高考数学二轮复习高考大题专项练02数列B 理数（含答案）

二　数列(B)

1.(2018·醴陵模拟)已知正项等比数列{an}中,a1+a2=6,a3+a4=24.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)数列{bn}满足bn=log2an,求数列{an+bn}的前n项和Tn.

2.(2018·银川模拟)设{an}是公比不为1的等比数列,其前n项和为Sn,且a5,a3,a4成等差数列.

(1)求数列{an}的公比;

(2)证明:对任意k∈N*,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.

3.(2018·益阳模拟)已知{an}是各项均为正数的等差数列,且数列{}的前n项和为,n∈N*.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若数列{an}的前n项和为Sn,数列{}的前n项和Tn,求证Tn<.

4.(2018·深圳模拟)已知数列{an}满足a1=1,且an=2an-1+2n(n≥2,且n∈N*),

(1)求证:数列{}是等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式;

(3)设数列{an}的前n项之和为Sn,求证:>2n-3.

1.解:(1)设数列{an}的首项为a1,公比为q(q>0).

则

解得

所以an=2×2n-1=2n.

(2)由(1)得bn=log22n=n,

设{an+bn}的前n项和为Sn,

则Sn=(a1+b1)+(a2+b2)+…+(an+bn)

=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)

=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)

=+

=2n+1-2+n2+n.

2.(1)解:设数列{an}的公比为q(q≠0,q≠1),

由a5,a3,a4成等差数列,得2a3=a5+a4,

即2a1q2=a1q4+a1q3,

由a1≠0,q≠0,得q2+q-2=0,

解得q1=-2,q2=1(舍去),所以q=-2.

(2)证明:法一　对任意k∈N*,

Sk+2+Sk+1-2Sk=(Sk+2-Sk)+(Sk+1-Sk)

=ak+1+ak+2+ak+1

=2ak+1+ak+1·(-2)

=0,

所以,对任意k∈N*,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.

法二　对任意k∈N*,

2Sk=,

Sk+2+Sk+1=+

=,

2Sk-(Sk+2+Sk+1)=-

=[2(1-qk)-(2-qk+2-qk+1)]

=(q2+q-2)

=0,

因此,对任意k∈N*,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.

3.(1)解:由{an}是各项均为正数的等差数列,且数列{}的前n项和为,n∈N*,

当n=1时,可得==,       ①

当n=2时,可得+==,    ②

②-①得=,

所以a1·(a1+d)=6,           ③

(a1+d)(a1+2d)=12.            ④

由③④解得

所以数列{an}的通项公式为an=n+1.

(2)证明:由(1)可得Sn=,

那么==(-).

所以数列{}的前n项和Tn=(1-+-+-+-+…+-)

=(1++---)

=(---)

=-(++),n∈N*,

所以Tn<.

4.(1)证明:因为an=2an-1+2n(n≥2,且n∈N*),

所以=+1,即-=1(n≥2,且n∈N*),

所以数列{}是等差数列,公差d=1,首项为=.

(2)解:由(1)得=+(n-1)×1=n-,

所以an=(n-)·2n.

(3)证明:因为Sn=·21+·22+·23+…+(n-)·2n,   ①

所以2Sn=·22+·23+·24+…+(n-)·2n+1,         ②

①-②得

-Sn=1+22+23+…+2n-(n-)·2n+1=2+22+23+…+2n-(n-)·2n+1-1=-(n-)·2n+1-1=(3-2n)·2n-3.

Sn=(2n-3)·2n+3,则=(2n-3)+>2n-3,

所以>2n-3.