高考数学二轮复习课时跟踪检测 15圆锥曲线中的定点定值存在性问题大题练（含答案解析）

这是一份高考数学二轮复习课时跟踪检测 15圆锥曲线中的定点定值存在性问题大题练（含答案解析），共8页。试卷主要包含了已知椭圆C，设抛物线C，已知点M是椭圆C等内容，欢迎下载使用。
课时跟踪检测 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题（大题练）A卷——大题保分练1．已知椭圆C：＋=1(a>b>0)的右焦点F(，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明直线l过定点，并求出该定点的坐标．                  2．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．                      3.如图，椭圆C：＋=1(a>b>0)的左顶点与上顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在椭圆C上，且PF⊥x轴，若AB∥OP，且|AB|=2.(1)求椭圆C的方程；(2)已知Q是C上不同于长轴端点的任意一点，在x轴上是否存在一点D，使得直线QA与QD的斜率乘积恒为－，若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由．            4．已知椭圆C：＋=1(a>b>0)的焦距为4，P是椭圆C上的点．(1)求椭圆C的方程；(2)O为坐标原点，A，B是椭圆C上不关于坐标轴对称的两点，设=＋，证明：直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值．                    B卷——深化提能练1．在平面直角坐标系中，直线x－y＋m=0不过原点，且与椭圆＋=1有两个不同的公共点A，B.(1)求实数m的取值所组成的集合M；(2)是否存在定点P使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补？若存在，求出所有定点P的坐标；若不存在，请说明理由．                2．已知直线l：x=my＋1过椭圆C：＋=1(a>b>0)的右焦点F，抛物线x2=4y的焦点为椭圆C的上顶点，且l交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线x=4上的射影依次为D，K，E.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l交y轴于点M，且=λ1，=λ2，当m变化时，证明：λ1＋λ2为定值；(3)当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．                  3．已知点M是椭圆C：＋=1(a>b>0)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，|F1F2|=4，∠F1MF2=60°，△F1MF2的面积为.(1)求椭圆C的方程；(2)设N(0,2)，过点P(－1，－2)作直线l，交椭圆C于异于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1＋k2为定值．               4．已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=8y的焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)如图，已知P(2,3)，Q(2，－3)是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．                参考答案A卷——大题保分练1．解：(1)由题意得，c=，=2，a2=b2＋c2，∴a=2，b=1，∴椭圆C的标准方程为＋y2=1.(2)证明：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx＋m(m≠1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由消去y可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4=0.∴Δ=16(4k2＋1－m2)>0，x1＋x2=，x1x2=.∵点B在以线段MN为直径的圆上，∴·=0.∵·=(x1，kx1＋m－1)·(x2，kx2＋m－1)=(k2＋1)x1x2＋k(m－1)(x1＋x2)＋(m－1)2=0，∴(k2＋1)＋k(m－1)＋(m－1)2=0，整理，得5m2－2m－3=0，解得m=－或m=1(舍去)．∴直线l的方程为y=kx－.易知当直线l的斜率不存在时，不符合题意．故直线l过定点，且该定点的坐标为.2．解：(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y=k(x－1)(k>0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2=0.Δ=16k2＋16>0，故x1＋x2=.所以|AB|=|AF|＋|BF|=(x1＋1)＋(x2＋1)=.由题设知=8，解得k=1或k=－1(舍去)．因此l的方程为y=x－1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2=－(x－3)，即y=－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2=16或(x－11)2＋(y＋6)2=144.  