高考数学二轮复习课时跟踪检测06等差数列与等比数列小题练（含答案）

课时跟踪检测（六）  等差数列与等比数列（小题练）

A级——12＋4提速练

一、选择题

1．(2019届高三·合肥模拟)若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2＋S3＝4，a3＋S5＝12，则a4＋S7的值是(　　)

A．20　　　　　　　　　 B.36

C．24  D.72

解析：选C　由a2＋S3＝4及a3＋S5＝12得解得∴a4＋S7＝8a1＋24d＝24.故选C.

2．设等比数列的前n项和为Sn，若S1＝a2－，S2＝a3－，则公比q＝(　　)

A．1  B．4 

C．4或0  D.8

解析：选B　∵S1＝a2－，S2＝a3－，

∴解得或(舍去)，故所求的公比q＝4.

3．(2018·云南师大附中适应性考试)在各项均为正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为(　　)

A.   B.

C.  D.

解析：选C　设{an}的公比为q且q>0，因为a2，a3，a1成等差数列，所以a1＋a2＝2×a3＝a3，即a1＋a1q＝a1q2，因为a1≠0，所以q2－q－1＝0，解得q＝或q＝<0(舍去)，所以＝＝q2＝，故选C.

4．(2018·辽宁五校联考)各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7＋log2a11的值为(　　)

A．1  B．2

C．3  D.4

解析：选C　由题意得a4a14＝(2)2＝8，由等比数列的性质，得a4a14＝a7a11＝8，∴log2a7＋log2a11＝log2(a7a11)＝log28＝3，故选C.

 5.(2018·陕西模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a8＝6＋a11，则S9＝(　　)

A．27  B．36

C．45  D.54

解析：选D　∵在等差数列{an}中，2a8＝a5＋a11＝6＋a11，∴a5＝6，故S9＝＝9a5＝54.故选D.

6．等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝(　　)

A.   B.

C.  D.

解析：选A　由题知，＝＝.

7．已知数列是等差数列，且a3＝2，a9＝12，则a15＝(　　)

A．10  B．30

C．40  D.20

解析：选B　法一：设数列的公差为d.∵a3＝2，a9＝12，∴6d＝－＝－＝，∴d＝，＝＋12d＝2.故a15＝30.

法二：由于数列是等差数列，故2×＝＋，即＝2×－＝2，故a15＝30.

8．已知数列{an}的各项均为正整数，其前n项和为Sn.若an＋1＝且S3＝29，则a1＝(　　)

A．4  B．5

C．6  D.7

解析：选B　法一：若a1＝4k，则a2＝2k，a3＝k，此时S3＝7k＝29，由于k为整数，此时无解；若a1＝4k＋1，则a2＝12k＋4，a3＝6k＋2，此时S3＝22k＋7＝29，解得k＝1，即a1＝5；若a1＝4k＋2，则a2＝2k＋1，a3＝6k＋4，此时S3＝12k＋7＝29，由于k为整数，此时无解；若a1＝4k＋3，则a2＝12k＋10，a3＝6k＋5，此时S3＝22k＋18＝29，由于k为整数，此时无解．综上可知a1＝5.

法二：当a1＝4时，a2＝2，a3＝1，S3＝7，排除A；当a1＝5时，a2＝16，a3＝8，S3＝29，B符合题意，故选B.

9．(2019届高三·湖南十校联考)等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1<0，若存在自然数m≥3，使得am＝Sm，则当n>m时，Sn与an的大小关系是(　　)

A．Sn<an  B．Sn≤an

C．Sn>an  D.大小不能确定

解析：选C　若a1<0，存在自然数m≥3，使得am＝Sm，则d>0，否则若d≤0，数列是递减数列或常数列，则恒有Sm<am，不存在am＝Sm.由于a1<0，d>0，当m≥3时，有am＝Sm，因此am>0，Sm>0，又Sn＝Sm＋am＋1＋…＋an，显然Sn>an.故选C.

