高考数学二轮复习知识 方法篇 专题3　函数与导数 第12练 含答案

这是一份高考数学二轮复习知识 方法篇 专题3　函数与导数 第12练 含答案，共12页。

第12练　导数几何意义的必会题型
[题型分析·高考展望]　本部分题目考查导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数即为函数图象在该点处的切线的斜率，考查形式主要为选择题和填空题或者在解答题的某一步中出现(难度为低中档)，内容就是求导，注意审题是过点(x0，y0)的切线还是在点(x0，y0)处的切线.
体验高考
1.(2016·四川)设直线l1，l2分别是函数f(x)＝图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是(　　)
A.(0，1) B.(0，2) C.(0，＋∞) D.(1，＋∞)
答案　A
解析　∵f(x)＝
∴f′(x)＝
若k1·k2＝－1，则两个切点一个在x∈(0，1)的图象上为P1，一个在x∈(1，＋∞)的图象上为P2.

设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
则k1＝－，k2＝.
∵k1k2＝－1，∴x1x2＝1.
令x1＝x0(0 ∴P1(x0，－ln x0)，P2.
∴l1：y＋ln x0＝－(x－x0)⇒y＝－x＋1－ln x0，
∴A(0，1－ln x0).
l2：y＋ln x0＝x0(x－)⇒y＝x0x－1－ln x0，
∴B(0，－1－ln x0)，
∴|AB|＝1－ln x0－(－1－ln x0)＝2.
联立得P.
∴S△PAB＝··|AB|＝··2＝＝.
∵x0∈(0，1)，∴0＜＜1，
故S△PAB∈(0，1).
2.(2016·课标全国丙)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是________.
答案　y＝2x
解析　设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x，
因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
所以f(x)＝ex－1＋x.
因为当x＞0时，f′(x)＝ex－1＋1，所以f′(1)＝2，
所以曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程为
y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
3.(2016·课标全国甲)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.
答案　1－ln 2
解析　y＝ln x＋2的切线为：y＝·x＋ln x1＋1(设切点横坐标为x1)，
y＝ln(x＋1)的切线为：y＝x＋ln(x2＋1)－(设切点横坐标为x2)，
∴
解得，∴b＝ln x1＋1＝1－ln 2.
4.(2015·天津)已知函数f(x)＝4x－x4，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)设曲线y＝f(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y＝g(x)，求证：对于任意的实数x，都有f(x)≤g(x)；
(3)若方程f(x)＝a(a为实数)有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2－x1≤－＋4.
(1)解　由f(x)＝4x－x4，可得f′(x)＝4－4x3.
当f′(x)＞0，即x＜1时，函数f(x)单调递增；
当f′(x)＜0，即x＞1时，函数f(x)单调递减.
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，1)，
单调递减区间为(1，＋∞).
(2)证明　设点P的坐标为(x0，0)，
则x0＝4，f′(x0)＝－12.
曲线y＝f(x)在点P处的切线方程为y＝f′(x0)·(x－x0)，
即g(x)＝f′(x0)(x－x0).
令函数F(x)＝f(x)－g(x)，
即F(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)，
则F′(x)＝f′(x)－f′(x0).
由于f′(x)＝－4x3＋4在(－∞，＋∞)上单调递减，
故F′(x)在(－∞，＋∞)上单调递减.
又因为F′(x0)＝0，
所以当x∈(－∞，x0)时，F′(x)＞0；
当x∈(x0，＋∞)时，F′(x)＜0，
所以F(x)在(－∞，x0)上单调递增，
在(x0，＋∞)上单调递减，
所以对于任意的实数x，F(x)≤F(x0)＝0，
即对于任意的实数x，都有f(x)≤g(x).
(3)证明　由(2)知g(x)＝－12.
设方程g(x)＝a的根为x2′，可得x2′＝－＋4.
因为g(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，
又由(2)知g(x2)≥f(x2)＝a＝g(x2′)，
因此x2≤x2′.
类似地，设曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝h(x)，
可得h(x)＝4x.
