_数学丨江苏省灌南高级中学2024届高三上学期暑期检测（二）数学试卷及答案

这是一份_数学丨江苏省灌南高级中学2024届高三上学期暑期检测（二）数学试卷及答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
灌南高级中学2023-2024学年第一学期高三数学试卷（2）命题人：   审核人：  考试时间：120分钟  总分：150分一、单选题1.  设，，为实数，且，则下列不等式正确的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  设集合，，若，，则(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知，那么命题的一个必要条件是(    )A.  B.  C.  D. 4.  若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为(    )A.  B.  C.  D. 5.  已知，则的最小值是(    )A.  B.  C.  D. 6.  设，，，则，，的大小关系为(    )A.  B.  C.  D. 7.  函数的部分图象大致为(    )A.  B.
C.  D. 8.  已知函数是定义在区间上的偶函数，且当时，，则方程根的个数为(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题9.  已知，，且，则(    )A.  B.      C.  D. 10.  下列叙述中正确的是(    )A. 若是的必要不充分条件，则
B. 若，，均为实数，则“”是“”的必要不充分条件
C. 若，使不等式成立，则
D. “”是“”的充分不必要条件11.  已知函数为上的奇函数，为偶函数，下列说法正确的有(    )A. 图象关于直线对称 B.
C. 的最小正周期为 D. 对任意都有12.  下列说法正确的是(    )A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 的最大值为
C. 的图象关于成中心对称
D. 函数的减区间是三、填空题13.  计算：          ．14.  已知，，则的范围是          15.  已知集合若，则实数的取值范围是          ．16.  定义在上的奇函数，当时，则函数的所有零点之和为          ．四、解答题17. 在中，角，，的对边分别是，，，已知．求角；若，且的面积为，求的值．  18. 在，，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．已知等差数列的公差，前项和为，若________，数列满足，，．求的通项公式；求的前项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．   19. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，．求直线与平面所成角的正弦值求二面角的余弦值．    20. 乒乓球被称为我国的国球，是一种深受人们喜爱的球类体育项目．某次乒乓球比赛中，比赛规则如下：比赛以分为一局，采取七局四胜制．在一局比赛中，先得分的选手为胜方；如果比赛一旦出现平，先连续多得分的选手为胜方．假设甲选手在每一分争夺中得分的概率为．在一局比赛中，若现在甲、乙两名选手的得分为比平，求这局比赛甲以先得分获胜的概率．假设甲选手每局获胜的概率为，在前三局甲获胜的前提下，记表示到比赛结束时还需要比赛的局数，求的分布列及数学期望．   21. 已知双曲线：的左、右顶点分别为，，离心率为．过右焦点的直线与双曲线交于，两点，且的面积是，求直线的方程；设点，在双曲线的右支上，直线，在轴上的截距之比为，证明：直线过定点．   22.  已知函数．
若，求的极值．
若方程在区间上有解，求实数的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．
：作差判断不成立；：时不成立；：作差判断不成立．【解答】解：对于：，故，故A不正确；
对于：在时，不成立，故B不正确；
对于：，故，故C不正确．
故选D．  2.【答案】 【解析】【分析】本题考查含参数的集合关系的问题，交集运算，属于基础题．
根据包含关系结合交集的结果可求的值．【解答】解：因为，则，解得或，
若，则，，此时，符合题意
若，则，，此时，不符合题意，
故．
故选B．  3.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查必要条件，充分条件与充要条件的判定．
先求出的取值范围，运用充分、必要条件的概念逐项判断即可．【解答】解：，运用集合的知识易知，
中是的充要条件
中是的必要条件
中是的充分条件
中是的既不充分也不必要条件．
故选B．  4.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查了二次不等式的恒成立求解参数范围，体现了不等式与函数相互转化思想的应用，属于基础题．
由对一切实数都成立，讨论是否为零，结合函数的图象性质分类讨论进行求解．【解答】解：对一切实数都成立，
时，恒成立，
时，，
解可得，
综上可得，
故选D．  5.【答案】 【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，在利用基本不等式求最值时，要注意配凑“定值”的条件，注意“一正、二定、三相等”基本思想的应用．
将代数式  与代数式  相乘，展开后利用基本不等式求出代数式的最小值，然后在不等式两边同时除以  可得出答案．【解答】解：因为  ，
又  ，当且仅当  时取  ，所以  ，故选B．  6.【答案】 【解析】【分析】本题考查了利用指数函数和对数函数的性质比较大小，属于基础题．
根据指数函数和对数函数的单调性，借助中间量即可求出．【解答】解：，，
由函数是上的增函数，，
则，即，
由函数是上的减函数，，
则，
，
故选：．  7.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，属于基础题．
根据条件判断函数的奇偶性和对称性以及的符号，根据排除法进行判断即可．【解答】解：，其定义域为，关于原点对称，
则，
则是奇函数，图象关于原点对称，排除，，
，排除，
故选D．  8.【答案】 【解析】【分析】本题考查函数零点与方程根的关系，考查运算能力与数形结合思想，属于中档题．
方程根的个数函数与函数的图象交点个数可解决此题．【解答】解：方程根的个数函数与函数的图象交点个数，图象如下：

