2020届宁夏石嘴山市高三适应性测试数学（文）试题（解析版）

2020届宁夏石嘴山市高三适应性测试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）.

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先解对数不等式求得集合B，再运用集合的交集运算可得选项.

【详解】

由已知得，所以.

故选：A.

【点睛】

本题考查集合的交集运算，对数不等式的求解，属于基础题.

2．设复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】分析：先根据复数除法得，再根据复数的模求结果.

详解：因为，所以,

因此

选D.

点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为

3．为等差数列的前项和，若，则（    ）.

A．-1 B．0 C．1 D．2

【答案】B

【解析】由可得选项.

【详解】

因为，所以，

故选：B.

【点睛】

本题考查等差数列的前n项和公式和等差中项的性质，属于基础题.

4．通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量的观测值，参照附表，得到的正确结论是（    ）

A．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

【答案】C

【解析】通过计算得到统计量值的观测值，参照题目中的数值表，即可得出正确的结论.

【详解】

解：∵计算得到统计量值的观测值，

参照题目中的数值表，得到正确的结论是：

在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”.

故选：C.

【点睛】

本题考查独立性检验，属于基础题．

5．已知向量，满足，，且与的夹角为，（    ）.

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由向量的数量积运算公式展开计算即可.

【详解】

，

故选：A.

【点睛】

本题考查了向量数量积的公式及其运算性质，属于基础题

6．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】将圆锥的体积用两种方式表达，即，解出即可.

【详解】

设圆锥底面圆的半径为r，则，又，

故，所以，.

故选：C.

【点睛】

本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、创新能力.

7．已知，是两个不同的平面，直线，下列命题中正确的是(    )

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【解析】通过反例可确定错误；由面面垂直的判定定理可知正确.

【详解】

若且，则与相交、平行或，，错误；

若且，则与可能相交或平行，错误；

由面面垂直判定定理可知，选项的已知条件符合定理，则，正确.

故选

【点睛】

本题考查立体几何中直线与平面、平面与平面位置关系的相关命题的判定，关键是能够熟练掌握线面平行、面面平行、线面垂直和面面垂直的判定与性质定理.

8．函数y＝xcos x＋sin x的图象大致为 (　　)．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由于函数y=xcosx+sinx为奇函数，

故它的图象关于原点对称，所以排除选项B，

由当时，y=1>0，

当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=−π<0.

由此可排除选项A和选项C.

故正确的选项为D.

故选D.

9．要得到函数的图象，可将的图象向左平移（    ）

A．个单位 B．个单位 C．个单位 D．个单位

【答案】A

【解析】利用辅助角公式化简函数的解析式，然后利用三角函数图象的平移变换规律可得出结论.

【详解】

，

因此，将的图象向左平移可得到函数的图象.

故选：A.

【点睛】

本题考查三角函数图象的平移变换，在平移时要将两个函数的解析式化简，函数名称要保持一致，考查推理能力，属于中等题.

10．数学老师给出一个定义在R上的函数f(x)，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质:

甲:在(-∞,0)上函数单调递减;        乙:在[0,+∞] 上函数单调递增;

丙:函数f(x)的图象关于直线x=1对称； 丁: f(0)不是函数的最小值．

老师说:你们四个同学中恰好有三个人说的正确，则说法错误的同学是(    )

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】B

【解析】先假设四个人中有两个人正确，由此推出矛盾，由此得到假设不成立，进而判断出说法错误的同学.

【详解】

先假设甲、乙正确，由此判断出丙、丁错误，与已知矛盾，由此判断甲、乙两人有一人说法错误，丙、丁正确.而乙、丙说法矛盾，由此确定乙说法错误.

【点睛】

本小题主要考查逻辑推理能力，涉及到函数性质，包括单调性、对称性和最值，属于基础题.

11．若双曲线的一条渐近线被曲线所截得的弦长为2．则双曲线C的离心率为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先求出双曲线的渐近线方程，再根据弦长求出，再求双曲线C的离心率得解.

【详解】

双曲线的渐近线方程为，

由对称性，不妨取，即．

又曲线化为，

则其圆心的坐标为，半径为．

由题得，圆心到直线的距离，

又由点到直线的距离公式．可得．

解得，所以．

故选B．

【点睛】

本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查直线和圆的位置关系和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.

12．已知函数，函数有四个不同的零点，，，，且满足：，则的值是（    ）.

A．-4 B．-3 C．-2 D．-1

【答案】A

【解析】作出函数图象，根据函数图象得出4个零点的关系及范围，进而得出结论.