10．(2018·西安八校联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5，则满足SnSn＋1<0的正整数n的值为(　　)

A．10  B．11

C．12  D.13

解析：选C　由S6>S7>S5，得S7＝S6＋a7<S6，S7＝S5＋a6＋a7>S5，所以a7<0，a6＋a7>0，所以{an}为递减数列，又S13＝＝13a7<0，S12＝＝6(a6＋a7)>0，所以S12S13<0，即满足SnSn＋1<0的正整数n的值为12，故选C.

11．(2018·沈阳二模)已知数列{an}满足a1＝1，an－1＝3an(n≥2，n∈N*)，其前n项和为Sn，则满足Sn≥的n的最小值为(　　)

A．6  B．5

C．8  D.7

解析：选B　由an－1＝3an(n≥2)可得＝(n≥2)，可得数列{an}是首项为a1＝1，公比为q＝的等比数列，所以Sn＝＝.由Sn≥可得≥，即1－n≥，得n≥5(n∈N*)，故选B.

12．已知各项均为正数的等比数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，则数列{an}的通项公式an＝(　　)

A.   B.

C.×n－1  D.×n

解析：选A　设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由题意知a1>0，且an＝·qn－1，又S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以2(S5＋a5)＝S3＋a3＋S4＋a4，即2(a1＋a2＋a3＋a4＋2a5)＝a1＋a2＋2a3＋a1＋a2＋a3＋2a4，化简得4a5＝a3，从而4q2＝1，解得q＝±，又q>0，故q＝，an＝，选择A.

二、填空题

13．(2018·重庆模拟)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5＝5，则log5a1＋log5a2＋…＋log5a9＝________.

解析：因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，所以由等比数列的性质可得a1·a9＝a2·a8＝a3·a7＝a4·a6＝a＝52，则log5a1＋log5a2＋…＋log5a9＝log5(a1·a2·…·a9)＝log5[(a1·a9)·(a2·a8)·(a3·a7)·(a4·a6)·a5]＝log5a＝log559＝9.

答案：9

14．(2018·天津模拟)数列{an}满足a1＋2a2＋4a3＋…＋2n－1an＝2n－1，且数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N*，都有λ2<Sn<4λ，则实数λ的取值范围是________．

解析：由a1＋2a2＋4a3＋…＋2n－1an＝2n－1，可得a1＋2a2＋4a3＋…＋2n－2an－1＝2(n－1)－1＝2n－3(n≥2)，两式相减得2n－1an＝2(n≥2)，所以an＝22－n(n≥2)．又n＝1时，a1＝1，所以an＝所以Sn＝1＋20＋2－1＋…＋22－n＝1＋＝3－n－2，由Sn在n≥1时单调递增，可得1≤Sn<3，所以解得≤λ<1，所以实数λ的取值范围是.

答案：

15．(2018·安徽合肥二模)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，若S1＝2,3S－2an＋1Sn＝a，则an＝________.

解析：由S1＝2，得a1＝S1＝2.

由3S－2an＋1Sn＝a，

得4S＝(Sn＋an＋1)2.

又an>0，∴2Sn＝Sn＋an＋1，即Sn＝an＋1.

当n≥2时，Sn－1＝an，

两式作差得an＝an＋1－an，即＝2.

又由S1＝2,3S－2a2S1＝a，求得a2＝2.

∴当n≥2时，an＝2×2n－2＝2n－1.

验证当n＝1时不成立，

∴an＝

答案：

16．(2018·西安八校联考)数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，an＝(n≥2)，则Sn＝________.

解析：当n≥2时，将an＝Sn－Sn－1代入an＝，

得Sn－Sn－1＝，

化简整理，得Sn－Sn－1＝－2Sn－1·Sn，

两边同除以Sn－1·Sn，得－＝2(n≥2)，

又＝1，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以Sn＝.