由图象可知两函数图象有个交点．
故选：．  9.【答案】 【解析】【分析】本题考查基本不等式的应用、不等式的基本性质的应用，属于中档题．
利用基本不等式判断、利用题中条件及不等式的基本性质，即可判断、．【解答】解：由题意，根据基本不等式可知，则，
当且仅当，时，等号成立，故A正确；
因为，，变形得 ，
所以
当且仅当，即，时，等号成立，
所以，故B错误；
由，，，所以，即，故C正确；
由，可得，
根据前面分析得，即，所以，即，故D正确．
故选：．  10.【答案】 【解析】【分析】本题考查必要条件、充分条件的判断，一元二次不等式存在性问题，属于中档题．
根据必要条件、充分条件的定义判断，根据不等式存在性问题的解法判断即可．【解答】解：对于，若是的必要不充分条件，
则且等号不同时成立，解得，故A错误；
对于，当，时，不能推得，
反之，若，则，能推得，
所以，“”是“”的必要不充分条件，故B正确；
对于，，使不等式成立，
即，，
因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
，
所以，所以，故C错误；
对于，能推得，
反之，不能推得，如，
所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确．
故选BD．  11.【答案】 【解析】【分析】本题考查了函数奇偶性以及对称性，周期性的判定，属于中档题．
结合奇偶性，对称性，以及周期性的特点逐项求解即可．【解答】解：由题意可知，图象的对称中心为，对称轴为，
所以也关于直线对称，且，故A、D正确；
因为，故，
所以，所以的周期为，
则，故B正确
但只能说是的周期，不能确实是其最小正周期，故C错误
故选ABD．  12.【答案】 【解析】【分析】本题考查函数定义域、复合函数的单调性、函数的最值和函数的对称性，属于拔高题；
根据函数定义域可判断，再根据函数最值判断，根据函数图象的平移变换判断，根据函数的单调递减性判断出即可．【解答】解：对于，函数的定义域为，，则函数的定义域为，故A正确
对于，，因为，所以，所以当时函数取得的最小值为，故B不正确
对于，因为的对称中心，将函数的图象向左平移个单位，
向上平移个单位得到，对称中心为，故C正确；
对于，为开口向上的二次函数，且时，解得或，
函数的减区间是，故D错误；
故选AC．  13.【答案】 【解析】【分析】本题考查指数幂的运算，考查对数的运算，属于基础题．
根据指数幂和对数的运算性质，即可求解．【解答】解：原式

．
故答案为：．  14.【答案】 【解析】【分析】本题考查了不等式的基本性质，考查了计算能力，属于中档题．
由，，设，联立，解得，即可得答案．【解答】解：由，，
设
，
，解得．
，，

的取值范围是，
故答案为．  15.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查了集合的相关概念以及子集和交集的概念，属于中档题．
根据题意，若，则，分情况讨论，进而求解，得出答案．【解答】解：已知集合．
若，则，
当，即时，满足条件；
当，即时，若，则或，
得；
综上，实数的取值范围是，
故答案为： ．  16.【答案】 【解析】【分析】本题考查了函数的零点及数形结合的思想应用，属于较综合的中档题．
作函数与的图象，从而可得函数有个零点，设个零点分别为，，，，，从而结合图象，根据图像的对称性解得．【解答】解：当时，
根据奇函数关于原点对称，作出函数在上的图象如图所示，

设函数的图象与交点的横坐标从左到右依次为，，，，，
由图象的对称性可知，，，，
当时，，则，
令，解得，
所以函数的所有零点之和为．
故答案为：．  17.【答案】解：由及正弦定理得，，又， ，
又， ．的面积为， ，由余弦定理得，
 ． 【解析】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和差公式、诱导公式以及三角形面积公式，属于中档题．
根据正弦定理和两角和得正弦公式和诱导公式可得结果；
先由三角形的面积公式求出，再根据余弦定理即可求出的值．
 18.【答案】解：若选，因为n＋1，
当n=1时，所以
又因为，所以，
；
若选因为n＋1，
当n=1时，所以.
，，，
．
若选因为n＋1，
当n=1时，所以.
，，，．
由知n＋1，即，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以． 【解析】此题考查等差等比数列综合应用，考查数列的基本运算，属于中档题．
根据所选方案，结合条件求得等差数列首项与公差，即可求得通项公式；
由得到数列的递推关系，证明其为等比数列，由等比数列的求和公式即可求得结果．
 19.【答案】解：由条件可知、、两两垂直，如图，
以、、为，，轴的正方向建立空间直角坐标系．设，则，，，，．，，，
设平面的一个法向量为，
则
则
令，则，，平面的一个法向量为，，，
即所求角的正弦值为．由，，
设平面的一个法向量为，
则
则
令，则，，
得平面的一个法向量为，，，
又二面角的平面角为锐角，
所以所求二面角的余弦值为． 【解析】本题考查利用空间向量求线面角及二面角．
建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出的坐标，平面的一个法向量，代入夹角公式可求解．
求出平面的一个法向量，代入夹角公式可求解．
 20.【答案】解：设“这局比赛甲以先得分获胜”为事件，
“甲乙再打个球，甲先得分获胜”为事件，
“甲乙再打个球，甲先得分获胜”为事件，
则事件中包含事件和事件，且事件和事件互斥．
事件即为甲乙再打个球，这个球均为甲胜，
则，
事件即为甲乙再打个球，则前三个球甲赢个，最后个球甲赢，
则，
所以．
的可能取值为、、、，则
，
，
，
，
所以的分布列为：故的数学期望． 【解析】本题考查离散型随机变量的分布列和期望、互斥事件的概率加法公式，属于中档题．
这局比赛甲以先得分获胜包含两种情况：甲乙再打个球，甲先得分获胜的概率；甲乙再打个球，甲先得分获胜的概率先分别求出每种情况的概率，再利用互斥事件的概率加法公式求出这局比赛甲以先得分获胜的概率；
求出的所有可能取值和对应概率，得到的分布列，即可求出的数学期望．
 21.【答案】解：易知，由  ，得， 
设，，直线：， 
由  消去，得，
则  ，    
 ．
  ，
  ，
整理得 
解得或  舍去，
直线：．设，与轴分别交于，，， 
设，，  ，， 
设，
则  ，
   
设直线的方程为，， 
  
，
，
则
 ，  ，
  ， 
，
，
  ，
直线不过，，
，
，得，
直线过定点． 【解析】本题考查了双曲线的方程、直线与双曲线的位置关系、直线过定点问题，解题中需要一定的计算能力．
由已知可得，由离心率得，由即可求得的方程，设直线：，联立直线方程与双曲线方程由弦长公式即可求解；
由题可得结合得，设直线的方程为：，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及斜率公式进行求解．
 22.【答案】解：因为定义域为，
所以，
当时，，，
令，得，舍去，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为，无极大值．
因为，
若，当时，恒成立，所以在上单调递增，
要使方程在上有解，则，解得，
因为，所以；
若，当时，恒成立，所以在上单调递减，此时，不符合条件；
若，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
此时，，要使方程在上有解，
则需，解得，所以，
综上可知，的取值范围为． 【解析】本题主要考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于较难题．
求出函数的定义域与导数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；
对参数分，，三种情况讨论，分别求出函数的单调性，即可得到函数的极值，从而得到不等式，即可求出参数的取值范围．