高考数学二轮复习课时跟踪检测 09排列组合与二项式定理小题练（含答案解析）

课时跟踪检测（十二）  排列、组合与二项式定理（小题练）

A级——12＋4提速练

一、选择题

1．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有(　　)

A．36个　　 　　　　 B．24个

C．18个  D．6个

2．5的展开式中x3项的系数为(　　)

A．80  B．－80

C．－40  D．48

3．(2019届高三·南宁、柳州联考)从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个数相邻，则不同的选法种数是(　　)

A．72  B．70

C．66  D．64

4．(x2－3)5的展开式的常数项是(　　)

A．－2  B．2

C．－3  D．3

5．若(1－3x)2 018=a0＋a1x＋…＋a2 018x2 018，x∈R，则a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018的值为(　　)

A．22 018－1  B．82 018－1

C．22 018  D．82 018

6．现有5本相同的《数学家的眼光》和3本相同的《数学的神韵》，要将它们排在同一层书架上，并且3本相同的《数学的神韵》不能放在一起，则不同的放法种数为(　　)

A．20  B．120

C．2 400  D．14 400

7．已知(1＋x)n的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)

A．29  B．210

C．211  D．212

8．旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小明可选的旅游路线数为(　　)

A．24  B．18

C．16  D．10

9.现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的着色方法的种数是(　　)

A．120  B．140

C．240  D．260

10．若二项式n的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为(　　)

A．－1  B．1

C．27  D．－27

11．某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科．学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理 、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为(　　)

A．6  B．12

C．18  D．19

12．某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有(　　)

A．18种  B．24种

C．36种  D．48种

二、填空题

13．9的展开式中x3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________．

14．在(1－x3)(2＋x)6的展开式中，x5的系数是________(用数字作答)．

15．在4的展开式中，常数项为________．

16．某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有________种(用数字作答)．

B级——难度小题强化练

1．某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有(　　)

A．120种  B．156种

C．188种  D．240种

2．若a=sin xdx，则二项式6的展开式中的常数项为(　　)

A．－15  B．15

C．－240  D．240

3．定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m=4，则不同的“规范01数列”共有(　　)

A．18个  B．16个

C．14个  D．12个

4．某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每个部门安排两人，则不同的安排方案种数为(　　)

A．60  B．40

C．120  D．240

5．由数字2,0,1,9组成没有重复数字的四位偶数的个数为________．

6．已知(1＋ax＋by)5(a，b为常数，a∈N*，b∈N*)的展开式中不含字母x的项的系数和为243，则函数f(x)=，x∈的最小值为________．

答案解析

A级——12＋4提速练

1．答案为：B　各位数字之和是奇数，则这三个数字中三个都是奇数或两个偶数一个奇数，所以符合条件的三位数有A＋CA=6＋18=24(个)．

2．答案为：B　∵5的展开式的通项为Tr＋1=C(2x)5－rr=(－1)r25－rCx5－2r，令5－2r=3，解得r=1.于是展开式中x3项的系数为(－1)×25－1·C=－80，故选B.

3．答案为：D　从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有C·C＋C·C=56种选法，三个数相邻共有C=8种选法，故至少有两个数相邻共有56＋8=64种选法，故选D.

4．答案为：B　5的通项为Tr＋1=C5－r=Cx2r－10，令2r－10=－2或0，解得r=4,5，∴展开式的常数项是C＋(－3)×C=2.

5．答案为：B　由已知，令x=0，得a0=1，令x=3，得a0＋a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018=(1－9)2 018=82 018，所以a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018=82 018－a0=82 018－1，故选B.

6．答案为：A　根据题意，可分两步：

第一步，先放5本相同的《数学家的眼光》，有1种情况；

第二步，5本相同的《数学家的眼光》排好后，有6个空位，在6个空位中任选3个，把3本相同的《数学的神韵》插入，有C=20种情况．

故不同的放法有20种，故选A.

7．答案为：A　由题意得C=C，由组合数性质得n=10，则奇数项的二项式系数和为2n－1=29，故选A.

8．答案为：D　分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有C·A种可选的路线．所以小明可选的旅游路线数为A＋C·A=10.选D.

9.答案为：D　由题意，先涂A处，有5种涂法，再涂B处有4种涂法，第三步涂C，若C与A所涂颜色相同，则C有1种涂法，D有4种涂法，若C与A所涂颜色不同，则C有3种涂法，D有3种涂法，由此得不同的着色方法有5×4×(1×4＋3×3)=260(种)，故选D.

