高考数学二轮复习知识 方法篇 专题7　解析几何 第33练 含答案

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第33练　与抛物线有关的热点问题
[题型分析·高考展望]　抛物线是三种圆锥曲线之一，应用广泛，是高考的重点考查对象，抛物线方程、几何性质、直线与抛物线结合的问题都是高考热点.考查形式有选择题、填空题也有解答题，小题难度一般为低中档层次，解答题难度为中档偏上.
体验高考
1.(2015·四川)设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是(　　)
A.(1，3) B.(1，4) C.(2，3) D.(2，4)
答案　D
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
则相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，
当直线l的斜率不存在时，符合条件的直线l必有两条；当直线l的斜率k存在时，

如图x1≠x2，则有·＝2，即y0·k＝2，
由CM⊥AB得，k·＝－1，y0·k＝5－x0，
2＝5－x0，x0＝3，即M必在直线x＝3上，
将x＝3代入y2＝4x，得y2＝12，
∴－2＜y0＜2，
∵点M在圆上，
∴(x0－5)2＋y＝r2，r2＝y＋4＜12＋4＝16，
又y＋4＞4，
∴4＜r2＜16，∴2＜r＜4.故选D.
2.(2015·浙江)如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是(　　)

A. B. C. D.
答案　A
解析　由图形可知，△BCF与△ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知△BCF与△ACF的面积之比就等于.由抛物线方程知焦点F(1，0)，作准线l，则l的方程为x＝－1.

∵点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M.由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1.在△CAN中，BM∥AN，∴＝＝.
3.(2016·四川)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为(　　)
A. B. C. D.1
答案　C
解析　如图，

由题意可知F，设P点坐标为，显然，当y00，要求kOM的最大值，不妨设y0>0.则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝，kOM＝＝≤＝，当且仅当y＝2p2时等号成立.故选C.
4.(2016·课标全国乙)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
答案　B
解析　不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，则圆的方程可设为x2＋y2＝r2(r>0)，如图，

又可设A(x0，2)，D，
点A(x0，2)在抛物线y2＝2px上，∴8＝2px0， ①
点A(x0，2)在圆x2＋y2＝r2上，∴x＋8＝r2， ②
点D在圆x2＋y2＝r2上，
∴2＋5＝r2， ③
联立①②③，解得p＝4，
即C的焦点到准线的距离为p＝4，故选B.
5.(2015·上海)抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝______.
答案　2
解析　根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点Q运动到原点的时候，才与抛物线焦点的距离最小，
所以有|PQ|min＝＝1⇒p＝2.
高考必会题型
题型一　抛物线的定义及其应用
例1　已知P为抛物线y2＝6x上一点，点P到直线l：3x－4y＋26＝0的距离为d1.
(1)求d1的最小值，并求此时点P的坐标；
(2)若点P到抛物线的准线的距离为d2，求d1＋d2的最小值.
解　(1)设P(，y0)，
则d1＝＝|(y0－4)2＋36|，
当y0＝4时，(d1)min＝，此时x0＝＝，
∴当P点坐标为(，4)时，(d1)min＝.
(2)设抛物线的焦点为F，
则F(，0)，且d2＝|PF|，
∴d1＋d2＝d1＋|PF|，
它的最小值为点F到直线l的距离＝，
∴(d1＋d2)min＝.
点评　与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.
变式训练1　(1)(2016·浙江)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则点M到y轴的距离是________.
(2)已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到Q(2，1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为(　　)
A.(，1) B.(，－1) C.(1，2) D.(1，－2)
答案　(1)9　(2)B
解析　(1)抛物线y2＝4x的焦点F(1，0).准线为x＝－1，由M到焦点的距离为10，可知M到准线x＝－1的距离也为10，故M的横坐标满足xM＋1＝10，解得xM＝9，所以点M到y轴的距离为9.
(2)抛物线y2＝4x焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，
作PQ垂直于准线，垂足为M，
根据抛物线定义，|PQ|＋|PF|＝|PQ|＋|PM|，
根据三角形两边之和大于第三边，
直角三角形斜边大于直角边知：|PQ|＋|PM|的最小值是点Q到抛物线准线x＝－1的距离.
所以点P纵坐标为－1，则横坐标为，即(，－1).
题型二　抛物线的标准方程及几何性质
例2　(2015·福建)已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.