【详解】

函数的四个不同的零点，，，，就是函数与两个图象四个交点的横坐标，

作出函数的图象如下图所示，

根据二次函数的性质和图象得出，所以，

又，且，所以，

即，所以，

所以，

故选：A.

【点睛】

本题考查函数的零点，考查数形结合思想，解题时把函数零点转化为函数图象交点问题是解决问题的关键，属于中档题.

二、填空题

13．已知等比数列满足，，则________.

【答案】

【解析】由已知结合等比数列的性质及通项公式可求公比q及首项，进而可求.

【详解】

解：因为，，

所以，

∴，

所以

则.

故答案为：

【点睛】

本题考查等比数列的基本量运算，掌握等比数列的通项公式是解题关键．

14．若实数满足不等式组则目标函数的最大值为__________．

【答案】12

【解析】画出约束条件的可行域，求出最优解，即可求解目标函数的最大值．

【详解】

根据约束条件画出可行域，如下图，由，解得

目标函数，当过点时，有最大值，且最大值为．

故答案为．

【点睛】

本题考查线性规划的简单应用，属于基础题．

15．曲线在处的切线方程是________.

【答案】

【解析】求出函数的导函数，把代入即可得到切线的斜率，然后根据和斜率写出切线的方程即可.

【详解】

解：由函数知，

把代入得到切线的斜率

则切线方程为：，即.

故答案为：

【点睛】

本题考查导数的几何意义，属于基础题．

16．已知三棱锥中，平面，若，，与平面所成线面角的正弦值为，则三棱锥外接球的表面积为______．

【答案】

【解析】根据已知可得，可得三棱锥的外接球，即为以，，为长宽高的长方体的外接球，根据已知、、的长，代入长方体外接球直径（长方体对角线）公式，易得球半径，即可求出三棱锥外接球的表面积．

【详解】

解：平面，与平面所成线面角的正弦值为，，，

根据勾股定理可得，

在中，，，，则为直角三角形．

三棱锥外接球即为以，，为长宽高的长方体的外接球，

故，三棱锥外接球的表面积为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查的知识点是球内接多面体，其中利用割补法，将三棱锥的外接球，转化为一个长方体的外接球是解答的关键，属于中档题．

三、解答题

17．在锐角中，、、分别为角、、所对的边，且．

（1）确定角的大小；

（2）若，且的面积为，求的值．

【答案】（1）；（2）5.

【解析】（1）利用正弦定理边化角，化简即可求解.

（2）由三角形面积公式，求得，再结合余弦定理，即可求出.

【详解】

（1）由及正弦定理得，．

∵，∴．∵是锐角三角形，∴．

（2）∵，面积为，∴，即．①

∵，∴由余弦定理得，即．②

由②变形得．③将①代入③得，故．

【点睛】

本题考查正、余弦定理的应用，属于较易题.

18．南充高中扎实推进阳光体育运动，积极引导学生走向操场，走进大自然，参加体育锻炼，每天上午第三节课后全校大课间活动时长35分钟．现为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间（单位：分钟）进行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如下表：

若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”.

（1）将频率视为概率，估计我校7000名学生中“锻炼达人”有多少?

（2）从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取5人参加某项体育活动.

①求男生和女生各抽取了多少人；

②若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率.

【答案】(1)700人；(2) ①男生抽取4人，女生抽取1人．②

【解析】（1）100名学生中“锻炼达人”的人数为10人，由此能求出7000名学生中“锻炼达人”的人数．

（2）①100名学生中的“锻炼达人”有10人，其中男生8人，女生2人．从10人中按性别分层抽取5人参加体育活动，能求出男生，女生各抽取多少人．

②抽取的5人中有4名男生和1名女生，四名男生一次编号为男1，男2，男3，男4，5人中随机抽取2人，利用列举法能求出抽取的2人中男生和女生各1人的概率．

【详解】

（1）由表可知，100名学生中“锻炼达人”的人数为10人，将频率视为概率，我校7000名学生中“锻炼达人”的人数为（人）

（2）①由（1）知100名学生中的“锻炼达人”有10人，其中男生8人，女生2人．

从10人中按性别分层抽取5人参加体育活动，则男生抽取4人，女生抽取1人．

②抽取的5人中有4名男生和1名女生，四名男生一次编号为男1，男2，男3，男4，则5人中随机抽取2人的所有结果有：男1男2，男1男3，男1 男4，男1女，男2男3，男2男4，男2女，男3男4，男3女，男4女．共有10种结果，且每种结果发生的可能性相等．记“抽取的2人中男生和女生各1人”为事件A，则事件A包含的结果有男1女，男2女，男3女，男4女，共4个，故．

【点睛】

本题考查频数、概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

19．如图，三棱柱中，平面，，，，，是的中点，是的中点.

（1）证明:平面;

（2）是线段上一点，且，求到平面的距离.

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】（1）要证平面,只需证明,即可求得答案;

（2）先求证,到平面的距离相等,结合已知条件,即可求得答案.

【详解】

（1）设中点为,连,

中是中点,是的中点,

且,

棱柱中侧棱,且是的中点,

且,

,,

,

又平面且平面,

平面

（2）在线段上,且,棱柱中,

侧面中,且平面,平面,

平面,

,到平面的距离相等.

在平面中作直线于①

平面

可得,

又,

平面,

平面,

②,

又①②及,

可得平面.

故线段长为点,到平面的距离.

中,,,

可得

,

【点睛】

本题主要考查了求证线面平行和点到面的距离,解题关键是掌握线面平行判断的方法和点到面距离的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

20．已知椭圆：()的焦距是，长轴长为4.

（1）求椭圆的方程；

（2），是椭圆的左右顶点，过点作直线交椭圆于，两点，若的面积是面积的2倍，求直线的方程.

【答案】（1）.（2）或.

【解析】（1）由题意求得与的值，结合隐含条件求得，则椭圆方程可求；

（2）设，，由已知可得，直线与轴不重合，设直线：，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，由面积关系可得，的纵坐标的关系，结合根与系数的关系求解，则直线方程可求.

【详解】

（1）由题意，，，则，.

∴.

∴椭圆的方程；

（2）设，，

由已知可得，直线与轴不重合，设直线：.

联立，整理得.

.

，.

由，得，即，

从而.

解得，即.

∴直线的方程为：或.

【点睛】

本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题．解题时总是设出交点坐标，，设出直线方程，由直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得，代入题中其他条件求解．

21．已知函数，，令

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．

【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）

【解析】（1）先求函数的定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间；

（2）不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，应先求导数，研究函数的单调性，然后求函数的最值；

【详解】

解：（1）当时，

．

令得又，所以．所以的单调递增区间为．

令得又，所以．所以的单调递减区间为．

综上可得：的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）令．

所以．

当时，因为，所以所以在上是递增函数，

又因为．

所以关于的不等式不能恒成立．

当时，．

令得，所以当时，；当时，．

因此函数在是增函数，在是减函数．

故函数的最大值为．

令，因为，．

又因为在上是减函数，所以当时，．

所以整数的最小值为2．

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，不等式恒成立问题转化为函数最值问题来解的方法．属于中档题．

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数且，，，曲线的参数方程为为参数），以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求的普通方程及的直角坐标方程；

（2）若曲线与曲线分别交于点，，求的最大值．

【答案】（1）：，：；（2）

【解析】（1）在曲线的参数方程中消去参数可得出曲线的普通方程，在曲线的极坐标方程两边同时乘以，并代入可得出曲线的直角坐标方程；

（2）由曲线的参数方程得出其极坐标方程为，并设点、的极坐标分别为、，将曲线的极坐标方程分别代入曲线、的表达式，求出、
关于的表达式，然后利用三角恒等变换公式与三角函数基本性质求出的最大值．

【详解】

（1）由消去参数得的普通方程为：；

由得，得的直角坐标方程为：，

即．

（2）的极坐标方程为：，的极坐标方程为：

将分别代入，的极坐标方程得：，，

．

【点睛】

本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，考查极坐标方程的应用，弄清楚极坐标方程解实际问题的基本情形，另外，利用极坐标方程本质上是化为三角函数来求解，所以要充分利用三角恒等变换思想以及三角函数的基本性质来求解．

23．已知函数.

（1）若，求不等式的解集；

（2）已知，若对于任意恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）或；（2）.

【解析】（1）时，分类讨论，去掉绝对值，分类讨论解不等式.

（2）时，分类讨论去绝对值，得到解析式，由函数的单调性可得的最小值，通过恒成立问题，得到关于的不等式，得到的取值范围.

【详解】

（1）因为，所以，

所以不等式等价于或或，

解得或.

所以不等式的解集为或.

（2）因为，所以，

根据函数的单调性可知函数的最小值为，

因为恒成立，所以，解得.

所以实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查分类讨论去绝对值，分段函数求最值，不等式恒成立问题，属于中档题.