10．答案为：A　依题意得2n=8，解得n=3.取x=1得，该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3=－1，故选A.

11．答案为：D　法一：在物理、政治、历史中选一科的选法有CC=9(种)；在物理、政治、历史中选两科的选法有CC=9(种)；物理、政治、历史三科都选的选法有1种．所以学生甲的选考方法共有9＋9＋1=19(种)，故选D.

法二：从六科中选考三科的选法有C种，其中包括了没选物理、政治、历史中任意一科，这种选法有1种，因此学生甲的选考方法共有C－1=19(种)，故选D.

12．答案为：C　若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AA=12(种)；

若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AA=12(种)；

若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AC=6(种)；若甲、乙抢的是两个6元，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A=6(种)，根据分类加法计数原理可得，共有12＋12＋6＋6=36(种)．故选C.

13．解析：二项展开式的通项Tr＋1=Cx9－rr=arCx9－2r，令9－2r=3，得r=3，所以a3C=－84，所以a=－1，所以二项式为9，令x=1，则(1－1)9=0，所以展开式的各项系数之和为0.

答案为：0

14．解析：二项展开式中，含x5的项是C2x5－x3C24x2=－228x5，所以x5的系数是－228.

答案为：－228

15．解析：易知4=4的展开式的通项Tr＋1=C(－1)4－r·r.又r的展开式的通项Rm＋1=Cxr－m(－x－1)m=C(－1)mxr－2m，∴Tr＋1=C(－1)4－r·C·(－1)mxr－2m，令r－2m=0，得r=2m，∵0≤r≤4，∴0≤m≤2，∴当m=0,1,2时，r=0,2,4，故常数项为T1＋T3＋T5=C(－1)4＋C(－1)2·C(－1)1＋C(－1)0·C(－1)2=－5.

答案为：－5

16．解析：法一：第一步，选2名同学报名某个社团，有C·C=12种报法；第二步，从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学，有C·C=3种报法．由分步乘法计数原理得共有12×3=36种报法．

法二：第一步，将3名同学分成两组，一组1人，一组2人，共C种方法；第二步，从4个社团里选取2个社团让两组同学分别报名，共A种方法．由分步乘法计数原理得共有C·A=36种报法．

答案为：36

B级——难度小题强化练

1．答案为：A　法一：记演出顺序为1～6号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4号，4和5号，5和6号，其排法分别为AA，AA，CAA，CAA，CAA，故总编排方案有AA＋AA＋CAA＋CAA＋CAA=120(种)．

法二：记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有CAA=48(种)；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA=36(种)；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA=36(种)．所以编排方案共有48＋36＋36=120(种)．

2．答案为：D　a=sin xdx=(－cos x)|=(－cos π)－(－cos 0)=1－(－1)=2，则6的展开式的通项为Tr＋1=C26－r(－1)rx，令6－3r=0得r=2，所以展开式中的常数项为C·24·(－1)2=240.故选D.

3．答案为：C　由题意知：当m=4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a1=0，a8=1.不考虑限制条件“对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C=20(种)，其中存在k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数少于1的个数的情况有：①若a2=a3=1，则有C=4(种)；②若 a2=1，a3=0，则a4=1，a5=1，只有1种；③若a2=0，则a3=a4=a5=1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6=14(种)．故共有14个．故选C.

4．答案为：A　由题意得，先将4名大学生平均分为两组，共有=3(种)不同的分法，再将两组安排在其中的两个部门，共有3×A=60(种)不同的安排方法．故选A.

5．解析：根据所组成的没有重复数字的四位偶数的个位是否为0进行分类计数：第一类，个位是0时，满足题意的四位偶数的个数为A=6；第二类，个位是2时，满足题意的四位偶数的个数为C·A=4.由分类加法计数原理得，满足题意的四位偶数的个数为6＋4=10.

答案为：10

6．解析：令x=0，y=1，得(1＋b)5=243，解得b=2.

因为x∈，所以x＋∈，

则sin x＋cos x=sin∈[1，]，

所以f(x)==

=

=sin x＋cos x＋

≥2=2，

当且仅当sin x＋cos x=1时取“=”，

所以f(x)的最小值为2.

答案为：2