高考数学二轮复习高考大题专项练05解析几何A 理数（含答案）

这是一份高考数学二轮复习高考大题专项练05解析几何A 理数（含答案），共7页。试卷主要包含了给定椭圆C，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
五　解析几何(A)1.(2018·江西九江模拟)给定椭圆C:+=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F(,0),其短轴上的一个端点到F的距离为.(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程;(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过点P作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个公共点,且l1,l2分别交其“准圆”于点M,N.①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时,求l1,l2的方程;②求证:|MN|为定值.     2.(2018·武侯区校级模拟)已知椭圆C的左右顶点分别为A,B,A点坐标为(-,0),P为椭圆C上不同于A,B的任意一点,且满足kAP·kBP=-.(1)求椭圆C的方程;(2)设F为椭圆C的右焦点,直线PF与椭圆C的另一交点为Q,PQ的中点为M,若|OM|=|QM|,求直线PF的斜率.   3.已知抛物线C顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.     4.(2018·红桥区一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆C与y轴交于A,B两点,且|AB|=2.(1)求椭圆C的方程;(2)设点P是椭圆C上的一个动点,且点P在y轴的右侧.直线PA,PB与直线x=4分别交于M,N两点.若以MN为直径的圆与x轴交于两点E,F,求点P横坐标的取值范围及|EF|的最大值.   1.(1)解:由题意知c=,a=,所以b=1.所以椭圆的方程为+y2=1,“准圆”的方程为x2+y2=4.(2)①解:因为“准圆”x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P(0,2),设过点P(0,2),且与椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2,联立方程组消去y,得到(1+3k2)x2+12kx+9=0,因为椭圆与y=kx+2只有一个公共点,所以Δ=144k2-4×9(1+3k2)=0,解得k=±1.所以l1,l2的方程分别为y=x+2,y=-x+2.②证明:a.当l1,l2中有一条无斜率时,不妨设l1无斜率,因为l1与椭圆只有一个公共点,则其方程为x=或x=-.当l1的方程为x=时,此时l1与准圆交于点(,1),(,-1),此时经过点(,1)(或(,-1))且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1(或y=-1),即l2为y=1(或y=-1),显然直线l1,l2垂直;同理可证l1方程为x=-时,直线l1,l2垂直.b.当l1,l2都有斜率时,设点P(x0,y0),其中+=4,设经过点P(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线为y=t(x-x0)+y0,联立方程组消去y得到x2+3[tx+(y0-tx0)]2-3=0,即(1+3t2)x2+6t(y0-tx0)x+3(y0-tx0)2-3=0,Δ=[6t(y0-tx0)]2-4·(1+3t2)[3(y0-tx0)2-3]=0,经过化简得到(3-)t2+2x0y0t+1-=0,因为+=4,所以有(3-)t2+2x0y0t+(-3)=0,设l1,l2的斜率分别为t1,t2,因为l1,l2与椭圆都只有一个公共点,所以t1,t2满足上述方程(3-)t2+2x0y0t+(-3)=0,所以t1·t2==-1,即l1,l2垂直.综合a和b知l1,l2垂直,因为l1,l2经过点P(x0,y0),又分别交其“准圆”于点M,N,且l1,l2垂直,所以线段MN为“准圆”x2+y2=4的直径,所以|MN|=4.2.解:(1)设P(x,y)(x≠±),所以kAP·kBP=-,所以·=-,整理得+y2=1(x≠±),因为A,B两点在椭圆上,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由题可知,斜率一定存在且k≠0,设过焦点F的直线方程为x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),联立则(m2+2)y2+2my-1=0,所以所以所以|OM|=,而|QM|=|PQ|=·=·=·.因为|OM|=|QM|,所以=·,所以m2=,所以k2=2,所以k=±.因此,直线PF的斜率为±.3.解:(1)因为抛物线C的焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,所以=,得c=1,所以F(0,1),即抛物线C的方程为x2=4y.(2)设切点A(x1,y1),B(x2,y2),由x2=4y得y′=x,所以切线PA:y-y1=x1(x-x1),有y=x1x-+y1,而=4y1,即切线PA:y=x1x-y1,同理可得切线PB:y=x2x-y2.因为两切线均过定点P(x0,y0),所以y0=x1x0-y1,y0=x2x0-y2,由此两式知点A,B均在直线y0=xx0-y上,所以直线AB的方程为y0=xx0-y,即y=x0x-y0.(3)设点P的坐标为(x′,y′),由x′-y′-2=0,得x′=y′+2,则|AF|·|BF|=·=·=·=(y1+1)·(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.由得y2+(2y′-x′2)y+y′2=0,有y1+y2=x′2-2y′,y1y2=y′2,所以|AF|·|BF|=y′2+x′2-2y′+1=y′2+(y′+2)2-2y′+1=2(y′+)2+,当y′=-,x′=时,即P(,-)时,|AF|·|BF|取得最小值.4.解:(1)由题意可得,2b=2,即b=1,e==,得=,解得a2=4,椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)法一　设P(x0,y0)(0<x0≤2),A(0,-1),B(0,1),所以kPA=,直线PA的方程为y=x-1,同理,直线PB的方程为y=x+1,直线PA与直线x=4的交点为M(4,-1),直线PB与直线x=4的交点为N(4,+1),线段MN的中点为(4,),所以圆的方程为(x-4)2+(y-)2=(1-)2,令y=0,则(x-4)2+=(1-)2,因为+=1,所以=-,所以(x-4)2+-5=0,设交点坐标为(x1,0),(x2,0),可得x1=4+,x2=4-,因为这个圆与x轴相交,该方程有两个不同的实数解,所以5->0,解得x0∈(,2].则|x1-x2|=2(<x0≤2),所以当x0=2时,该圆被x轴截得的弦长最大值为2.法二　设P(x0,y0)(0<x0≤2),A(0,-1),B(0,1),所以kPA=,直线PA的方程为y=x-1,同理,直线PB的方程为y=x+1,直线PA与直线x=4的交点为M(4,-1),直线PB与直线x=4的交点为N(4,+1),若以MN为直径的圆与x轴相交,则[-1]×[+1]<0,即-+-1<0,即+-1<0.因为+=1,所以=-,代入得到5->0,解得x0∈(,2].该圆的直径为|-1-[+1] |=|2-|,圆心到x轴的距离为|-1+[+1]|=||,该圆在x轴上截得的弦长为2=2(<x0≤2),所以该圆被x轴截得的弦长最大值为2.