对于任意的x∈(－∞，＋∞)，有f(x)－h(x)＝－x4≤0，即f(x)≤h(x).
设方程h(x)＝a的根为x1′，可得x1′＝.
因为h(x)＝4x在(－∞，＋∞)上单调递增，
且h(x1′)＝a＝f(x1)≤h(x1)，因此x1′≤x1，
由此可得x2－x1≤x2′－x1′＝－＋4.
5.(2016·课标全国甲)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1).
(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围.
解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞).
当a＝4时，f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，
f′(x)＝ln x＋－3，f′(1)＝－2，f(1)＝0，
曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.
(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0等价于ln x－>0，设g(x)＝ln x－，
则g′(x)＝－＝，g(1)＝0.
①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，
x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1>0，
故g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，
因此g(x)>0；
②当a>2时，令g′(x)＝0得，
x1＝a－1－，x2＝a－1＋.
由x2>1和x1x2＝1得x1<1，
故当x∈(1，x2)时，
g′(x)<0，g(x)在(1，x2)上单调递减，
因此g(x)<0.
综上，a的取值范围是(－∞，2].
高考必会题型
题型一　直接求切线或切线斜率问题
例1　(1)(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝______.
(2)曲线y＝xex－1在点(1，1)处切线的斜率等于(　　)
A.2e B.e C.2 D.1
答案　(1)1　(2)C
解析　(1)f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝1＋3a，f(1)＝a＋2.
在点(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(1＋3a)(x－1).
将(2，7)代入切线方程，得7－(a＋2)＝(1＋3a)，解得a＝1.
(2)∵y＝xex－1＝，
∴y′＝(ex＋x·ex)＝·ex·(x＋1)，
故曲线在点(1，1)处的切线斜率为y′|x＝1＝2.
点评　导数几何意义的应用，需注意以下两点：
(1)当曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0.
(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.
变式训练1　(2016·课标全国丙)已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________.
答案　2x＋y＋1＝0
解析　设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ln x－3x，又f(x)为偶函数，f(x)＝ln x－3x，f′(x)＝－3，f′(1)＝－2，切线方程为y＝－2x－1.
题型二　导数几何意义的综合应用
例2　(2015·山东)设函数f(x)＝(x＋a)ln x，g(x)＝. 已知曲线y＝f(x) 在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0平行.
(1)求a的值；
(2)是否存在自然数k，使得方程f(x)＝g(x)在(k，k＋1)内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；
(3)设函数m(x)＝min{f(x)，g(x)}(min{p，q}表示p，q中的较小值)，求m(x)的最大值.
解　(1)由题意知，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，所以f′(1)＝2，
又f′(x)＝ln x＋＋1，即f′(1)＝a＋1＝2，所以a＝1.
(2)当k＝1时，方程f(x)＝g(x)在(1，2)内存在唯一的根.
设h(x)＝f(x)－g(x)＝(x＋1)ln x－，
当x∈(0，1]时，h(x)＜0.
又h(2)＝3ln 2－＝ln 8－＞1－1＝0，
所以存在x0∈(1，2)，使得h(x0)＝0.
因为h′(x)＝ln x＋＋1＋，
所以当x∈(1，2)时，h′(x)＞1－＞0，
当x∈(2，＋∞)时，h′(x)＞0，
所以当x∈(1，＋∞)时，h(x)单调递增，
所以k＝1时，方程f(x)＝g(x)在(k，k＋1)内存在唯一的根.
(3)由(2)知方程f(x)＝g(x)在(1，2)内存在唯一的根x0.
且x∈(0，x0)时，f(x)＜g(x)，
x∈(x0，＋∞)时，f(x)＞g(x)，
所以m(x)＝
当x∈(0，x0)时，若x∈(0，1]，m(x)≤0；
若x∈(1，x0)，由m′(x)＝ln x＋＋1＞0，
可知0＜m(x)≤m(x0)；
故m(x)≤m(x0).