(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切.
方法一　(1)解　由抛物线的定义得|AF|＝2＋.
因为|AF|＝3，即2＋＝3，解得p＝2，
所以抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)证明　因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，
所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2).
由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1).
由得2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝，从而B.
又G(－1，0)，
所以kGA＝＝，kGB＝＝－.
所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.
方法二　(1)解　同方法一.
(2)证明　设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.
因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，
所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2).
由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1).
由得2x2－5x＋2＝0.
解得x＝2或x＝，从而B.
又G(－1，0)，
故直线GA的方程为2x－3y＋2＝0.
从而r＝＝.
又直线GB的方程为2x＋3y＋2＝0.
所以点F到直线GB的距离d＝＝＝r.
这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.
点评　(1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程.
(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
变式训练2　已知抛物线C的顶点在坐标原点O，其图象关于y轴对称且经过点M(2，1).
(1)求抛物线C的方程；
(2)若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线上，求该等边三角形的面积；
(3)过点M作抛物线C的两条弦MA，MB，设MA，MB所在直线的斜率分别为k1，k2，当k1＋k2＝－2时，试证明直线AB的斜率为定值，并求出该定值.
解　(1)设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，
由点M(2，1)在抛物线C上，得4＝2p，
则p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)设该等边三角形OPQ的顶点P，Q在抛物线上，
且P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，
则x＝4yP，x＝4yQ，
由|OP|＝|OQ|，得x＋y＝x＋y，
即(yP－yQ)(yP＋yQ＋4)＝0.
又yP>0，yQ>0，则yP＝yQ，|xP|＝|xQ|，
即线段PQ关于y轴对称.
∴∠POy＝30°，yP＝xP，
代入x＝4yP，得xP＝4，
∴该等边三角形边长为8，S△POQ＝48.
(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x＝4y1，x＝4y2，
∴k1＋k2＝＋＝＋＝(x1＋2＋x2＋2)＝－2.
∴x1＋x2＝－12，
∴kAB＝＝＝(x1＋x2)＝－3.
题型三　直线和抛物线的位置关系
例3　已知圆C1的方程为x2＋(y－2)2＝1，定直线l的方程为y＝－1.动圆C与圆C1外切，且与直线l相切.
(1)求动圆圆心C的轨迹M的方程；
(2)直线l′与轨迹M相切于第一象限的点P，过点P作直线l′的垂线恰好经过点A(0，6)，并交轨迹M于异于点P的点Q，记S为△POQ(O为坐标原点)的面积，求S的值.
解　(1)设动圆圆心C的坐标为(x，y)，动圆半径为R，
则|CC1|＝＝R＋1，且|y＋1|＝R，
可得＝|y＋1|＋1.
由于圆C1在直线l的上方，所以动圆C的圆心C应该在直线l的上方，
∴有y＋1>0，＝y＋2，
整理得x2＝8y，即为动圆圆心C的轨迹M的方程.
(2)设点P的坐标为(x0，)，则y＝，y′＝x，
kl′＝，kPQ＝－，
∴直线PQ的方程为y＝－x＋6.
又kPQ＝，∴＝－，x＝16，
∵点P在第一象限，∴x0＝4，
点P的坐标为(4，2)，直线PQ的方程为y＝－x＋6.
联立得x2＋8x－48＝0，
解得x＝－12或4，∴点Q的坐标为(－12，18).
∴S＝|OA|·|xP－xQ|＝48.
点评　(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.
提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
变式训练3　(2015·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点，
(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.
解　(1)由题设可得M(2，a)，N(－2，a)，
或M(－2，a)，N(2，a).
又y′＝，故y＝在x＝2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为y－a＝(x－2)，
即x－y－a＝0.
y＝在x＝－2处的导数值为－，
C在点(－2，a)处的切线方程为y－a＝－(x＋2)，
即x＋y＋a＝0.
故所求切线方程为x－y－a＝0和x＋y＋a＝0.
(2)存在符合题意的点，证明如下：
设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.
将y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a＝0.
故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.
从而k1＋k2＝＋＝＝.
当b＝－a时，有k1＋k2＝0，
则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，
故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意.
高考题型精练
1.如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线l′于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为(　　)

