知，当a＝1，b＝1时，
y＝＝
在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y＝lg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交点.
高考题型精练
1.定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，且在[－3，－2]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是( )
A.f(sin α)>f(cos β) B.f(sin α)
答案 B
解析 因为f(x)为R上的偶函数，
所以f(－x)＝f(x)，又f(2－x)＝f(x)，
所以f(x＋2)＝f(2－(x＋2))＝f(－x)＝f(x)，
所以函数f(x)以2为周期.
因为f(x)在[－3，－2]上是减函数，
所以f(x)在[－1，0]上也是减函数，
故f(x)在[0，1]上是增函数.
因为α，β是钝角三角形的两个锐角，
所以α＋β<，α<－β，
所以0
A.f(2a)＜f(log2a)＜f(2) B.f(log2a)＜f(2)＜f(2a)
C.f(2a)＜f(2)＜f(log2a) D.f(log2a)＜f(2a)＜f(2)
答案 A
解析 由函数f(x)对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，得函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2.
因为函数f(x)的导函数f′(x)满足＞0，
所以函数f(x)在(2，＋∞)上单调递减，(－∞，2)上单调递增.
因为2＜a＜4，所以1＜log2a＜2＜4＜2a.
又函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2，
所以f(2)＞f(log2a)＞f(2a)，故选A.
3.两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，则“同根函数”是( )
A.f2(x)与f4(x) B.f1(x)与f3(x)
C.f1(x)与f4(x) D.f3(x)与f4(x)
答案 A
解析 f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，f2(x)＝log2(x＋2)，将f2(x)的图象沿着x轴先向右平移2个单位得到y＝log2x的图象，然后再沿着y轴向上平移1个单位可得到f4(x)的图象，根据“同根函数”的定义可知选A.
4.设函数f(x)＝x|x－a|，若对∀x1，x2∈[3，＋∞)，x1≠x2，不等式＞0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－3] B.[－3，0)
C.(－∞，3] D.(0，3]
答案 C
解析 由题意分析可知条件等价于f(x)在[3，＋∞)上单调递增，又∵f(x)＝x|x－a|，
∴当a≤0时，结论显然成立；
当a＞0时，f(x)＝
∴f(x)在上单调递增，
在上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，
∴0＜a≤3.
综上，实数a的取值范围是(－∞，3].
5.在平面直角坐标系中，若两点P，Q满足条件：
(1)P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；
(2)P，Q两点关于直线y＝x对称，
则称点对{P，Q}是函数y＝f(x)的一对“和谐点对”.(注：点对{P，Q}与{Q，P}看作同一对“和谐点对”)
已知函数f(x)＝则此函数的“和谐点对”有( )
A.0对 B.1对 C.2对 D.3对
答案 C
解析 作出函数f(x)的图象，然后作出f(x)＝log2x(x＞0)关于直线y＝x对称的图象，与函数f(x)＝x2＋3x＋2(x≤0)的图象有2个不同交点，所以函数的“和谐点对”有2对.
6.对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为M函数：
(1)对任意的x∈[0，1]，恒有f(x)≥0；
(2)当x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1时，总有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立.
则下列3个函数中不是M函数的个数是( )
①f(x)＝x2；②f(x)＝x2＋1；③f(x)＝2x－1.
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 B
解析 在[0，1]上，3个函数都满足f(x)≥0.
当x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1时：
对于①，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝(x1＋x2)2－(x＋x)＝2x1x2≥0，满足；
对于②，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝[(x1＋x2)2＋1]－[(x＋1)＋(x＋1)]＝2x1x2－1＜0，不满足；
对于③，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝(2－1)－(2－1＋2－1)＝22－2－2＋1＝(2－1)·(2－1)≥0，满足.故选B.
7.已知函数f(x)＝－m|x|有三个零点，则实数m的取值范围为________.
答案 (1，＋∞)
解析 函数f(x)有三个零点等价于方程＝m|x|有且仅有三个实根.∵＝m|x|⇔＝|x|·(x＋2)，作函数y＝|x|(x＋2)的图象，如图所示.
由图象可知m应满足：0＜＜1，故m＞1.
8.设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)是减函数，且图象过点(1，0)，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为________.
答案 (－∞，0]∪(1，2]
解析 y＝f(x＋1)的图象向右平移1个单位得到y＝f(x)的图象，由已知可得f(x)的图象的对称轴为x＝1，过定点(2，0)，且函数在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，则f(x)的大致图象如图所示.不等式(x－1)f(x)≤0可化为或由图可知符合条件的解集为(－∞，0]∪(1，2].
9.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0，1]时，f(x)＝2x，则有
①2是函数f(x)的周期；
②函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数；
③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.
其中所有正确命题的序号是________.
答案 ①②
解析 在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，
则有f(t＋2)＝f(t)，
因此2是函数f(x)的周期，故①正确；
当x∈[0，1]时，f(x)＝2x是增函数，
根据函数的奇偶性知，f(x)在[－1，0]上是减函数，
根据函数的周期性知，函数f(x)在(1，2)上是减函数，
在(2，3)上是增函数，故②正确；
由②知f(x)在[0，2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝2，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝f(2)＝20＝1，
且f(x)是周期为2的周期函数，
∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③错误.
10.已知函数y＝f(x)(x∈R)为奇函数，且对定义域内的任意x都有f(1＋x)＝－f(1－x).当x∈(2，3)时，f(x)＝log2(x－1)，给出以下4个结论：
①函数y＝f(x)的图象关于点(k，0)(k∈Z)成中心对称；
②函数y＝f(x)是以2为周期的周期函数；
③当x∈(－1，0)时，f(x)＝－log2(1－x)；
④函数y＝f(|x|)在(k，k＋1)(k∈Z)上单调递增，
则正确结论的序号是__________.
答案 ①②③
解析 因为f(1＋x)＝－f(1－x)，y＝f(x)(x∈R)为奇函数，
所以f(1＋x)＝f(x－1)，则f(2＋x)＝f(x)，
所以y＝f(x)(x∈R)是以2为周期的周期函数，②正确；
所以f(2k＋x)＝f(x)，f(x－k)＝f(x＋k)＝－f(k－x)，
所以f(x＋k)＝－f(k－x)，即函数y＝f(x)的图象关于点(k，0)(k∈Z)成中心对称，①正确；
由①知，函数f(x)的图象关于点(2，0)成中心对称，
即f(x＋2)＝－f(2－x).
又因为当x∈(－1，0)时，2－x∈(2，3)，
所以f(x)＝f(x＋2)＝－f(2－x)＝－log2(2－x－1)＝－log2(1－x)，③正确；
函数y＝f(|x|)是偶函数，在关于原点对称的区间上的单调性相反，所以④不正确.
11.已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.
(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；
(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}.
解 f(x)＝
作出函数图象如图.
(1)函数的增区间为(1，2)，(3，＋∞)；函数的减区间为(－∞，1)，(2，3).
(2)在同一坐标系中作出y＝f(x)和y＝m的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图).
由图知0＜m＜1，∴M＝{m|0＜m＜1}.
12.函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2).
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围.
解 (1)∵对于任意x1，x2∈D，
有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数.
证明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
∴f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)在D上为偶函数.
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知，f(x)是偶函数，
∴f(x－1)＜2⇔f(|x－1|)＜f(16).
又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴0＜|x－1|＜16，解得－15＜x＜17且x≠1.
∴x的取值范围是{x|－15＜x＜17且x≠1}.
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