当x∈(x0，＋∞)时，由m′(x)＝，
可得x∈(x0，2)时，m′(x)＞0，m(x)单调递增；
x∈(2，＋∞)时，m′(x)＜0，m(x)单调递减；
可知m(x)≤m(2)＝，且m(x0)＜m(2).
综上可得，函数m(x)的最大值为.
点评　已知切线求参数问题，主要利用导数几何意义，通过切点坐标、切线斜率之间的关系来构造方程组求解.
变式训练2　(2015·广东)设a>1，函数f(x)＝(1＋x2)ex－a.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)证明：f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点；
(3)若曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M(m，n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点)，证明：m≤ －1.
(1)解　f′(x)＝2xex＋(1＋x2)ex＝(x2＋2x＋1)ex
＝(x＋1)2ex，∀x∈R，f′(x)≥0恒成立.
∴f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)，无单调减区间.
(2)证明　∵f(0)＝1－a，f(a)＝(1＋a2)ea－a，
∵a>1，∴f(0)<0，f(a)>2aea－a>2a－a＝a>0，
∴f(0)·f(a)<0，
∴f(x)在(0，a)上有一零点，
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
∴f(x)在(0，a)上仅有一个零点，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点.
(3)证明　f′(x)＝(x＋1)2ex，设P(x0，y0)，
则f′(x0)＝e(x0＋1)2＝0，∴x0＝－1，
把x0＝－1代入y＝f(x)得y0＝－a，∴kOP＝a－.
f′(m)＝em(m＋1)2＝a－，
令g(m)＝em－(m＋1)，g′(m)＝em－1.
令g′(x)>0，则m>0，∴g(m)在(0，＋∞)上单调递增，
令g′(x)<0，则m<0，∴g(m)在(－∞，0)上单调递减，
∴g(m)min＝g(0)＝0.∴em－(m＋1)≥0，即em≥m＋1.
∴em(m＋1)2≥(m＋1)3，即a－≥(m＋1)3.
∴m＋1≤ ，即m≤ －1.
高考题型精练
1.已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为(　　)
A.x＋y－1＝0 B.x－y－1＝0
C.x＋y＋1＝0 D.x－y＋1＝0
答案　B
解析　∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，
∴设切点为(x0，y0).
又∵f′(x)＝1＋ln x，
∴
解得x0＝1，y0＝0.
∴切点为(1，0)，
∴f′(1)＝1＋ln 1＝1.
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.故选B.
2.已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m等于(　　)
A.－1 B.－3 C.－4 D.－2
答案　D
解析　∵f′(x)＝，
∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1.
又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.
g′(x)＝x＋m，
设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，
则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，
y0＝x＋mx0＋(m<0)，
于是解得m＝－2.故选D.
3.已知直线l与曲线f(x)＝x2－3x＋2＋2ln x相切，则直线l倾斜角的最小值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　函数的定义域为(0，＋∞).由导数的几何意义可知，曲线上任意一点P(x，y)处的切线的斜率为f′(x)＝2x－3＋，因为x＞0，故2x＋≥2＝4(当且仅当2x＝，即x＝1时取等号)，所以f′(x)＝2x－3＋≥4－3＝1，即直线l的斜率的最小值为1，此时直线的倾斜角取得最小值.故选B.
4.设a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数是f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为(　　)
A.y＝3x B.y＝－2x
C.y＝－3x D.y＝2x
答案　C
解析　∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a－3)，
又f′(x)是偶函数，∴a＝0，即f′(x)＝3x2－3.
∴k＝f′(0)＝－3，
∴曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝－3x，
故选C.
5.曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　)
A. B. C. D.1
答案　A
解析　因为y′＝－2e－2x，∴曲线在点(0，2)处的切线斜率k＝－2，∴切线方程为y＝－2x＋2，该直线与直线y＝0和y＝x围成的三角形如图所示，其中直线y＝－2x＋2与y＝x的交点为A，

所以三角形的面积S＝×1×＝.