3.解：(1)由题意得A(－a,0)，B(0，b)，可设P(c，t)(t>0)，∴＋=1，得t=，即P，由AB∥OP得=，即b=c，∴a2=b2＋c2=2b2，①又|AB|=2，∴a2＋b2=12，②由①②得a2=8，b2=4，∴椭圆C的方程为＋=1.(2)假设存在D(m,0)，使得直线QA与QD的斜率乘积恒为－，设Q(x0，y0)(y0≠0)，则＋=1，③∵kQA·kQD=－，A(－2，0)，∴·=－(x0≠m)，④由③④得(m－2)x0＋2m－8=0，即解得m=2，∴存在点D(2，0)，使得kQA·kQD=－.4．解：(1)由题意知2c=4，即c=2，则椭圆C的方程为＋=1，因为点P在椭圆C上，所以＋=1，解得a2=5或a2=(舍去)，所以椭圆C的方程为＋y2=1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2且x1＋x2≠0，由＋=，得D(x1＋x2，y1＋y2)，所以直线AB的斜率kAB=，直线OD的斜率kOD=，由得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)=0，即·=－，所以kAB·kOD=－.故直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值－.B卷——深化提能练1．解：(1)因为直线x－y＋m=0不过原点，所以m≠0.将x－y＋m=0与＋=1联立，消去y，得4x2＋2mx＋m2－4=0.因为直线与椭圆有两个不同的公共点A，B，所以Δ=8m2－16(m2－4)>0，所以－2<m<2.故实数m的取值所组成的集合M为(－2，0)∪(0,2)．(2)假设存在定点P(x0，y0)使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补，即kPA＋kPB=0.令A(x1，x1＋m)，B(x2，x2＋m)，则＋=0，整理得2x1x2＋(m－x0－y0)(x1＋x2)＋2x0(y0－m)=0.(*)由(1)知x1＋x2=－，x1x2=，代入(*)式化简得m＋2(x0y0－)=0，则解得或所以定点P的坐标为(1，)或(－1，－)．经检验，此两点均满足题意．故存在定点P使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补，且定点P的坐标为(1，)或(－1，－)．2．解：(1)∵直线x=my＋1过椭圆的右焦点，∴右焦点F(1,0)，c=1，即c2=1.∵x2=4y的焦点(0，)为椭圆C的上顶点，∴b=，即b2=3，a2=b2＋c2=4，∴椭圆C的方程为＋=1.(2)由题意知m≠0，由得(3m2＋4)y2＋6my－9=0.显然Δ>0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2=－，y1y2=－.∵=λ1，=λ2，M，∴=λ1(1－x1，－y1)，=λ2(1－x2，－y2)，∴λ1=－1－，λ2=－1－，∴λ1＋λ2=－2－=－2－÷=－.综上所述，当m变化时，λ1＋λ2为定值－.(3)当m=0时，直线l⊥x轴，则四边形ABED为矩形，易知AE与BD相交于点N，则若当m变化时，直线AE与BD相交于定点，则定点必为N，证明如下：==，易知E(4，y2)，则=.∵y2－(－y1)=(y1＋y2)－my1y2=－m=0，∴∥，即A，N，E三点共线．同理可得B，N，D三点共线．则猜想成立，故当m变化时，直线AE与BD相交于定点N.    3．解：(1)在△F1MF2中，由|MF1||MF2|sin 60°=，得|MF1||MF2|=.由余弦定理，得|F1F2|2=|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|cos 60°=(|MF1|＋|MF2|)2－2|MF1|·|MF2|(1＋cos 60°)，从而2a=|MF1|＋|MF2|=4，即a=2，从而b=2，故椭圆C的方程为＋=1.(2)当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋2=k(x＋1)，由得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2=－，x1x2=.从而k1＋k2=＋==2k－(k－4)=4.当直线l的斜率不存在时，可取A，B，得k1＋k2=4.综上，恒有k1＋k2=4.4．解：(1)设椭圆C的方程为＋=1(a>b>0)，则b=2.由=，a2=c2＋b2，得a=4，∴椭圆C的方程为＋=1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．①设直线AB的方程为y=x＋t，代入＋=1，得x2＋tx＋t2－12=0，由Δ>0，解得－4<t<4，由一元二次方程根与系数的关系得x1＋x2=－t，x1x2=t2－12，∴|x1－x2|===.∴四边形APBQ的面积S=×6×|x1－x2|=3.∴当t=0时，S取得最大值，且Smax=12.②若∠APQ=∠BPQ，则直线PA，PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为－k，直线PA的方程为y－3=k(x－2)，由得(3＋4k2)x2＋8(3－2k)kx＋4(3－2k)2－48=0，∴x1＋2=，将k换成－k可得x2＋2==，∴x1＋x2=，x1－x2=，∴kAB====，∴直线AB的斜率为定值.