A.y2＝9x B.y2＝6x C.y2＝3x D.y2＝x
答案　C
解析　如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，

设|BF|＝a，则由已知得：
|BC|＝2a，由定义得：|BD|＝a，
故∠BCD＝30°.
在直角三角形ACE中，
∵|AF|＝3，∴|AE|＝3，|AC|＝3＋3a，
∴2|AE|＝|AC|，∴3＋3a＝6，
从而得a＝1，∵BD∥FG，
∴＝，求得p＝，
因此抛物线方程为y2＝3x，故选C.
2.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，P、Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为2的正三角形，则p的值是(　　)
A.2± B.2＋ C.±1 D.－1
答案　A
解析　依题意得F，设P，Q(y1≠y2).由抛物线定义及|PF|＝|QF|，得＋＝＋，∴y＝y，∴y1＝－y2.又|PQ|＝2，因此|y1|＝|y2|＝1，点P.又点P位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF|＝＋＝2，由此解得p＝2±，故选A.
3.设F为抛物线y2＝8x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||的值是(　　)
A.6 B.8 C.9 D.12
答案　D
解析　由抛物线方程，得F(2，0)，准线方程为x＝－2.
设A，B，C坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，
则由抛物线的定义，知|FA|＋|FB|＋|FC|＝x1＋2＋x2＋2＋x3＋2＝x1＋x2＋x3＋6.
因为＋＋＝0，
所以(x1－2＋x2－2＋x3－2，y1＋y2＋y3)＝(0，0)，
则x1－2＋x2－2＋x3－2＝0，即x1＋x2＋x3＝6，
所以||＋||＋||＝|FA|＋|FB|＋|FC|
＝x1＋x2＋x3＋6＝12，故选D.
4.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M(－2，2)，过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若∠AMB＝90°，则k等于(　　)
A. B. C. D.2
答案　D
解析　抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，
由题意可知直线AB的斜率一定存在，
所以设直线方程为y＝k(x－2)，代入抛物线方程可得
k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4＋，x1·x2＝4，
所以y1＋y2＝，y1·y2＝－16，
因为∠AMB＝90°，
所以·＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝－＋4＝0，
解得k＝2，故选D.
5.已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　抛物线y2＝2px的准线为直线x＝－，而点A(－2，3)在准线上，所以－＝－2，即p＝4，从而C：y2＝8x，焦点为F(2，0).设切线方程为y－3＝k(x＋2)，代入y2＝8x得y2－y＋2k＋3＝0(k≠0)，①
由于Δ＝1－4×(2k＋3)＝0，所以k＝－2或k＝.
因为切点在第一象限，所以k＝.
将k＝代入①中，得y＝8，再代入y2＝8x中得x＝8，
所以点B的坐标为(8，8)，所以直线BF的斜率为＝.
6.已知A(x1，y1)是抛物线y2＝8x的一个动点，B(x2，y2)是圆(x－2)2＋y2＝16上的一个动点，定点N(2，0)，若AB∥x轴，且x10)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)＋为定值；
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
证明　(1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0).
由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y2＝2px，
得y2＝2p，即y2－2pmy－p2＝0.(*)
则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.
因为y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2，
所以x1x2＝＝＝.
(2)＋＝＋＝.
因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，
代入上式，得＋＝＝(定值).
(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.

所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.