6.若曲线f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a，b，c>0)上不存在斜率为0的切线，则－1的取值范围是(　　)
A.(1，＋∞) B.[1，＋∞)
C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)
答案　A
解析　因为函数f′(x)＝ax2＋bx＋c，
所以－1＝－1＝.
函数f(x)图象上不存在斜率为0的切线，
也就是f′(x)＝0无解，故Δ＝b2－4ac<0，即ac>，
所以≥>＝1，
即－1＝的取值范围是(1，＋∞).
7.(2015·陕西)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________.
答案　(1，1)
解析　y′＝ex，曲线y＝ex在点(0，1)处的切线的斜率k1＝e0＝1，设P(m，n)，y＝(x>0)的导数为y′＝－(x>0)，曲线y＝(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－ (m>0)，因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1，1).
8.已知f(x)＝x3＋f′()x2－x，则f(x)的图象在点(，f())处的切线斜率是________.
答案　－1
解析　f′(x)＝3x2＋2f′()x－1，令x＝，
可得f′()＝3×()2＋2f′()×－1，
解得f′()＝－1，
所以f(x)的图象在点(，f())处的切线斜率是－1.
9.已知曲线C：f(x)＝x3－ax＋a，若过曲线C外一点A(1，0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为________.
答案　
解析　设切点坐标为(t，t3－at＋a).
由题意知，f′(x)＝3x2－a，
切线的斜率为k＝y′|x＝t＝3t2－a， ①
所以切线方程为y－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(x－t). ②
将点(1，0)代入②式得，
－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(1－t)，解得t＝0或t＝.
分别将t＝0和t＝代入①式，得k＝－a和k＝－a，
由题意它们互为相反数，得a＝.
10.已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________.

答案　x－y－2＝0
解析　根据导数的几何意义及图象可知，曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，又过点P(2，0)，所以切线方程为x－y－2＝0.
11.(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3＋ax＋，g(x)＝－ln x.
(1)当a为何值时，x轴为曲线y＝f(x)的切线；
(2)用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h(x)＝min(x>0)，讨论h(x)零点的个数.
解　(1)设曲线y＝f(x)与x轴相切于点(x0，0)，
则f(x0)＝0，f′(x0)＝0.即
解得
因此，当a＝－时，x轴为曲线y＝f(x)的切线.
(2)当x∈(1，＋∞)时，g(x)＝－ln x<0，
从而h(x)＝min{f(x)，g(x)}≤g(x)<0，
故h(x)在(1，＋∞)内无零点.
当x＝1时，若a≥－，则f(1)＝a＋≥0，
h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝g(1)＝0，
故x＝1是h(x)的零点；
若a<－，
则f(1)<0，h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝f(1)<0，
故x＝1不是h(x)的零点.
当x∈(0，1)时，g(x)＝－ln x>0.所以只需考虑f(x)在(0，1)上的零点个数.
(ⅰ)若a≤－3或a≥0，则f′(x)＝3x2＋a在(0，1)内无零点，故f(x)在(0，1)上单调.而f(0)＝，f(1)＝a＋，所以当a≤－3时，f(x)在(0，1)有一个零点；当a≥0时，f(x)在(0，1)内没有零点.
(ⅱ)若－3 ①若f>0，即－ ②若f＝0，即a＝－，则f(x)在(0，1)内有唯一零点；
③若f<0，即－3 综上，当a>－或a<－时，h(x)有一个零点；当a＝－或a＝－时，h(x)有两个零点；当－ 12.(2016·北京)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间.
解　(1)f(x)的定义域为R.
∵f′(x)＝ea－x－xea－x＋b＝(1－x)ea－x＋b.
依题设，即
解得a＝2，b＝e.
(2)由(1)知f(x)＝xe2－x＋ex，
由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x＞0知，
f′(x)与1－x＋ex－1同号.
令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.
所以，当x∈(－∞，1)时，g′(x)＜0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增.故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g(x)＞0，x∈(－∞，＋∞).
综上可知，f′(x)＞0，x∈(－∞，＋∞)，
故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞).