高考数学二轮复习课时跟踪检测 12直线与圆小题练（含答案解析）

课时跟踪检测  直线与圆（小题练）

A级——12＋4提速练

一、选择题

1．已知直线l1：x＋2ay－1=0，l2：(a＋1)x－ay=0，若l1∥l2，则实数a的值为(　　)

A．－　　　　　　　　 B．0

C．－或0  D．2

2．经过三点A(－1,0)，B(3,0)，C(1,2)的圆的面积S=(　　)

A．π  B．2π

C．3π  D．4π

3．已知圆(x－1)2＋y2=1被直线x－y=0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为(　　)

A．1∶2  B．1∶3

C．1∶4  D．1∶5

4．已知直线3x＋ay=0(a>0)被圆(x－2)2＋y2=4所截得的弦长为2，则a的值为(　　)

A.  B.

C．2  D．2

5．已知圆(x－a)2＋y2=1与直线y=x相切于第三象限，则a的值是(　　)

A.  B．－

C．±  D．－2

6．已知圆C过点A(2,4)，B(4,2)，且圆心C在直线x＋y=4上，若直线x＋2y－t=0与圆C相切，则t的值为(　　)

A．－6±2  B．6±2

C．2±6  D．6±4

7．若过点A(1,0)的直线l与圆C：x2＋y2－6x－8y＋21=0相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，l与直线x＋2y＋2=0的交点为N，则|AM|·|AN|的值为(　　)

A．5  B．6

C．7  D．8

8．圆(x－3)2＋(y－3)2=9上到直线3x＋4y－11=0的距离等于2的点有(　　)

A．1个  B．2个

C．3个  D．4个

9．圆x2＋y2=1上的点到直线3x＋4y－25=0的距离的最小值为(　　)

A．4  B．3

C．5  D．6

10．若过点A(3,0)直线l与曲线(x－1)2＋y2=1有公共点，则直线l斜率取值范围为(　　)

A．(－，)  B．[－， ]

C.  D.

11．在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1,0)，B(0,1)，则满足|PA|2－|PB|2=4且在圆x2＋y2=4上的点P的个数为(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

12．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－2)，点B(1，－1)，P为圆x2＋y2=2上一动点，则的最大值是(　　)

A．1  B．3

C．2  D.

二、填空题

13．直线y=x＋1与圆x2＋y2＋2y－3=0交于A，B两点，则|AB|=________.

14．如果直线ax＋2y＋3a=0与直线3x＋(a－1)y=a－7平行，则a=________.

15．过点M的直线l与圆C：(x－1)2＋y2=4交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为____________________．

16．过点(，0)作直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于________．

B级——难度小题强化练

1．已知圆C：(x－2)2＋y2=2，直线l：y=kx，其中k为[－，]上的任意一个数，则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为(　　)

A.   B.

C.  D.

2．设圆x2＋y2－2x－2y－2=0的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|=2，则直线l的方程为(　　)

A．3x＋4y－12=0或4x－3y＋9=0

B．3x＋4y－12=0或x=0

C．4x－3y＋9=0或x=0

D．3x－4y＋12=0或4x＋3y＋9=0

3．已知圆O：x2＋y2=1，点P为直线＋=1上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点(　　)

A.   B.

C.  D.

4.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x＋1与圆x2＋y2=4相交于A，B两点，则cos∠AOB=(　　)

A.  B．－

C.  D．－

5．已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋1=0上存在两点关于直线l：x＋my＋1=0对称，经过点M(m，m)作圆C的切线，切点为P，则|MP|=________.

6．已知m>0，n>0，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2=0与圆(x－1)2＋(y－1)2=1相切，则m＋n的取值范围是____________．

答案解析

一、选择题

1．答案为：C　由l1∥l2得1×(－a)=2a(a＋1)，即2a2＋3a=0，解得a=0或a=－.经检验，当a=0或a=－时均有l1∥l2，故选C.

2．答案为：D　法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0(D2＋E2－4F>0)，将A(－1,0)，B(3,0)，C(1,2)的坐标代入圆的方程可得解得D=－2，E=0，F=－3，所以圆的方程为x2＋y2－2x－3=0，即(x－1)2＋y2=4，所以圆的半径r=2，所以S=4π.故选D.

法二：根据A，B两点的坐标特征可知圆心在直线x=1上，设圆心坐标为(1，a)，则r==|a－2|，所以a=0，r=2，所以S=4π，故选D.

3．答案为：A　(x－1)2＋y2=1的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d==，所以较短弧所对的圆心角为，较长弧所对的圆心角为，故两弧长之比为1∶2，故选A.

4．答案为：B　由已知条件可知，圆的半径为2，又直线被圆所截得的弦长为2，故圆心到直线的距离为，即=，得a=.

5．答案为：B　依题意得，圆心(a,0)到直线x－y=0的距离等于半径，即有=1，|a|=.又切点位于第三象限，结合图形(图略)可知，a=－，故选B.

6．答案为：B　因为圆C过点A(2,4)，B(4,2)，所以圆心C在线段AB的垂直平分线y=x上，又圆心C在直线x＋y=4上，联立解得x=y=2，即圆心C(2,2)，圆C的半径r==2.又直线x＋2y－t=0与圆C相切，所以=2，解得t=6±2.

7．答案为：B　圆C的方程化成标准方程可得(x－3)2＋(y－4)2=4，故圆心C(3,4)，半径为2，则可设直线l的方程为kx－y－k=0(k≠0)，由得N，又直线CM与l垂直，得直线CM的方程为y－4=－(x－3)．

由得M，

则|AM|·|AN|=·=××=6.故选B.

8．答案为：B　圆(x－3)2＋(y－3)2=9的圆心为(3,3)，半径为3，圆心到直线3x＋4y－11=0的距离d==2，∴圆上到直线3x＋4y－11=0的距离为2的点有2个．故选B.

9．答案为：A　易知圆x2＋y2=1的圆心坐标为(0,0)，半径为1，圆心到直线3x＋4y－25=0的距离d==5，所以圆x2＋y2=1上的点到直线3x＋4y－25=0的距离的最小值为5－1=4.

10．答案为：D　数形结合可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k(x－3)，则圆心(1,0)到直线y=k(x－3)的距离应小于等于半径1，即≤1，解得－≤k≤，故选D.

11．答案为：C　设P(x，y)，则由|PA|2－|PB|2=4，得(x＋1)2＋y2－x2－(y－1)2=4，所以x＋y－2=0.求满足条件的点P的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离d==＜2=r，所以直线与圆相交，交点个数为2.故满足条件的点P有2个．

12．答案为：C　设动点P(x，y)，令=t(t>0)，则=t2，整理得，(1－t2)x2＋(1－t2)y2－2x＋(2－4t2)y＋2－4t2=0，(*)

易知当1－t2≠0时，(*)式表示一个圆，且动点P在该圆上，

又点P在圆x2＋y2=2上，所以点P为两圆的公共点，两圆方程相减得两圆公共弦所在直线l的方程为x－(1－2t2)y－2＋3t2=0，

所以圆心(0,0)到直线l的距离d=≤，解得0<t≤2，

所以的最大值为2.

13．解析：由x2＋y2＋2y－3=0，得x2＋(y＋1)2=4.

∴圆心C(0，－1)，半径r=2.圆心C(0，－1)到直线x－y＋1=0的距离d==，

∴|AB|=2=2=2.

答案为：2

14．解析：由直线ax＋2y＋3a=0与直线3x＋(a－1)y＋7－a=0平行，可得解得故a=3.

答案为：3

15．解析：易知当CM⊥AB时，∠ACB最小，直线CM的斜率为kCM==－2，从而直线l的斜率为kl=－=，其方程为y－1=，即2x－4y＋3=0.

答案为：2x－4y＋3=0

16．解析：令P(，0)，如图，易知|OA|=|OB|=1，所以S△AOB=|OA|·|OB|·sin∠AOB=sin∠AOB≤，当∠AOB=90°时，△AOB的面积取得最大值，此时过点O作OH⊥AB于点H，则|OH|=，于是

sin∠OPH===，易知∠OPH为锐角，所以∠OPH=30°，则直线AB的倾斜角为150°，故直线AB的斜率为tan 150°=－.

答案为：－

B级——难度小题强化练

1．答案为：D　当直线l与圆C相离时，圆心C到直线l的距离d=>，解得k>1或k<－1，又k∈[－，]，所以－≤k<－1或1<k≤，故事件“直线l与圆C相离”发生的概率P==，故选D.

2．答案为：B　圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－1)2=4，圆心C(1,1)，半径r=2，当直线l的斜率不存在时，方程为x=0，计算出弦长为2，符合题意；

当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx＋3，由弦长为2可知，圆心到该直线的距离为1，从而有=1，解得k=－，此时方程为y=－x＋3，即3x＋4y－12=0.综上，直线l的方程为x=0或3x＋4y－12=0，故选B.

3．答案为：B　因为点P是直线＋=1上的一动点，所以设P(4－2m，m)．

因为PA，PB是圆x2＋y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以OA⊥PA，OB⊥PB，所以点A，B在以OP为直径的圆C上，即弦AB是圆O和圆C的公共弦．

因为圆心C的坐标是，且半径的平方r2=，所以圆C的方程为(x－2＋m)22=，①又x2＋y2=1，②

所以②－①得，(2m－4)x－my＋1=0，

即公共弦AB所在的直线方程为(2x－y)m＋(－4x＋1)=0，所以由

得所以直线AB过定点.故选B.

4.答案为：D　法一：因为圆x2＋y2=4的圆心为O(0,0)，半径为2，所以圆心O到直线y=2x＋1的距离d==，所以弦长|AB|=2=2.在△AOB中，由余弦定理得cos∠AOB===－.

法二：取AB的中点D，连接OD(图略)，则OD⊥AB，且∠AOB=2∠AOD，又圆心到直线的距离d==，即|OD|=，所以cos∠AOD==，

故cos∠AOB=2cos2∠AOD－1=2×2－1=－.

5．解析：圆C：x2＋y2－2x－4y＋1=0的圆心坐标为C(1,2)，半径r=2，因为圆上存在两点关于直线l对称，所以直线l：x＋my＋1=0过点(1,2)，所以1＋2m＋1=0，得m=－1，所以M(－1，－1)，|MC|2=(1＋1)2＋(2＋1)2=13，r2=4，所以|MP|==3.

答案为：3

6．解析：因为m>0，n>0，直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2=0与圆(x－1)2＋(y－1)2=1相切，所以圆心C(1,1)到直线的距离d==1，即|m＋n|=，两边平方并整理得m＋n＋1=mn≤2，即(m＋n)2－4(m＋n)－4≥0，解得m＋n≥2＋2，所以m＋n的取值范围为[2＋2，＋∞)．

答案为：[2＋2，＋∞)