答案：

B级——难度小题强化练

1．已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，4a5＝a3.设Tn＝Sn－，则数列{Tn}中最大项的值为(　　)

A.   B.

C.  D.

解析：选C　设等比数列{an}的公比为q，则q2＝＝.又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－，故等比数列{an}的通项公式为an＝×n－1＝(－1)n－1×，Sn＝1－n＝当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1<Sn≤S1＝，故0<Sn－≤S1－＝－＝.当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以＝S2≤Sn<1，故0>Sn－≥S2－＝－＝－.综上，对任意的n∈N*，总有－≤Sn－<0或0<Sn－≤，即数列{Tn}中最大项的值为.故选C.

2．(2018·洛阳尖子生模拟)已知数列{an}满足nan＋2－(n＋2)an＝λ(n2＋2n)，其中a1＝1，a2＝2，若an<an＋1对任意的n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是(　　)

A．[0，＋∞)  B．(－1，＋∞)

C.  D.[0,1)

解析：选A　由nan＋2－(n＋2)an＝λ(n2＋2n)＝λn(n＋2)得－＝λ，所以数列的奇数项与偶数项均是以λ为公差的等差数列，因为a1＝1，a2＝2，所以当n为奇数时，＝1＋λ＝λ＋1，所以an＝λ＋n.当n为偶数时，＝1＋λ＝λ＋1，所以an＝λ＋n.当n为奇数时，由an<an＋1得λ＋n<λ＋n＋1，即λ(n－1)>－2，若n＝1，则λ∈R，若n>1，则λ>－，所以λ≥0; 当n为偶数时，由an<an＋1得λ＋n<λ＋n＋1，即3λn>－2，所以λ>－，即λ≥0.综上，实数λ的取值范围为[0，＋∞)．选A.

3．(2018·武汉模拟)设等差数列{an}满足a3＋a7＝36，a4a6＝275，且anan＋1有最小值，则这个最小值为(　　)

A．－10  B．－12

C．－9  D.－13

解析：选B　设等差数列{an}的公差为d，∵a3＋a7＝36，∴a4＋a6＝36，又a4a6＝275，联立，解得或当时，可得此时an＝7n－17，a2＝－3，a3＝4，易知当n≤2时，an<0，当n≥3时，an>0，∴a2a3＝－12为anan＋1的最小值；

当时，可得此时an＝－7n＋53，a7＝4，a8＝－3，易知当n≤7时，an>0，当n≥8时，an<0，

∴a7a8＝－12为anan＋1的最小值．

综上，anan＋1的最小值为－12.

4．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则(n∈N*)的最小值为(　　)

A．4  B．3

C．2－2  D.

解析：选A　∵a1＝1，a1，a3，a13成等比数列，∴(1＋2d)2＝1＋12d，解得d＝2或d＝0(舍去)，∴an＝2n－1，∴Sn＝＝n2，∴＝.令t＝n＋1，则＝t＋－2≥6－2＝4，当且仅当t＝3，即n＝2时等号成立．

5．(2018·广东模拟)设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有4Sn＝a＋2an，其中Sn为数列{an}的前n项和，则数列{an}的通项公式an＝________.

解析：当n＝1时，4a1＝a＋2a1，∴a1(a1－2)＝0，

∵an>0，∴a1＝2.

当n≥2时，4Sn＝a＋2an,4Sn－1＝a＋2an－1，两式相减得4an＝a－a＋2an－2an－1，(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，

∵an>0，∴an－an－1＝2，故an＝2n.

答案：2n

6．已知数列{an}满足a1＝a2＝2，an＋2－[2＋(－1)n]an＝a2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________________________________________________________________________．

解析：当n＝2k(k∈N*)时，a2k＋2＝3a2k＋2，即a2k＋2＋1＝3(a2k＋1)，所以数列{a2k＋1}(k∈N*)是以a2＋1为首项，3为公比的等比数列，所以a2k＋1＝(a2＋1)·3k－1＝3k，即当n为偶数时，an＝3－1；当n＝2k－1(k∈N*)时，a2k＋1＝a2k－1＋2，所以a2k＋1－a2k－1＝2，所以数列{a2k－1}(k∈N*)是以a1为首项，2为公差的等差数列，

所以a2k－1＝2＋2(k－1)＝2k，即当n为奇数时，an＝n＋1.所以数列{an}的通项公式an＝

答案：an＝